國(guó)家鐵路貨運(yùn)量的時(shí)間序列分析

1、國(guó)家鐵路貨運(yùn)量的時(shí)間序列分析目錄 HYPERLINK l _Toc1034 1. 引言1 HYPERLINK l _Toc29022 2. 統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)模型的建立2 HYPERLINK l _Toc6622 2.1趨勢(shì)擬合法2 HYPERLINK l _Toc2326 2.1.1 二次型2 HYPERLINK l _Toc9525 2.1.2 S曲線模型3 HYPERLINK l _Toc26548 2.1.3移動(dòng)平均法3 HYPERLINK l _Toc7960 2.1.4 指數(shù)平滑法3 HYPERLINK l _Toc29174 2.2 ARIMA模型4 HYPERLINK l _Toc279

2、48 2.2.1 ARIMA模型建模步驟4 HYPERLINK l _Toc17229 2.2.2 觀察值的預(yù)處理4 HYPERLINK l _Toc16401 2.2.3 模型的識(shí)別與檢驗(yàn)5 HYPERLINK l _Toc2301 3.國(guó)家鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)分析5 HYPERLINK l _Toc31357 3.1.1二次型模型6 HYPERLINK l _Toc25445 3.1.2 S曲線型模型7 HYPERLINK l _Toc18916 3.1.3 移動(dòng)平均法7 HYPERLINK l _Toc26220 3.1.5 部分小結(jié)與結(jié)論8 HYPERLINK l _Toc17847 3.2

3、 ARIMA模型法9 HYPERLINK l _Toc23135 3.2.1 數(shù)據(jù)的處理以及模型的建立9 HYPERLINK l _Toc20799 3.2.2 模型的判斷與選取12 HYPERLINK l _Toc10441 3.2.3 模型的診斷與檢驗(yàn)13 HYPERLINK l _Toc7576 3.2.4 模型的預(yù)測(cè)13 HYPERLINK l _Toc32017 5.總體小結(jié)與結(jié)論13 HYPERLINK l _Toc21606 參考文獻(xiàn)14摘要 本文以國(guó)家1978年至2011年中國(guó)國(guó)家鐵路貨運(yùn)量數(shù)據(jù)為基礎(chǔ).以不同的方法建立不同的模型，并通過(guò)所建立的不同樣式的模型來(lái)對(duì)2012至201

4、4年國(guó)家鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè).比較不同樣式的模型的預(yù)測(cè)精確度，最終選擇了在經(jīng)過(guò)差分剔除長(zhǎng)期趨勢(shì)以及季節(jié)因素后對(duì)其殘差進(jìn)行檢驗(yàn)和識(shí)別.從而建立ARIMA（0,2,1），并根據(jù)此模型對(duì)2012至2014年國(guó)家鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè)，擬合效果良好.關(guān)鍵詞 國(guó)家鐵路貨運(yùn)量 ；預(yù)測(cè)精確度；差分；ARIMA模型Abstract: Based on the national railway freight volume data from 1978 to 2011, this paper establishes a model with different methods, and forecasts the f

5、reight volume from 2012 to 2014 by the model. By comparing the prediction accuracy of the different models, the ARIMA function model is finally selected. According to this function model, the forecast of freight volume between 2014 and 2012 is made, and the fitting effect is good. Key Words: Nationa

6、l railway freight volume；Prediction accuracy；Difference；ARIMA pattern function.引言現(xiàn)代數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)理論在金融學(xué)中的應(yīng)用越來(lái)越明顯，有關(guān)專(zhuān)家指出，統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)理論以及數(shù)學(xué)這三個(gè)對(duì)于真正的去了解現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)生活里蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系來(lái)說(shuō)是很有必要的.數(shù)學(xué)給經(jīng)濟(jì)界帶來(lái)了全新的視角、理念.如果缺乏統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)要想在市場(chǎng)中有出色而又完美的表現(xiàn)是十分困難的.本文以中國(guó)的水路運(yùn)輸為列，通過(guò)數(shù)理方法對(duì)中國(guó)水路貨運(yùn)量的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行科學(xué)性的預(yù)測(cè)與分析.自1987改革開(kāi)放以來(lái)中國(guó)經(jīng)濟(jì)進(jìn)入了高速發(fā)展的時(shí)期，其中鐵路運(yùn)輸作為交通運(yùn)輸系統(tǒng)的重要組成的部分，

7、為國(guó)家GDP的提升做出了巨大貢獻(xiàn)，承擔(dān)著重要的交通運(yùn)輸責(zé)任，為我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展做出了良好的推動(dòng)與促進(jìn)作用.鐵路運(yùn)輸按性質(zhì)可以劃分為國(guó)家鐵路、地方鐵路以及合資鐵路，其主要特點(diǎn)是運(yùn)量大、成本低、能耗少、投資低、是國(guó)內(nèi)國(guó)際重要的運(yùn)輸方式之一，其重要性不言而喻.另外，鐵路運(yùn)輸在國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中具有重要的作用，它將世界各地連成一片，對(duì)于經(jīng)濟(jì)全球化的發(fā)展具有重要的推動(dòng)作用.所以研究全國(guó)的國(guó)家鐵路貨運(yùn)量對(duì)于經(jīng)濟(jì)政策的調(diào)整與完善具有非常重要的作用.如何使用科學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法分析與預(yù)測(cè)國(guó)家鐵路貨運(yùn)量，將有助于經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，解放出大批生產(chǎn)力去從事其它經(jīng)濟(jì)建設(shè)，從而更好的推動(dòng)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展.對(duì)于全國(guó)國(guó)家鐵路貨運(yùn)量的分析與預(yù)測(cè)

8、，更多的是以年度的數(shù)據(jù)為單位，大多采用長(zhǎng)期趨勢(shì)分析、回歸分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、灰色預(yù)測(cè)、指數(shù)平滑法等確定性的模型來(lái)分析.由于回歸分析、灰色預(yù)測(cè)、長(zhǎng)期趨勢(shì)雖然能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，但是只能提取強(qiáng)勁的確定性信息，對(duì)隨機(jī)信息的浪費(fèi)比較嚴(yán)重，而且不能對(duì)其殘差做進(jìn)一步的分析，不能判斷信息最終是否充分提取，所以模型的精度較差.隨機(jī)時(shí)序分析方法彌補(bǔ)了確定性因素分解方法的不足，本文采用ARIMA模型對(duì)未來(lái)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)的精確度比之線性模型，指數(shù)模型等更好，正文部分將對(duì)幾種模型的做詳細(xì)比較.根據(jù)全國(guó)1978年至2011年國(guó)家鐵路的貨運(yùn)量數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行的分析，發(fā)現(xiàn)國(guó)家鐵路貨運(yùn)量具有顯著地增漲趨勢(shì)，在對(duì)數(shù)

9、據(jù)進(jìn)行二階差分從趨勢(shì)中提取出線性趨勢(shì)后，差分后的序列呈現(xiàn)出了非常平穩(wěn)的隨機(jī)波動(dòng).在剔除完長(zhǎng)期趨勢(shì)因素后，用隨機(jī)效應(yīng)模型ARIMA對(duì)二階差分建模，得到更高精確度的水路貨運(yùn)量的預(yù)測(cè)模型.本文所有數(shù)據(jù)是全國(guó)1978年至2011年國(guó)家鐵路貨運(yùn)量數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，以2012年至2014年這三年的數(shù)據(jù)作為建模的檢驗(yàn)所用，在誤差允許的范圍內(nèi)，擬合效果良好.統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)模型的建立時(shí)間序列分析是對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理的一種統(tǒng)計(jì)方法.這種方法以隨機(jī)過(guò)程理論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法為基礎(chǔ)，來(lái)研究隨機(jī)的數(shù)據(jù)序列所遵從的統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律，由此來(lái)解決一些實(shí)際的問(wèn)題.常用的時(shí)間序列分析法有回歸分析、灰色預(yù)測(cè)、長(zhǎng)期趨勢(shì)預(yù)測(cè)、乘積季節(jié)效應(yīng)模型等.由于

10、時(shí)間序列的變化受到趨勢(shì)因素、季節(jié)因素、周期因素以及不規(guī)則變化因素的影響，預(yù)測(cè)的對(duì)象隨著時(shí)間的變化而呈現(xiàn)出一定的變化趨勢(shì)，沒(méi)有非常明顯的季節(jié)波動(dòng)，所以這里一方面就可以采用一定的函數(shù)曲線來(lái)描述這種變化，就能夠通過(guò)趨勢(shì)外推法進(jìn)行預(yù)測(cè).這里將分別用二次、S曲線、移動(dòng)平均法以及單指數(shù)平滑法去擬合原來(lái)的曲線，通過(guò)比較找出最優(yōu)的函數(shù)擬合曲線.需要注意的是選用移動(dòng)平均法時(shí)需要對(duì)它的移動(dòng)平均長(zhǎng)度做一定的判斷，另一方面也可以采用ARIMA模型來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測(cè).2.1趨勢(shì)擬合法趨勢(shì)擬合法是把時(shí)間作自變量，把相應(yīng)的序列觀察值當(dāng)做因變量，從而建立序列的值隨時(shí)間的變化而變化回歸模型的方法.由序列呈現(xiàn)的線性或非線性的特

11、征，從而擬合的方法又可以具體的分成線性與曲線擬合.二次型當(dāng)曲線具有顯著地曲線變化時(shí)，可以嘗試著用二次型曲線來(lái)作為擬合模型.模型可以寫(xiě)成：.首先令 ,則元模型變換可以寫(xiě)為： .再通過(guò)線性最小二乘法來(lái)對(duì)參數(shù)參數(shù)，進(jìn)行估計(jì).最小二乘法：設(shè)觀察值為 .則可令 最小值.由微分原理有： .解方程即可求，三個(gè)參數(shù).將各個(gè)參數(shù)值帶入原方程，檢驗(yàn)參數(shù)與方程是否顯著，若方程顯著而某些參數(shù)不顯著，那么去掉該參數(shù)，再重新擬合新的模型，直到方程和各參數(shù)均顯著為止.S曲線模型S曲線模型又稱生長(zhǎng)曲線模型，是預(yù)測(cè)事件觀察值隨時(shí)間變化符合生長(zhǎng)曲線的規(guī)律. 龔帕茲（生長(zhǎng)）曲線是一種常用曲線，模型可寫(xiě)成：參數(shù)a,b,k的求解步驟.

12、(1)將N個(gè)數(shù)據(jù)劃分為三組（假定N=3r）.(2)求個(gè)組的對(duì)數(shù)和，即有： ， ，(3)利用公式計(jì)算a,b,k的值 ，2.1.3移動(dòng)平均法移動(dòng)平均法是通過(guò)使用一組最近的觀察值數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)以后一期或者幾期內(nèi)的產(chǎn)品需求量、產(chǎn)能等常常使用的方法，移動(dòng)平均法它適用于短期預(yù)測(cè)，當(dāng)產(chǎn)品變化不大且不存在季節(jié)性的因素時(shí)，它可以有效地消除預(yù)測(cè)里的隨機(jī)波動(dòng).移動(dòng)平均法可以劃分為：簡(jiǎn)單移動(dòng)平均和加權(quán)移動(dòng)平均.2.1.4 指數(shù)平滑法考慮到時(shí)間間隔對(duì)事件的發(fā)展的影響，各期的權(quán)重隨著時(shí)間間隔的增大而呈現(xiàn)指數(shù)衰減.式中，為指數(shù)平滑系數(shù)，00.若拒絕原假設(shè)則說(shuō)明擬合的模型不顯著.3.國(guó)家鐵路貨運(yùn)量預(yù)測(cè)分析將全國(guó)自197820

13、11年的國(guó)家鐵路總貨運(yùn)量作為樣本數(shù)據(jù)，利用時(shí)間序列分析法對(duì)其建立不同模型，并對(duì)全國(guó)未來(lái)三年的貨運(yùn)量即2012,2013,2014年的國(guó)家鐵路貨運(yùn)量進(jìn)行預(yù)測(cè).表一 全國(guó)水路運(yùn)輸貨運(yùn)量時(shí)間貨運(yùn)量（噸）時(shí)間貨運(yùn)量（噸）時(shí)間貨運(yùn)量（噸）時(shí)間貨運(yùn)量（噸）時(shí)間貨運(yùn)量（噸）19781075001985127500199215230019991572002006245500197910949519861322191993156800200016610020072624001980108600198713694919941573002001179200200827520019811048361988140555

14、19951595002002187600200927760019821110481989146805199616180020031998002010309541198311607019901462001997162000200421780020113295351984121215199114790019981534002005231800數(shù)據(jù)來(lái)源：中國(guó)統(tǒng)計(jì)局年度數(shù)據(jù)官網(wǎng)根據(jù)19782011年國(guó)家鐵路的貨運(yùn)量數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖1所示. 圖1 1978-2011國(guó)家鐵路貨運(yùn)量增長(zhǎng)趨勢(shì)圖由該圖能夠很容易的看出，國(guó)家鐵路貨運(yùn)量總體是呈增長(zhǎng)趨勢(shì)的.通過(guò)它的增長(zhǎng)趨勢(shì)我們可以嘗試使用時(shí)間序列的趨勢(shì)外推法、移

15、動(dòng)平均法以及時(shí)間序列的指數(shù)平滑法來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析.不妨以1978年為t=1，選擇合適的趨勢(shì)外推曲線，從圖形上來(lái)看，線性趨勢(shì)明顯不合適，我們可以選擇二次型與S曲線模型作為候選的模型.3.1.1二次型模型由二次曲線預(yù)測(cè)模型 來(lái)擬合該序列的發(fā)展，通過(guò)前面二次型里介紹的公式可計(jì)算出未知參數(shù)的估計(jì)值： .模型的解析式為：.檢驗(yàn)該方程，方程以及各參數(shù)都顯著.所以可用二次型來(lái)擬合34年以來(lái)的國(guó)家鐵路貨運(yùn)量的長(zhǎng)期變化趨勢(shì).擬合效果如圖2. 圖2 二次型曲線擬合圖3.1.2 S曲線型模型由S曲線預(yù)測(cè)模型y=k*,k0,a1,0b1.來(lái)擬合序列的發(fā)展趨勢(shì)，通過(guò)前面介紹的參數(shù)求解方法可以求出相應(yīng)的參數(shù)，其對(duì)應(yīng)的模型解

16、析式為: .擬合效果如下圖圖3所示 圖3 S曲線擬合圖3.1.3 移動(dòng)平均法在選用移動(dòng)平均法時(shí)需要對(duì)移動(dòng)平均長(zhǎng)度做一定的判斷這里選取移動(dòng)平均的長(zhǎng)度為1,2作對(duì)比發(fā)現(xiàn)在取1時(shí)平均絕對(duì)誤差（MAD）更小一點(diǎn)精度更高一些；移動(dòng)平均長(zhǎng)度平均絕對(duì)誤差（MAD3.1.4單指數(shù)平滑法在進(jìn)行單指數(shù)平滑法時(shí)需要選取最佳的平滑常量，當(dāng)平滑系數(shù)取0.5時(shí)這里我們可以根據(jù)國(guó)家鐵路的貨運(yùn)量的平滑圖看出平滑常量為1.63240 實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的趨勢(shì)擬合圖如下圖4 所示： 圖4 單指數(shù)法擬合圖3.1.5 部分小結(jié)與結(jié)論三種模型的擬合效果圖如下由上圖不難看出單指數(shù)平滑模型與實(shí)際值更接近一些，單指數(shù)平

17、滑法預(yù)測(cè):2012年的值為：周期預(yù)測(cè)下限上限20123290873163293418463.2 ARIMA模型法3.2.1 數(shù)據(jù)的處理以及模型的建立由圖1從圖中我們可以看出觀察值具有明顯地增長(zhǎng)趨勢(shì)，故判定序列不平穩(wěn)，所以要先對(duì)它進(jìn)行平穩(wěn)化處理.由時(shí)序圖所呈現(xiàn)出來(lái)的變化趨勢(shì)，先對(duì)其觀察值序列進(jìn)行一階差分，可以粗略的看到一階差分的時(shí)序圖仍然是具有一定的上升趨勢(shì). 所以這時(shí)需要對(duì)一階差分序列做自相關(guān)，從而對(duì)一階差分做白噪聲檢驗(yàn)，判斷它的平穩(wěn)性.所繪制出一階差分的自相關(guān)圖，如下所示： 白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果如下表所示： 對(duì)一階差分后序列進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)延遲階數(shù)（lag）卡方統(tǒng)計(jì)量P值6122425.9430.4

18、849.020.9997720.9976370.998117在顯著性水平取0.05的條件下，發(fā)現(xiàn)1-P，在1-的置信區(qū)間內(nèi)平穩(wěn)，即信息已提取充分，如果這時(shí)再作差分將變成過(guò)差分，過(guò)差分的實(shí)質(zhì)就是因?yàn)檫^(guò)多的進(jìn)行差分導(dǎo)致了有效信息的無(wú)所謂的浪費(fèi)，從而降低了估計(jì)的精度.故有選取的ARIMA中d=2由上面的二階差分的自相關(guān)圖可以發(fā)現(xiàn)MA一階截尾，再對(duì)二階差分序列做偏自相關(guān)圖,如下所示二階差分的偏自相關(guān)圖： 從二階差分的偏自相關(guān)圖中我們可以發(fā)現(xiàn)AR二階截尾，所以有ARIMA可以選取ARIMA(0，2，1)和ARIMA（2,2,0）兩種可能情況，分別對(duì)兩種情況進(jìn)行論證：3.2.2 模型的判斷與選取取ARIM

19、A（0,2,1） 時(shí)作ARIMA(0,2，1)的綜合自回歸移動(dòng)平均，則有參數(shù)的最終估計(jì)值：類(lèi)型系數(shù)系統(tǒng)誤差P值移動(dòng)平均10.72090.13380.000常量580.1318.80.079由上表可以發(fā)現(xiàn)因?yàn)橐苿?dòng)平均的P值小于 （=0.05）故可以說(shuō)明參數(shù)P值顯著不需要修正，該模型可行.差值2，正規(guī)差值觀測(cè)值個(gè)數(shù)： 原始序列 34,32差值之后殘差： SS=11338359984(不包括向后預(yù)測(cè)) MS=37794533 DF=30由AIC公式：可以算出.2) 取ARIMA（2,2,0）時(shí)作ARIMA（2,2,0）的綜合自回歸移動(dòng)平均，則有參數(shù)的最終估計(jì)值：類(lèi)型系數(shù)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差P值A(chǔ)R1-0.6

20、6520.16870.000AR2-0.62720.24570.016常量144110910.197由上表可以發(fā)現(xiàn)因?yàn)橐苿?dòng)平均的P值小于 （=0.05）故可以說(shuō)明參數(shù)P值顯著不需要修正，該模型可行.差值2，正規(guī)差值觀測(cè)值個(gè)數(shù)： 原始序列 34 ，32 差值之后殘差： SS=1133835984（不包括向后預(yù)測(cè)） MS=1092868048 DF=29由AIC公式：可以算出比較兩種情況的AIC可知：所以這里我們選取AIC1效果好一點(diǎn)，即選取對(duì)應(yīng)的模型為ARIMA（0,2,1）來(lái)對(duì)未來(lái)三年做預(yù)測(cè).3.2.3 模型的診斷與檢驗(yàn)白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果如下所示，當(dāng)=0.05時(shí)所有的1-P值均大于，我們可以認(rèn)為殘差序列為白噪聲序列.卡方檢驗(yàn)的結(jié)果表明我們不可以拒絕殘差不相關(guān)的原假設(shè)，即所建立的模型是合適的二階差分的殘差的白噪聲檢驗(yàn)結(jié)果：延遲期數(shù)（Lag）卡方檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量P值61.290.0277938125.640.06680832413.430.04150473.2.4 模型的預(yù)測(cè)對(duì)國(guó)家鐵路貨運(yùn)量作綜合自回歸移動(dòng)平均圖有2012-2014年國(guó)家鐵路貨運(yùn)量的預(yù)測(cè)值為：從周期34后開(kāi)始的預(yù)測(cè)95%限制周期預(yù)測(cè)下限上限353489663369143610183636897834941038854537389569362