排列組合+概率統(tǒng)計(jì)

1、分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)TOC o 1-5 h zN=m+mHFm.12n分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理N=mxmx-xm.12n排列數(shù)公式n！Am二n(n-1)(n-m+1)二n注:規(guī)定0!=1.4.排列恒等式(1)Am=(nm+1)Am-1；nn.(n,mWN*，且mn).(n-m)!2)3)4)Am=Am;nn-mn-1Am=nAm-1;nn-1nAn=An+1-An;nn+1nAm=Am+mAm1n+1nn(5)(6)1!+22!+33!+nn!=(n+1)!-1.組合數(shù)公式Amn(n-1)(n-m+1)n!Cm二曠二二(neN*,meN，且mn).nAm1x2xxmm!-(n-m)!m組合數(shù)

2、的兩個(gè)性質(zhì)Cm=Cnm-nnCm+Cm-1=Cm.nnn+1注:規(guī)定C0=1.n6.組合恒等式n-m+1=Cm-1;mnnC=Cm;n-mn-1=Cm-1;mn-11)2)3)n！CmnCmnCmnnCr=2n;n工r=05)Cr+Cr+Cr+Cr=Cr+1.TOC o 1-5 h zrr+1r+2nn+1 HYPERLINK l bookmark52 (6)C0+C1+C2+Cr+Cn=2nnnnnn(7)C1+C3+C5+=C0+C2+C4+2n1nnnnnn(8)C1+2C2+3C3+nCn=n2n-1 HYPERLINK l bookmark54 nnnn(9)CrC0+Cr-1C1F

3、FC0rCr=Crmnmnmnm+n(10)(C0)2+(C1)2+(C2)2+(Cn)2=Cn.nnnn2n7.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系A(chǔ)m=m!Cm.nn8單條件排列以下各條的大前提是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”某（特）元必在某位有Am-1種；某（特）元不在某位有Am-Am-1（補(bǔ)集思想）n-1nn-1=A1Am-1（著眼位置）=Am+A1Am-1（著眼元素）種.n-1n-1n-1m-1n-1（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）定位緊貼：k（kmn）個(gè)元在固定位的排列有AkAm-k種.kn-k浮動(dòng)緊貼：n個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有An-k+1Ak種.注：此

4、類問(wèn)題n-k+1k常用捆綁法；插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（km+1時(shí)，無(wú)解；當(dāng)nk(keN*,2in1)i)滿足條件xk(keN*,2in1)i+(1)n2Cn-2Cn1個(gè).m+1(n2)k二項(xiàng)式定理(a+b)n=C0an+C1an-1b+C2an2b2+卜Cran-rbr+卜Cnbn(n,meN+C2Cn1n+m1n2m+nk2n2m+n2k3nnnnn二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式T=Cranrbr(r=0，1，2-，n).r+1n等可能性事件的概率P(A)=m.n互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(AB)=P(A)P(B)n個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1+A2HAn)二P(A)+P(A2)

5、HP(An).獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率P(AB)=P(A)P(B).n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率P(k)=CkPk(1P)nk.nn第三章概率3.1.13.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義1、基本概念：必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件；隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重

6、復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試nA驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率。頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)nnA的比值了，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率3.1.3

7、概率的基本性質(zhì)1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件若AHB為不可能事件，即AHB=m，那么稱事件A與事件B互斥；若AHB為不可能事件，AUB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件；當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對(duì)立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性質(zhì)：必然事件概率為1,不可能事件概率為0因此OWP(A)W1；當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對(duì)立事件，則AUB為必然事件，所以P(AUB)=P(A

8、)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：(1)事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；(2)事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；(3)事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；(1)事件A發(fā)生B不發(fā)生；(2)事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。3.2.13.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、(1)古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數(shù)；A包含的基本事件數(shù)求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后

9、利用公式P(A)=總的基本事件個(gè)數(shù)3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）P）=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）;（1）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等第二章統(tǒng)計(jì)2.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣1總體和樣本在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對(duì)象的全體叫做總體把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量.為了研究總體兀的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中

10、隨機(jī)抽取一部分：無(wú)，花，召研究，我們稱它為樣本其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱為樣本容量.2簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無(wú)一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。3簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：（1）抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法；計(jì)算機(jī)模擬法；使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：總體變異情況；允許誤差范圍；概率保證程度。4抽簽法:（1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；

11、（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽（3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。5隨機(jī)數(shù)表法：例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。2.1.2系統(tǒng)抽樣1系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來(lái)說(shuō)，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說(shuō)明樣本在總體中的

12、分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。2系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低，實(shí)施也比較簡(jiǎn)單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。2.1.3分層抽樣1分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個(gè)類型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來(lái)構(gòu)成總體的樣本。兩種方法：1先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2先以分層變量

13、將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。2分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。分層標(biāo)準(zhǔn)：（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3分層的比例問(wèn)題：（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來(lái)抽取子樣本的方法。（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少

14、，此時(shí)采用該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征1、本均值：s二ts2二2、.樣本標(biāo)準(zhǔn)差：3用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會(huì)有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。4（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k,標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的k倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間（X-3s,X+3s）的應(yīng)用；“去掉一個(gè)最高分,去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理2.3.2兩個(gè)變量的線性相關(guān)1、概念:（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)2最小二乘法3直線回歸方程的應(yīng)用(1)描述兩變