數(shù)學(xué)培訓(xùn)計(jì)算方法

1、數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)內(nèi)容 -目錄數(shù)值積分 4曲線擬合3常微分方程的數(shù)值解 5 非線性方程求解 6 插 值 2 誤 差 12總述 數(shù)值計(jì)算是研究用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論。以純數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，但不象純數(shù)學(xué)只研究數(shù)學(xué)本身的理論，側(cè)重于研究問題求解的數(shù)值方法。 包括方法的收斂性、穩(wěn)定性及誤差分析，還要根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)研究計(jì)算時(shí)間最省的計(jì)算。 有的理論上雖不夠完美，但通過對(duì)比分析、實(shí)際計(jì)算和實(shí)踐檢驗(yàn)等選手，被認(rèn)為是行之有效的方法。3第一節(jié) 誤差誤差來源固有誤差計(jì)算誤差（量測(cè)誤差）截?cái)嗾`差：用數(shù)值方法求近似解時(shí)所產(chǎn)生的誤差。如：用收斂無窮級(jí)數(shù)的前有限項(xiàng)代替無窮級(jí)數(shù)。舍入誤差：對(duì)某個(gè)數(shù)進(jìn)行舍入時(shí)產(chǎn)生的

2、誤差。舍入方法很多，有收尾法（只入不舍），去尾法（只舍不入），四舍五入等。4絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差56有效數(shù)字7數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)8數(shù)值運(yùn)算的一些原則1.簡(jiǎn)化步驟，減少運(yùn)算次數(shù)，減少舍入誤差的積累；2.避免相近數(shù)相減，以防有效數(shù)字的嚴(yán)重?fù)p失而影響精度；3.避免使用“小分母”，以防運(yùn)算結(jié)果過大而溢出；4.防止大數(shù)“吃”小數(shù)；5.選用數(shù)值穩(wěn)定的計(jì)算公式，避免誤差的傳播。9第二節(jié) 插值 插值與 Lagrange,Newton,Gauss等數(shù)學(xué)家名字連在一起，最初來源于天體計(jì)算的需要。比如:得到了若干的觀測(cè)值，即某星球在若干時(shí)刻的位置，需要計(jì)算星球在另一些時(shí)刻的位置。 插值：通俗的講，就是在若干已知的函數(shù)

3、值之間插入一些未知的函數(shù)值。10Lagrange 插值n次Lagrange 插值公式11插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)12分段線性插值 簡(jiǎn)單地說，就是將兩個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線連接起來，形成折線，就是分段線形插值函數(shù)。13Hermite插值 Hermite插值也叫帶指定微商值的插值,它要構(gòu)造一個(gè)插值函數(shù),不但在給定節(jié)點(diǎn)上取函數(shù)值,而且取已知微商值，使插值函數(shù)和被插函數(shù)的密和程度更好。 由于給定值增加了一倍，插值多項(xiàng)式代定系數(shù)也增加一倍，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)為n+1時(shí)，可唯一確定一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的插值多項(xiàng)式。14三次樣條插值 樣條來自于船舶，飛機(jī)等設(shè)計(jì)中描繪光滑外形曲線用的繪圖工具。一根有彈性的細(xì)長(zhǎng)木條用壓鐵固定在節(jié)點(diǎn)

4、為，其他地方讓它自然彎曲，如此畫出的曲線稱為樣條曲線。 因?yàn)檫@種曲線的曲率是處處連續(xù)的，所以要求樣條函數(shù)是二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。15插值的MATLAB實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值 編寫一個(gè)函數(shù)M文件，名為L(zhǎng)agr.mLagr.mLagra.m16第三節(jié) 曲線擬合 一 最小二乘法先在坐標(biāo)系中描點(diǎn)，觀察形狀，憑經(jīng)驗(yàn)確定曲線的一般形式。17直線擬合18拋物擬合19可線性化的曲線擬合 若變量之間是指數(shù)關(guān)系或雙曲關(guān)系時(shí)，可先通過某種變量替換，將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，再進(jìn)行曲線擬合。1.2.203.4.21曲線擬合在MATLAB中的實(shí)現(xiàn) P=0.0 1.1 2.1 2.8 4.2 5.0 6.1 6.9 8.1 8.9 9.0;

5、 U=10 11 13 14 17 18 22 24 29 34 39 ; V=polyfit(P,U,3) %輸出四維向量 P1=0:0.01:10; U1=polyval(V,P1); %計(jì)算x=P1時(shí)多項(xiàng)式V的值 Polt(P1,U1,P,U,ro)%求誤差平方和 a=V(1);b=V(2);c=V(3);d=V(4);for i=1:11 W=sum ( (U(i)-(a*P(i).3+b*P(i).2+c*P(i)+d)2) end作業(yè) 在研究單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí)，有下列數(shù)據(jù)i 1 2 3 4 5 6 7 8i 3 6 9 12 15 18 21 24yi 57.6 41.9 31

6、22.7 16.6 12.2 8.9 6.5其中表示從實(shí)現(xiàn)開始算起的時(shí)間，y表示時(shí)刻反應(yīng)物的量。試確定關(guān)系式y(tǒng)=f()化學(xué)反應(yīng)速度理論為y=kem（k,m待定）22第四節(jié) 數(shù)值積分23求積公式的建立24誤差估計(jì)25MATLAB中數(shù)值積分函數(shù)261.字符表達(dá)式 y1=1./(x-0.3).2+0.01)+ 1./(x-0.9) .2+0.01)-6 繼續(xù)輸入 f=quad(y1,-1,2)2.內(nèi)聯(lián)函數(shù) sym y2 y2=inline(1./(x-0.3).2+0.01)+ 1./(x-0.9) .2+0.01)-6) %inline返回一個(gè)字符串表示的函數(shù)句柄 繼續(xù)輸入 f=quad(y2,-

7、1,2)或q,n=quad(y2,-1,2)3.M-函數(shù)文件法 在編輯窗口建立文件f.m Function y=f(x) y=1./(x-0.3).2+0.01)+ 1./(x-0.9) .2+0.01)-6在輸入窗口輸入 f=quad(f,-1,2)27用trapz函數(shù)，則可輸入 x=-1:0.1:2; y=1/.； Ttrapz(x,y)28第五節(jié) 常微分方程的數(shù)值解29歐拉折線法3031改進(jìn)歐拉公式梯形公式，隱式，難計(jì)算！采用預(yù)測(cè)-校正方法改進(jìn)：32龍格-庫(kù)特方法常用4級(jí)4階的龍格-庫(kù)特方法。33MATLAB實(shí)現(xiàn)1.ode23 用龍格-庫(kù)特方法求解，使用3級(jí)2階 ode45 5級(jí)4階 t,x=ode23(f,ts,x0,options) t,x=ode45(f,ts,x0,options)% f 待解方程寫成的函數(shù)M文件；%若ts =t0,t1,tf , 則輸出在指定時(shí)刻t0,t1,tf的函數(shù)值;若ts = t0:k:tf , 則輸出在時(shí)刻t0,tf內(nèi)以k為間隔的函數(shù)值。 X0為函數(shù)初值（n維向量）；options 設(shè)定誤差限 Options=odeset(reltol,rt,abstol,at); rt表示相對(duì)誤差限；at 表示絕對(duì)誤差限 輸出t對(duì)應(yīng)輸入ts；輸出x為相應(yīng)的函數(shù)值。34方程組與高階方程的情形35Euler-1Euler-2rk436第六節(jié) 非線性方程求