2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第23講正弦定理和余弦定理應(yīng)用(含解析)

1、2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)優(yōu)選教學(xué)設(shè)計：第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(含解析)2019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)優(yōu)選教學(xué)設(shè)計：第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(含解析)9/92019屆高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)優(yōu)選教學(xué)設(shè)計：第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(含解析)第23講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用考試說明能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實責(zé)問題.考情解析考點觀察方向考例觀察熱度解三角形利用三角恒等變換解2017全國卷17,2017與三角恒三角形,在三角形中求全國卷11,2016全國等變換三角函數(shù)值卷13三角函數(shù)三角函數(shù)性質(zhì)與解三與解三角角形的綜合形解三角形實質(zhì)

2、應(yīng)用中距離、高的實質(zhì)應(yīng)度、角度的計算用真題再現(xiàn)2017-2013課標(biāo)全國真題再現(xiàn)2016全國卷的內(nèi)角,的對邊分別為,若cosA=,cosC=,1,則b=.ABCABCabca=答案解析cosA=,cosC=,且A,C為三角形的內(nèi)角,sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=.由正弦定理得=,解得b=.2017-2016其他省份近似高考真題1.2015湖北卷如圖D在西偏北30的方向上3-23-1,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,行駛600m后到達B處,測得此山頂在西偏北,到A處時測得公路北側(cè)一山頂75的方向上,仰角為30,則此山的高度CD=m.

3、答案100解析依題意,在中,600,30,753045.由正弦定理得=,即ABCAB=BAC=ACB=-=,因此BC=300.在BCD中,CBD=30,CD=BCtanCBD=300tan30=100.2.2014四川卷如圖3-23-2所示,從氣球A上測得正前面的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高度是60m,則河流的寬度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m解析C由題意可知,AC=120.BAC=75-30=45,ABC=180-45-30=105,因此sinABC=sin105=sin(60+45)=sin60cos45c

4、os60sin45=.+在ABC中,由正弦定理得=,于是BC=120(-1).應(yīng)選C.【課前雙基牢固】知識聚焦1.水平視線上方下方2.正北方向3.水平角4.水平面水平長度對點演練15解析由題可知60,由正弦定理得=,即=,得5.ACB=BC=.2.2或解析以下列圖,應(yīng)有兩種情況.由正弦定理,得=,sinA=,A=60或A=120.當(dāng)A=60時,AB=2;當(dāng)A=120,AB=.3.解析由題意可得,在ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且+ACB=.由余弦定理可得222222AB=AC+BC-2ACBCcosACB,即3.5=1.4+2.8-21.42.8cos(-),解得c

5、os=,因此sin=,因此tan=.4.解析在BCD中,CBD=-.由正弦定理得=,因此BC=.在RtABC中,AB=BCtanACB=.5.130解析60+70=130.6南偏西80解析由條件及圖可知,40,又60,因此30,因此10,.A=B=BCD=CBD=DBA=因此燈塔A在燈塔B南偏西80的方向.7.200解析依照方向角的看法可得.8.20m解析由已知,四邊形CBMD為正方形,CB=20m,BM=20m.又在RtAMD中,DM=20m,ADM=30,AM=DMtan30=(m),AB=AM+MB=+20=201+m.【課堂考點研究】例1思路點撥先解,得出,再解Rt,得出,最后在中,由

6、余弦定理求AB.ACDADBCDBDABD解:連接AB.由題意可知CD=40,ADC=105,BDC=45,BCD=90,ACD=30,CAD=45,ADB=60.在中,由正弦定理得=,20ACDAD=.在RtBCD中,BDC=45,BCD=90,BD=CD=40.在ABD中,由余弦定理得AB=20,即A,B兩處島嶼的距離為海里.變式題解析在ABC中,cosABC=,因此sinABC=,因此在ABC中,AD=ABsinABC=5=(m).例2思路點撥(1)直角三角形求AC.在ABC中使用余弦定理列方程求解A,C的距離;(2)在AHC中使用正弦定理也許解解:(1)設(shè)BC=x米,由條件可知AC=x

7、+340=x+40(米).在ABC中,由余弦定理,可得222BC=AB+AC-2ABACcosBAC,即x2=1002+(40+x)2-2100(40+x),解得x=380,因此AC=380+40=420(米),故A,C兩地間的距離為420米.(2)在ACH中,AC=420,HAC=30,AHC=90-30=60,則由正弦定理,可得=,即=,因此HC=140,故這種儀器的垂直彈射高度為140米.變式題6340解析AB=30km,C=75-15=60,在ABC中由正弦定理得=,BC=,C到AB所在直線的距離h=BCsin75=20sin15sin75=10sin30=5=51.732=8.66(

8、km),山頂?shù)暮０胃叨葹?15-8.66)km=6340m.例3思路點撥(1)在直角三角形BCP中可求得BC的值,在ABC中由正弦定理可求得AB的值,結(jié)合時間可求出航行速度;(2)在BCD中由余弦定理求得CD,再在BCD中,由正弦定理可得CDB的正弦值,進而確定D方向.解:(1)在BCP中,由tanPBC=,得BC=2,在ABC中,由正弦定理得=,即=,因此AB=2(+1),故船的航行速度是每小時6(+1)千米.(2)在BCD中,BD=+1,BC=2,CBD=60,則由余弦定理得CD=,在BCD中,由正弦定理得=,即=,因此sinCDB=,因此,山頂位于D處南偏東45的方向.變式題C解析在AB

9、C中,由正弦定理可知BC=50(-)(m).在BCD中,由正弦定理可知sinBDC=-1.由題圖知cos=sinADE=sinBDC=-1,應(yīng)選C.【備選原由】解三角形的應(yīng)用經(jīng)常不限制在使用正、余弦定理解三角形到觀察考生綜合運用知識解決實責(zé)問題的能力,下面各例均為此而選,平時還會與其他知識相互綜合,達,可在合適考點使用,也可作為拓展使用.配合例1使用如圖,游客從某旅游區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A處沿直線步行到C處,另一種是從A處乘纜車沿直線到B處,爾后從B處沿直線步行到C處.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿勻速步行,速度為50m/min,在甲出發(fā)2min后,乙從A處乘纜車到B

10、處,在B處停留1min后,AC再從B處勻速步行到C處.假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min,山路AC長1260m,經(jīng)測量,cosA=,cosC=.求索道AB的長.問乙出發(fā)多長時間后,乙在纜車上與甲的距離最短?解:(1)在中,cosA=,cosC=,sinA=,sinC=,ABC進而sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=+=.由正弦定理得=,得AB=sinC=1040,故索道AB的長為1040m.(2)假設(shè)乙出發(fā)tmin后,甲、乙兩游客的距離為d,此時甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130tm.由余弦定理得d2=(100+50t)2+

11、(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),0t,0t8,故當(dāng)t=時,即乙出發(fā)min后,甲、乙兩游客的距離最短.2拓展使用如圖,經(jīng)過農(nóng)村A有兩條夾角為60的公路AB,AC,內(nèi)新建一座工廠P,分別在兩條公路邊上建兩個庫房M,N(異于農(nóng)村A),設(shè)計,使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與農(nóng)村的距離最遠依照規(guī)劃,擬在兩條公路之間的地域要求PM=PN=MN=2(單位:千米).如何)?解:設(shè)AMN=,則在AMN中,由正弦定理得.因為MN=2,因此AM=sin(120-).在APM中,cosAMP=cos(60+),由余弦定理得222AP=AM+MP-2AMMPc

12、osAMP=sin2(120-)422sin(120-)cos(60)=sin2(60)sin(60)cos(+-+-+60)+4=1-cos(2+120)-sin(2+120)+4=-sin(2+120)+cos(2+120)+=-sin(2+150),(0,120).當(dāng)且僅當(dāng)212,即AP獲取最大值2,此時AM=AN=2千2+150=270,即=60時,AP獲取最大值米,AP=2千米.3配合例1使用如圖,甲船以每小時30海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處,此時兩船相距20海里,當(dāng)甲船航行20分鐘到達A2處時,乙船

13、航行到甲船的北偏西120方向的B2處,此時兩船相距10海里.問:乙船每小時航行多少海里?解:連接A1B2,由題意知A2B2=10,A1A2=30=10,A1A2=A2B2.又A1A2B2=180-120=60,A1A2B2是等邊三角形,A1B2=A1A2=10.由已知得,A1B1=20,B1A1B2=105-60=45,在A1B2B1中,由余弦定理得11111122+(1021012B=A+A-2ABABcos45=20)-220=200,BB=10.因此,乙船的航行速度為6030(海里小時).=/4配合例3使用2014浙江卷如圖,某人在垂直于水平川面ABC的墻眼前的點A處進行射擊訓(xùn)練.已知點

14、A到墻面的距離為AB,某目標(biāo)點P沿墻面上的射線CM搬動,此人為了正確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P,需計算由點A觀察點P的仰角的大小.若AB=15m,AC=25m,BCM=30,則tan的最大值是.(仰角為直線AP與平面ABC所成角)答案解析由勾股定理得BC=20m.如圖3-23-20,過P點作PDBC于D,連接AD,則由點A觀察點P的仰角=PAD,tan=.設(shè)PD=x,則DC=x,BD=20-x,在RtABD中,AD=,因此tan=,故tan的最大值為.5拓展使用某港口要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于O港口O北偏西30的方向且與該港口相距20nmile的A處,并以30nmile/h的航行速度向正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以vnmile/h的航行速度勻速行駛,經(jīng)過th后與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達到30nmile/h,試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇,并說明原由.解:(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為snmile,則s=,故當(dāng)t=時,smin=