三角函數(shù)知識點歸納

1、 PAGE 8三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1任意角角的概念的推廣按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負角、零角正角: 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角任意角 負角: 按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角: 不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角按終邊位置不同分為象限角和軸線角角 的頂點與原點重合，角的始邊與x 軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角第一象限角的集合為k360k 36090 , k第二象限角的集合為k36090k 360180, k第三象限角的集合為k360180k360270 , k第四象限角的集合為k360270k360360 , k終邊在 x 軸上的角的集合為k 180 , k終邊在 y

2、軸上的角的集合為k 18090 , k終邊在坐標軸上的角的集合為k 90 ,k終邊與角 相同的角可寫成 k360 (k Z)終邊與角相同的角的集合為k 360, k弧度制 1 弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1 弧度的角弧度與角度的換算：360 2弧度； 180 弧度 半徑為 r 的圓的圓心角所對弧的長為 l ，則角的弧度數(shù)的絕對值是lr 若扇形的圓心角為為弧度制 ，半徑為 r ，弧長為 l ，周長為 C ，面積為 S，則lr，C2rl ，11Slrr 2 222 任意角的三角函數(shù)定義設(shè) 是一個任意角，角的終邊上任意一點P(x， y)，它與原點的距離為rrx2y2，那么角 的正弦

3、、余弦、正切分別是： sinycosxtany （三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三 r ， r ， x正切、四余弦）3特殊角的三角函數(shù)值0304560901201351501802703600 /6/4 /3 /22 /33 /45/63 /2201/2 2/2 3/21 3/2 2/21/20-101 3/2 2/21/20-1/2- 2/2- 3/2-1010 3/31 3- 3-1- 3/300角度函數(shù)角 a 的弧度sina cosa tana二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導公式基礎(chǔ)梳理同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系： sin2 cos2 1；（ 在利用同角三角函數(shù)

4、的平方關(guān)系時，若開方，要特別注意判斷符號）sin 商數(shù)關(guān)系：誘導公式cos tan .（ 3）倒數(shù)關(guān)系： tancot1公式一： sin( 2k)sin ， cos( 2k)cos_， tan(2 k)tan其中 kZ.公式二： sin( ) sin_， cos( ) cos_， tan( ) tan .公式三： sin( ) sin ， cos( ) cos_， tantan公式四： sin( ) sin_， cos( ) cos_， tantan. 公式五： sin 2cos_， cos 22sin .公式六： sin2 cos_， cos sin_.誘導公式可概括為k2 的各三角函數(shù)值的

5、化簡公式口訣：奇變偶不變，符號看象限其中的奇、偶是指2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱要變( 正弦變余弦，余弦變正弦) ；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變，符號看象限是指：把看成銳角時，根據(jù) k 三角 函數(shù)值的符號，最后作為結(jié)2 在哪個象限判斷原 果符號方法與要點一個口訣1、誘導公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號看象限2、四種方法在求值與化簡時，常用方法有：cos 化成正、余弦弦切互化法：主要利用公式 tan sin 和積轉(zhuǎn)換法：利用 (sin cos )21 2sin cos 的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化（ sincos、sincos、 sincos三個式子知一可求二）巧

6、用“1”的變換： 1 sin2 cos2= sintan42（4）齊次式化切法：已知tank ，則a sin msinbcos n cosa tan mtanbakbnmkn三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學習目標：會求三角函數(shù)的定義域、值域會求三角函數(shù)的周期：定義法，公式法，圖像法（如會判斷三角函數(shù)奇偶性會求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間知道三角函數(shù)圖像的對稱中心，對稱軸ysinx 與ycosx的周期是）。知道yAsin(x) ， yA cos(x) ， yA tan(x) 的簡單性質(zhì)（一） 知識要點梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù) ysinx 和余弦函數(shù)ycos x 圖象的作圖方法：五點法：先取橫坐標

7、分別為 0，, 3,222的五點，再用光滑的曲線把這五點連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個周期內(nèi)的圖象。y=sinx-52y37- 2122ox-4-72-3-2-3-2-1225342y=cosx-5-32-4-7-2-322y-12o-1237232254x22、正弦函數(shù) ysinx(xR) 、余弦函數(shù) ycos x( xR) 的性質(zhì) ：（ 1）定義域 ：都是 R。（ 2）值域 ：都是1,1 ，對 ysinx ，當 x2kkZ時， y 取最大值 1；當 x2k23kZ時， y 取最小值 1；2對 ycos x ，當 x2kkZ時， y 取最大值 1，當 x2kkZ時， y 取最小值

8、1。（ 3） 周期性 ： ysin x ， ycos x 的最小正周期都是2；（ 4） 奇偶性與對稱性 ： 正弦函數(shù) ysin x( xR) 是奇函數(shù)，對稱中心是k,0kZ ，對稱軸是直線 xkkZ；2 余弦函數(shù) ycos x( xR) 是偶函數(shù)，對稱中心是k,0kZ，對稱軸是直線 xkkZ ；（正 ( 余)2弦型函數(shù)的對稱軸為過最高點或最低點且垂直于x 軸的直線，對稱中心為圖象與x 軸的交點）。（ 5） 單調(diào)性 ：ysin x 在2k,2 kkZ上單調(diào)遞增，在2 k, 32kkZ單調(diào)遞減；2222ycosx在2k,2 kkZ上單調(diào)遞增 ,在 2k,2 kkZ上單調(diào)遞減。 特別提醒 ，別忘了

9、kZ ！3、正切函數(shù) ytan x 的圖象和性質(zhì) ：（ 1）定義域： x | xk, kZ 。2（ 2）值域是 R，無最大值也無最小值；（ 3）奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是k,02kZ，特別提醒 ：正 ( 余)切型函數(shù)的對稱中心有兩類：一類是圖象與 x 軸的交點，另一類是漸近線與x 軸的交點，但無對稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。（ 4）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間k,kkZ 內(nèi)都是增函數(shù)。但 要注意在整個定義域上不具有單調(diào)性。224、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)性函 數(shù)質(zhì)ysin xycosxytan x圖象定義域RRx xk, k 2值域1,11,1R當 x2 kk時， 當x

10、22kk時，最值ymax1 ；當 x2k2ymax1 ；當 x2k既無最大值也無最小值k時，ymin1 k時，ymin1周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)在 2k, 2k22在 2k,2 kk上是單調(diào)性k上是增函數(shù)；在增函數(shù)；在 2k,2 k在 k, k222k, 2k3k上是增函數(shù)22k上是減函數(shù)k上是減函數(shù)對稱性對稱中心k ,0k對稱中心 k,0k2對稱中心k,0k2對稱軸xkk2對稱軸 xkk無對稱軸5、研究函數(shù)yAsin(x) 性質(zhì)的方法：類比于研究ysin x 的性質(zhì) ，只需將yAsin(x) 中的x看成 ysin x 中的 x 。函數(shù) y Asin （ x ）（A 0， 0）的性質(zhì)

11、。（ 1）定義域： R（ 2）值域： -A, A（ 3）周期性： T2| f ( x)Asin(x) 和 f( x)A cos(x) 的最小正周期都是 T2。| f ( x)Atan(x) 的最小正周期都是 T。|（ 4）單調(diào)性：函數(shù) yAsin （ x ）（ A 0， 0）的單調(diào)增區(qū)間可由 2k x 2k， k z 解得；22單調(diào)減區(qū)間可由 2k x 2k 3 22， k z 解得。在求 yAsin(x) 的單調(diào)區(qū)間時，要特別注意A 和的符號，通過誘導公式先將化正。如函數(shù)ysin(2 x) 的遞減區(qū)間是 3（答：解 析 ： y=， 所 以 求 y的 遞 減 區(qū) 間 即 是 求的遞增區(qū)間，由得

12、，所以 y 的遞減區(qū)間是四、函數(shù)yAsinx的圖像和三角函數(shù)模型的簡單應用一、知識要點1、 幾個物理量 ： 振幅：； 周期：2； 頻率： f1； 相位： x； 初相： 22、 函數(shù)yA sin(x) 表達式的確定 ： A 由最值確定；由周期確定；由圖象上的特殊點確定.函 數(shù) ysinx， 當x1 時 ， 取 得 最 小 值 為ymin； 當 xx2時 ， 取 得 最 大 值 為ymax ， 則1ymaxymin2，1ymaxymin2， 2x2x1 x1x23、函數(shù)A sin(x) 圖象的畫法 ：“五點法”設(shè) Xx，令 X 0，, 3,222求出相應的 x 值，計算得出五點的坐標，描點后得出圖

13、象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡圖常用方法。4、函數(shù) y sinx 的圖象經(jīng)變換可得到y(tǒng)Asinx0 的圖象橫坐標ysinx左（右）平移ysinx縱坐標伸（縮） A 倍伸（縮） 1 倍縱坐標y伸（縮） A 倍Asinx左（右） 平移y=sin x左（右）ysin x橫坐標伸(縮) 1 倍縱坐標ysinx縱坐標伸（縮） A 倍橫坐標yAsinxy=sinx平移伸（縮） A 倍yAsinx伸（縮）倍橫坐標yA sinx左（右）縱坐標yA sin x伸（縮） 1 倍平移伸（縮） Ay倍=sinx左（右） 平移yA sin x橫坐標 伸（縮） 1 倍5、函數(shù)yAsin(x)b 的圖象與 ysinx 圖象間

14、的關(guān)系 ：函數(shù) ysinx 的圖象向左（0）或向右（0）平移 | 個單位得 ysinx的圖象；函數(shù)ysinx圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼? ，得到函數(shù) ysinx的圖象；函數(shù)ysinx圖象的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)yA sin(x) 的圖象；函數(shù)yAsin(x) 圖象向上（ b0 ）或向下（ b0 ）平移 | b | 個單位，得到y(tǒng)Asinxb 的圖象。要特別注意 ，若由 ysinx 得 到 ysinx的圖象，則向左或向右平移應平移| 個單位，)如要得到函數(shù) y sin( 2x 3的圖象，只需將函數(shù)ysin 2x 的圖象 ()向左平移 個單位(B) 向右平移 個單位33

15、(C) 向左平移 個單位(D) 向右平移 個單位666、函數(shù) y Acos（ x ）和 y=Atan （ x ）的性質(zhì)和圖象的變換與y Asin （ x ）類似。三角恒等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式： coscoscossinsin； coscoscossinsin； sinsincoscossin； sinsincoscossin； tantantan1tantan（ tantantan1tantan）； tantantan1tantan（ tantantan1tantan）如 tan 20otan 40o3 tan 20otan 40o；（答案：3 ）2、二倍角的正弦、余弦和正

16、切公式： sin22sincos1sin 2sin 2cos22 sincos(sincos) 2如 cos25 cos2 5 cos 的值等于；（答案： 5）1212cos12124 cos2cos2sin22cos2112sin2升冪公式降冪公式1cos 22cos 2cos21cos 22,1cos 22sin 2， sin21cos 22 tan 22 tantan 22b3、二弦歸一把兩個三角函數(shù)的和或差化為一個三角函數(shù)：asinbcosab sin，其中 tana4、三角變換時運算化簡的過程中運用較多的變換，靈活運用三角公式，掌握運算化簡的方法常用的方法技巧如下：（ 1）角的變換：

17、在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補， 互余的關(guān)系，尋找條件與結(jié)論中角的關(guān)系，運用角的變換，使問題獲解，對角的變形如： 2是的二倍； 4是 2的二倍；是的二倍；是的二倍；224 15o45o30 o60o45o ；問：sin12； cos；12()；4() ； 2( 24)()( 4)()4；等等 .如1tan2 , tan1 ,則 tan3.（答案：）544422若 cos( ) 44，cos( )3，且 ， 2，則 cos2 ， cos2 .（答案： 7255， 1）522已知sincos21,tan,1cos 23則 tan2；（答案：

18、 1）8（ 2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通?；袨橄?， 變異名為同名（二弦歸一） 。如sin 50 o (13 tan10o )2 1 cos10o；3 sin10o解析：原式= sin 50ocos10o3 sin10o22oooooosin 50osin 50o2sin 30o10o2sin 40o cos40osin 80o1cos10cos10cos10cos10cos10cos10（ 3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有：1sin 2cos2sin90 otan 45o（ 4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有 ：；。 有 時 需 要 升 冪 ， 常 用