1-7-兩個重要極限練習題

1、嚴謹 標準 求真 鑄魂 1-7 兩個重要極限練習題教學過程：引入：考察極限問題1：觀察當x0時函數(shù)的變化趨勢：x(弧度)0.500.100.050.040.030.02.0.95850.99830.99960.99970.99980.9999.當x取正值趨近于0時，1，即=1；當x取負值趨近于0時，-x0, -x0, sin(-x)0于是綜上所述，得 一的特點：(1)它是“型，即假設形式地應用商求極限的法那么，得到的結果是；(2)在分式中同時出現(xiàn)三角函數(shù)和x的冪 推廣如果(x)=0,(a可以是有限數(shù)x0, 或)，那么=1 求 解= 求 解= 求 解= 求解令arcsinx=t，那么x=sint

2、且x0時t0所以= 求 解= =考察極限問題2：觀察當x+時函數(shù)的變化趨勢：x1210100010000100000100000.22.252.5942.7172.71812.71822.71828.當x取正值并無限增大時，是逐漸增大的，但是不管x如何大，的值總不會超過3實際上如果繼續(xù)增大x即當x+時，可以驗證是趨近于一個確定的無理數(shù)e2.718281828. 當x-時，函數(shù)有類似的變化趨勢，只是它是逐漸減小而趨向于e綜上所述，得 二=e=e的特點：lim(1+無窮小) ；“無窮小與“無窮大的解析式互為倒數(shù) 推廣假設(x)= ,(a可以是有限數(shù)x0, 或)，那么=e；假設(x)=0,(a可以是

3、有限數(shù)x0, 或)，那么=e變形令=t，那么x時t0，代入后得到 如果在形式上分別對底和冪求極限，得到的是不確定的結果1，因此通常稱之為1不定型求解令=t，那么x=當x時t0，于是=e 2求解令=1+u，那么x=2當x時u0，于是=e -1求解設t=tanx，那么cotx當x0時t0，于是=e小結：兩個重要極限在求極限過程中有著很重要的作用，特別要注意其變式。作業(yè)：見首頁2-1 導數(shù)的概念教學過程：引入：一、兩個實例實例1 瞬時速度 考察質點的自由落體運動真空中，質點在時刻t=0到時刻t這一時間段內(nèi)下落的路程s由公式s=gt2來確定現(xiàn)在來求t=1秒這一時刻質點的速度當t很小時，從1秒到1+t秒

4、這段時間內(nèi)，質點運動的速度變化不大，可以這段時間內(nèi)的平均速度作為質點在t=1時速度的近似 t (s)s(m)(m/s)0.11.02910.290.010.098499.8490.0010.00980499.80490.00010.0009800499.800490.000010.000098000499.800049上表看出，平均速度隨著t變化而變化，當t越小時，越接近于一個定值9.8m/s考察以下各式：s=g(1+t)2g12=g2t+(t)2， =g=g(2+t)，思考：當t越來越接近于0時，越來越接近于1秒時的“速度現(xiàn)在取t0的極限，得g=9.8(m/s)為質點在=1秒時速度為瞬時速度

5、一般地，設質點的位移規(guī)律是s=f(t)，在時刻t時時間有改變量t，s相應的改變量為s=f(t+t)-f(t)，在時間段t到t+t內(nèi)的平均速度為=，對平均速度取t0的極限，得v(t)=，稱v(t)為時刻t的瞬時速。研究類似的例子實例2 曲線的切線設方程為y=f(x)曲線為L其上一點A的坐標為(x0,f(x0)在曲線上點A附近另取一點B，它的坐標是(x0+x, f(x0+x)直線AB是曲線的割線，它的傾斜角記作由圖中的RtACB，可知割線AB的斜率 f(x0+x)xyOABx0 x0+xf(x0)TCtan=在數(shù)量上，它表示當自變量從x變到x+x時函數(shù)f(x)關于變量x的平均變化率(增長率或減小率

6、)現(xiàn)在讓點B沿著曲線L趨向于點A，此時x0，過點A的割線AB如果也能趨向于一個極限位置直線AT，我們就稱L在點A處存在切線AT記AT的傾斜角為，那么為的極限，假設90，得切線AT的斜率為tan= tan=在數(shù)量上，它表示函數(shù)f(x)在x處的變化率上述兩個實例，雖然表達問題的函數(shù)形式y(tǒng)=f(x)和自變量x具體內(nèi)容不同，但本質都是要求函數(shù)y關于自變量x在某一點x處的變化率 1. 自變量x作微小變化x，求出函數(shù)在自變量這個段內(nèi)的平均變化率=，作為點x處變化率的近似；2. 對求x0的極限，假設它存在，這個極限即為點x處變化率的的精確值二、導數(shù)的定義1. 函數(shù)在一點處可導的概念定義 設函數(shù)y=f(x)在

7、x0的某個鄰域內(nèi)有定義對應于自變量x在x0處有改變量x，函數(shù)y=f(x)相應的改變量為y=f(x0+x)-f(x0)，假設這兩個改變量的比當x0時存在極限，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，并把這一極限稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)(或變化率)，記作或f(x0)或或即=f(x0)= (2-1) 比值表示函數(shù)y=f(x)在x0到x0+x之間的平均變化率，導數(shù)那么表示了函數(shù)在點x0處的變化率，它反映了函數(shù)y=f(x)在點x0處的變化的快慢 如果當x0時的極限不存在，我們就稱函數(shù)y=f(x)在點x0處不可導或導數(shù)不存在在定義中，假設設x=x0+x，那么(2-1)可寫成f(x0)= (2-

8、2)根據(jù)導數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的步驟如下：第一步 求函數(shù)的改變量y=f(x0+x)-f(x0)； 第二步 求比值；第三步 求極限f(x0)= 例1 求y=f(x)=x2在點x=2處的導數(shù)解y=f(2+x)-f(2)=(2+x)2-22=4x+(x)2；=4+x； =(4+x)=4所以y|x=2=4當存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點x0處的左導數(shù)，記作；當存在時，稱其極限值為函數(shù)y=f(x)在點x0處的右導數(shù)，記作據(jù)極限與左、右極限之間的關系f(x0) 存在,，且= f(x0)2. 導函數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點處都可導，就稱函數(shù)y=f

9、(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導這時，對開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個確定的值x0都有對應著一個確定的導數(shù)f(x0)，這樣就在開區(qū)間(a,b)內(nèi)，構成一個新的函數(shù)，我們把這一新的函數(shù)稱為f(x)的導函數(shù)，記作等f(x)或y等 根據(jù)導數(shù)定義，就可得出導函數(shù)f(x)=y= (2-3)導函數(shù)也簡稱為導數(shù)注意f(x)是x的函數(shù)，而f(x0)是一個數(shù)值f(x)在點處的導數(shù)f(x0)就是導函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值例2 求y=C (C為常數(shù))的導數(shù)解因為y=C-C=0，=0，所以y=0即 (C)=0常數(shù)的導數(shù)恒等于零例3 求y=xn(nN, xR)的導數(shù)解 因為y=(x+x)n-xn=nxn-1x+xn-2(

10、x)2+.+(x)n，= nxn-1 +xn-2x+.+(x)n-1，從而有 y= nxn-1 +xn-2x+.+(x)n-1= nxn-1即 (xn)=nxn-1可以證明，一般的冪函數(shù)y=x, (R, x0)的導數(shù)為 (x)=x-1例如()=()=；()=(x-1)=-x-2=-例4 求y=sinx, (xR)的導數(shù) 解=，在1-7中已經(jīng)求得=cosx，即 (sinx)=cosx用類似的方法可以求得y=cosx, (xR)的導數(shù)為(cosx)=-sinx 例5 求y=logax的導數(shù)(a0, a1, x0)解對a=e、y=lnx的情況，在1-7中已經(jīng)求得為(lnx)=對一般的a，只要先用換底

11、公式得y=logax=，以下與1-7完全相同推導，可得(logax)=三、導數(shù)的幾何意義方程為y=f(x)的曲線，在點A(x0,f(x0)處存在非垂直切線AT的充分必要條件是f(x)在x0存在導數(shù)f(x0)，且AT的斜率k=f(x0) 導數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù)f(x0)，是函數(shù)圖象在點(x0,f(x0)處切線的斜率，另一方面也可立即得到切線的方程為y-f(x0)=f(x0)(x-x0) (2-4)過切點A (x0,f(x0)且垂直于切線的直線，稱為曲線y=f(x)在點A (x0,f(x0)處的法線，那么當切線非水平(即f(x0)0)時的法線方程為y-f(x0)=-(x-x0

12、) (2-5) 例6 求曲線y=sinx在點(,)處的切線和法線方程解sinx=cosx=所求的切線和法線方程為y=(x)，法線方程y=(x)例7 求曲線y=lnx平行于直線y=2x的切線方程解設切點為A(x0, y0)，那么曲線在點A處的切線的斜率為y(x0)，y(x0)=(lnx)=，因為切線平行于直線y=2x，所以=2，即x0=；又切點位于曲線上，因而y0=ln=-ln2故所求的切線方程為y+ln2=2(x-)，即y=2x-1-ln2四、可導和連續(xù)的關系如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，那么存在極限=f(x0)，那么=f(x0)+ (=0)，或y= f(x0)x+x (=0)，所以 y

13、=f(x0)x+x=0這說明函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)但y=f(x)在點x0處連續(xù)，在x0處不一定是可導的例如：y=|x|在x=0處都連續(xù)但卻不可導xyOy=|x|y=在x=0處都連續(xù)但卻不可導注意在點(0,0)處還存在切線，只是切線是垂直的1xyOy=-1-11 學生思考：設函數(shù)f(x)=，討論函數(shù)f(x)在x=0處的連續(xù)性和可導性小結：明確導數(shù)就是函數(shù)相對于自變量的變化率。 作業(yè)：見首頁42換元積分法教學過程復習引入不定積分的概念； 不定積分的根本公式和性質。新課：一、第一類換元積分法例如：，積分根本公式中只有：=sinx+C為了應用這個公式，可進行如下變換：u=2x回代令2x=usi

14、nu+Csin2x+C,因為(sin2x+C)=cos2x，所以=sin2x+C是正確的定理1設f(u)具有原函數(shù)F(u)，(x)是連續(xù)函數(shù)，那么=F(x)+C證明思路因為F(u)是f(u)的一個原函數(shù)，所以F(u)=f(u)； 由復合函數(shù)的微分法得：dF(x)=F(u)(x)dx=f(x)(x)dx，所以 =F(x)+C根本思想：作變量代換u=(x), (d(x)=(x)dx)，變原積分為，利用f(u)的原函數(shù)是F(u)得到積分，稱為第一類換元積分法例1求,(a,b為常數(shù))解 因為dx=d(ax+b)，所以令ax+b=u+Cu=ax+b回代(ax+b)11+C例2求解 因為dx=d(lnx)

15、，所以u=lnx回代令lnx=u原式=u2+C(lnx)2+C例3求解 因為xdx=d(x2)，所以u=x2回代令x2=u原式=eu+C+C例4求令a2-x2=u解 因為xdx=d(x2)=d(a2-x2)，所以 原式= +Ca2-x2=u回代+C學生思考：求第一類換元積分法計算的關鍵：把被積表達式湊成兩局部，一局部為d(x)，另一局部為(x)的函數(shù)f(x)，且f(u)的原函數(shù)易于求得因此，第一類換元積分法又形象化地被稱為湊微分法常用微分式：dx=d(ax)； xdx=d(x2)； dx=d(ln|x|)； dx=2d()；dx=d()；dx=d(arctanx)；dx=d(arcsinx)；exdx=d(ex)； sinxdx=d(cosx)； cosxdx=d(sinx)；sec2xdx=d(tanx)； csc2xdx=-d(cotx)； secxtanxdx=d(se