年高三數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí)專題課件19：排列、組合和二項(xiàng)式定理

1、1.理解分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理,會(huì)用分類計(jì)數(shù) 原理或分步計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.理解排列、組合的概念,能利用排列公式、組合公 式，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.二項(xiàng)式定理:(1)能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理,(2) 會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.學(xué)案19 排列、組合和二項(xiàng)式定理 2021/8/8 星期日11.(2009全國(guó))甲組有5名男同學(xué)、3名女同學(xué);乙 組有6名男同學(xué)、2名女同學(xué).若從甲、乙兩組中各選 出2名同學(xué),則選出的4人中恰有1名女同學(xué)的不同選 法共有 ( ) A.150種 B.180種 C.300種 D.345種 解析 若從甲組中選出1名女同學(xué),有 種選法,

2、則甲 組還需從5名男同學(xué)中選1名,有 種選法,其余2名同 學(xué)還應(yīng)從乙組的男同學(xué)中選,有 種,此時(shí)有 =225(種);若從乙組中選1名女同學(xué),有 種選法,則2021/8/8 星期日2 乙組還需從男同學(xué)中選1人,有 種選法,從甲組的5 名男同學(xué)中選2名,共有 種,此時(shí)有 =120 (種),故共有225+120=345(種)不同選法. 答案 D2.(2009湖北)將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè) 不同的班,每個(gè)班至少分到一名學(xué)生,且甲、乙兩名 學(xué)生不能分到同一個(gè)班,則不同分法的種數(shù)為 ( ) A.18 B.24 C.30 D.36 解析 用間接法解答:四名學(xué)生中有兩名學(xué)生在一個(gè) 班的種數(shù)是 順序有

3、種,而甲乙被分在同一個(gè) 班的有 種,所以種數(shù)是 C2021/8/8 星期日33.(2009北京)用0到9這10個(gè)數(shù)字,可以組成沒有重 復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為 ( ) A.324 B.328 C.360 D.648 解析 若組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),可分為兩種 情況:當(dāng)個(gè)位上是0時(shí),共有98=72(種)情況;當(dāng) 個(gè)位上是不為0的偶數(shù)時(shí),共有488=256(種)情 況.綜上,共有72+256=328(種)情況.B2021/8/8 星期日44.(2009四川) 的展開式的常數(shù)項(xiàng)是_. (用數(shù)字作答) 解析 設(shè)展開式中第r+1項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)， -202021/8/8 星期日5題型一 計(jì)數(shù)原理【例1】(

4、1)5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位 同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有 ( ) A.10種 B.20種 C.25種 D.32種 解析 因?yàn)槊咳司袃煞N選擇方法,所以不同的報(bào)名 方法有25=32種.D2021/8/8 星期日6(2)(2009全國(guó))甲、乙兩人從4門課程中各選修2 門,則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有( ) A.6種 B.12種 C.24種 D.30種 解析 甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法為【探究拓展】加法原理和乘法原理的應(yīng)用實(shí)質(zhì)是對(duì)問(wèn) 題的分類或分步的討論,正確的分類或分步的關(guān)鍵是 弄清楚分類或分步的區(qū)別,分類是對(duì)問(wèn)題的不同情況 分別處理,而分步是

5、對(duì)完成該問(wèn)題的一種方法分成幾 步去做.分步和分類往往交互使用. C2021/8/8 星期日7變式訓(xùn)練1 (1)生產(chǎn)過(guò)程有4道工序,每道工序需要安 排一人照看,現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分 別照看一道工序,第一道工序只能從甲、乙兩工人中 安排1人,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人, 則不同的安排方案有 ( ) A.24種 B.36種 C.48種 D.72種 解析 若第一道工序由甲來(lái)完成,則第四道工序必由 丙來(lái)完成,故完成方案共有 =12種;若第一道工序 由乙來(lái)完成,則第四道工序必由甲、丙二人之一來(lái)完 成,故完成方案共有 =24種;不同的安排方案 共有 =36種. B2021/8/8

6、 星期日8(2)將1，2，3填入33的方格中,要求 每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字,右面是一 種填法,則不同的填寫方法共有( ) A.6種 B.12種 C.24種 D.48種 解析 由于33方格中,每行、每列均 沒有重復(fù)數(shù)字,因此可從中間斜對(duì)角線 填起.如圖中的,當(dāng)全為1時(shí),有2種 (即第一行第2列為2或3,當(dāng)?shù)诙刑?時(shí),第三列只能 填3,當(dāng)?shù)谝恍刑钔旰?其他行的數(shù)字便可確定),當(dāng) 全為2或3時(shí),分別有2種,共有6種;當(dāng)分別為1,2,3 時(shí),也共有6種.所以不同的填寫方法共12種. B2021/8/8 星期日9題型二 排列與組合【例2】(1)(2009湖南)某政府召集5家企業(yè)的負(fù)責(zé) 人開會(huì),已知甲

7、企業(yè)有2人到會(huì),其余4家企業(yè)各有1人 到會(huì),會(huì)上有3人發(fā)言,則這3人來(lái)自3家不同企業(yè)的可 能情況的種數(shù)為 ( ) A.14 B.16 C.20 D.48 解析 3個(gè)來(lái)自不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為 B2021/8/8 星期日10(2)12名同學(xué)合影,站成了前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師 要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,若其他人的相對(duì)順 序不變,則不同調(diào)整方法的種數(shù)是 ( ) A. B. C. D. 解析 在后排選出2個(gè)人有 種選法,分別插入到前 排中去,有 種方法,由乘法原理知共有 種調(diào)整方案. C2021/8/8 星期日11【探究拓展】解決排列、組合通常分三步:一,分清問(wèn) 題的性質(zhì)是分類還是分步,

8、分類時(shí)還要做到不重不 漏;二,分步計(jì)算時(shí)要先選后排,寫出每一類或每一步 的方法種數(shù);三,各分類種數(shù)相加或分步種數(shù)相乘,然 后得出結(jié)果. 2021/8/8 星期日12變式訓(xùn)練2 (1)(2009湖北)從5名志愿者中選派4人 在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng),每人一天, 要求星期五有一人參加,星期六有兩人參加,星期日有 一人參加,則不同的選派方法共有 ( ) A.120種 B.96種 C.60種 D.48種 解析 從5人中選4人有 種方法,星期五有一人參 加有 種方法,星期六有兩人參加有 種方法,共 有 =543=60種選派方法. C2021/8/8 星期日13(2)某校安排5個(gè)班到4個(gè)工廠進(jìn)

9、行社會(huì)實(shí)踐,每個(gè)班去 一個(gè)工廠,每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班,則不同的安排 方法共有_種.(用數(shù)字作答) 解析 由題意知必有2個(gè)班去同一個(gè)工廠,故將5個(gè)班 中的2個(gè)作為一組,與其他3個(gè)班共為4組,再將這4組 安排在4個(gè)不同的工廠,所以不同的安排種數(shù)為 2402021/8/8 星期日14題型三 二項(xiàng)式定理【例3】(1)(2009江西)若 能被7整除,則x,n的值可能為 ( ) A.x=4,n=3 B.x=4,n=4 C.x=5,n=4 D.x=6,n=5 解析 由 分別 將選項(xiàng)A、B、C、D代入檢驗(yàn)知,僅有C適合. C2021/8/8 星期日15(2)(2009陜西)若(1-2x)2 009=a0+a

10、1x+a2 009x2 009 (xR),則 的值為 ( ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 解析 (1-2x)2 009=a0+a1x+a2 009x2 009, 其中a0=1所以 C2021/8/8 星期日16(3)(1+2x)3(1-x)4展開式中x的系數(shù)為_. 解析 (1+2x)3(1-x)4展開式中x項(xiàng)為 所求系數(shù)為 【探究拓展】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式中 的某種特定項(xiàng)是一類典型的問(wèn)題,首先要確定通項(xiàng)公 式中r的取值范圍,還需注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的 區(qū)別與聯(lián)系. 22021/8/8 星期日17變式訓(xùn)練3 (1)(2009北京)若 (a、b為有理數(shù)),則a+b等于 (

11、) A.33 B.29 C.23 D.19 解析 又a,b為有理數(shù),a=17,b=12.a+b=29. (2) 的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為15,則n等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析 令2n-3r=0,而r=0,1,2,n,則 則r=2,4,6,8,n=3,6,9,. 此時(shí)只有 =15,所以n=6. BD2021/8/8 星期日18【考題再現(xiàn)】(2009四川)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排, 若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相 鄰,則不同排法的種數(shù)是 ( ) A.60 B.48 C.42 D.36【解題示范】 解析 方法一 從3位女生中任取2人“捆”在一起記 作A(A

12、共有 種不同排法),剩下一名女生記作 B,兩位男生分別記作甲、乙;則男生甲必須在A、B之2021/8/8 星期日19間(若甲在A、B兩端,則為使A、B不相鄰,只有把男生乙排在A、B之間,此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求),此時(shí)共有62=12種排法(A左B右和A右B左).最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙,所以,共有124=48種不同排法. 方法二 從3位女生中任取2人“捆”在一起記作A(A共有 種不同排法),剩下一名女生記作B,兩位男生分別記作甲、乙;為使男生甲不在兩端可分三類情況:第一類:女生A、B在兩端,男生甲、乙在中間,共有 種排法;2021/8/8 星期日20第二類:“捆綁”

13、A和男生乙在兩端,則中間女生B和男生甲只有一種排法,此時(shí)共有 種排法.第三類:女生B和男生乙在兩端,同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法.此時(shí)共有 種排法.故不同排法為24+12+12=48種.答案 B 5分2021/8/8 星期日211.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用:(1)應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理要求每 一種方法都能把事件獨(dú)立完成,即每法皆可完,方法 可分類;應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理要求每步均是完成事件必 須經(jīng)過(guò)的若干彼此獨(dú)立的步驟,即每法必分步,每步 皆未完;(2)在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理解 決問(wèn)題時(shí),一般先分類再分步,每一步中可能要用到 分類計(jì)數(shù)原理;(3)對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題,往往同時(shí)運(yùn)用兩 個(gè)原理,恰當(dāng)?shù)?/p>

14、畫出示意圖或用列出表格的方法來(lái) 幫助分析,是使問(wèn)題形象化、具體化、直觀化的有 效手段. 2021/8/8 星期日222.關(guān)于排列、組合綜合題解法的若干技巧：(1)解排 列、組合混合題一般是先組合后排列或先利用元素的 性質(zhì)進(jìn)行分類、分步,再利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理作最后處 理;(2)對(duì)于較難解決的問(wèn)題可用間接法,但應(yīng)做到不 重不漏;(3)對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題,通 常采用以下途徑思考:以元素為主,即先滿足特殊 元素的要求,再考慮其它元素.以位置為主,即先滿 足特殊位置的要求.(4)關(guān)于排列、組合問(wèn)題的求解, 應(yīng)掌握以下基本方法與技巧:特殊元素(特殊位置) 優(yōu)先安排;排列、組合混合問(wèn)題先選后排;

15、相鄰問(wèn) 題捆綁處理;不相鄰問(wèn)題插空處理;定序問(wèn)題排除2021/8/8 星期日23 法處理;分排問(wèn)題直排處理;“小集團(tuán)”排列問(wèn) 題先整體后局部;合理分類與準(zhǔn)確分步;正難則 反,等價(jià)轉(zhuǎn)化.構(gòu)造模型,解決問(wèn)題.3.二項(xiàng)式定理及應(yīng)用:(1)對(duì)于二項(xiàng)式定理中,二項(xiàng)展 開式的特征要分清，清楚各項(xiàng)的變化規(guī)律;(2)通項(xiàng) 是解決二項(xiàng)式定理問(wèn)題的重要公式, 高考中很多問(wèn)題都是用它來(lái)解決;(3)賦值法是求二 項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題的常用方法,給a,b賦予特殊值往往可 以快速解決展開式(部分)系數(shù)(絕對(duì)值)和等問(wèn)題的 常用方法;(4)對(duì)于二項(xiàng)式相乘的系數(shù)求解問(wèn)題,前后 搭配是常用的有效手段. 2021/8/8 星期日24 一

16、、選擇題1.(2009廣東)2010年廣州亞運(yùn)會(huì)要從小張、小趙、 小李、小羅、小王五名志愿者中選派四個(gè)分別從事 翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作,若其中小張和小 趙只能從事前兩項(xiàng)工作,其余三人均能從事這四項(xiàng)工 作,則不同的選派方案共有 ( ) A.36種 B.12種 C.18種 D.48種 解析 分兩類:若小張和小趙恰有1人入選,則有選法 若小張、小趙都入選,則有選法 =12,共有選法36種. A2021/8/8 星期日252.由數(shù)字1，2，3，9組成的三位數(shù)中各位數(shù)字按 嚴(yán)格遞增(如“156”)或嚴(yán)格遞減(如“421”)順序排 列的數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( ) A.120 B.168 C.204 D.2

17、16 解析 可分兩步完成,首先選出三個(gè)數(shù)字,有 種選法,然后再按從小到大或從大到小排列,有2種排 法,所以共有842=168個(gè). B2021/8/8 星期日263.從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù) 字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四 位數(shù)的個(gè)數(shù)為 ( ) A.120 B.300 C.240 D.108 解析 第一步把5放到四位數(shù)的個(gè)位上;第二步從1, 3,7中任取1個(gè)數(shù)字,有 種方法;第三步從2,4,6,8 中任取2個(gè)數(shù)字,有 種方法;第四步把選出的3個(gè)數(shù) 字分別放在四位數(shù)的千位、百位與十位上,有 種 方法.故共有 個(gè). D2021/8/8 星期日274

18、.(2009江西)(1+ax+by)n展開式中不含x的項(xiàng)的系數(shù) 絕對(duì)值和為243,不含y的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為32, 則a,b,n的值可能為 ( ) A.a=2,b=-1,n=5 B.a=-2,b=-1,n=6 C.a=-1,b=2,n=6 D.a=1,b=2,n=5 解析 令x=0,y=1得(1+b)n=243, 令y=0,x=1得(1+a)n=32,將選項(xiàng)A、B、C、D代入檢驗(yàn) 知D正確,其余均不正確. D2021/8/8 星期日285.如圖所示,一環(huán)形花壇分成A、B、 C、D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選 種,要求在每塊里種1種花,且相鄰 的2塊種不同的花，則不同的種法 總數(shù)為 ( ) A.

19、96 B.84 C.60 D.48 解析 當(dāng)花壇中的花各不相同時(shí),共有 種不同的 種法;若在花壇中種植三種花,此時(shí)一種方法是A與C 種的花相同有 種,B、D各不相同有 種,另2021/8/8 星期日29一種方法是B、D相同,A、C各不相同,共有 種,因此種植三種花時(shí)有 種;若在花壇中種植兩種花,則只能是A、C相同,B、D相同,共有 種.所以共有 =24+48+12=84(種)不同種法.答案 B 2021/8/8 星期日306.(2009陜西)從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中任取兩 個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè) 數(shù)為 ( ) A.300 B.216 C.180 D.162

20、解析 分兩類情況: 一類不含0,有 個(gè)數(shù)， 一類含0,有 個(gè)數(shù). 所以共有72+108=180（個(gè)）.二、填空題7.(2009全國(guó))(x-y)10的展開式中,x7y3的系數(shù)與 x3y7的系數(shù)之和等于_. 解析 C-2402021/8/8 星期日318.(2009浙江)甲、乙、丙3人站到共有7級(jí)的臺(tái)階上, 若每級(jí)臺(tái)階最多站2人,同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站 的位置,則不同的站法種數(shù)是_.(用數(shù)字作答) 解析 當(dāng)每個(gè)臺(tái)階上各站1人時(shí)有 種站法,當(dāng)兩 個(gè)人站在同一個(gè)臺(tái)階上時(shí)有 種站法,因此不 同的站法種數(shù)有 =210+126=336 (種).3362021/8/8 星期日329.在 的展開式中,x2的系數(shù)是_.(用數(shù)字 作答) 解析 令 得