數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)部表征及其圖式

1、數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)部表征及其圖式（華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院吳躍忠510631）學(xué)習(xí)者在頭腦內(nèi)部對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征與數(shù)學(xué)問(wèn)題的呈現(xiàn)方式往往不一樣，同時(shí)，學(xué)習(xí)者在頭腦內(nèi)部對(duì)問(wèn)題的解答模式也與教師的呈現(xiàn)的模式不一樣認(rèn)知心理學(xué)試圖設(shè)計(jì)出學(xué)習(xí)者對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征圖式，以替代數(shù)學(xué)家給出的形式化的數(shù)學(xué)結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，初學(xué)者對(duì)于圖式的理解優(yōu)于抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論；此研究結(jié)論對(duì)于數(shù)學(xué)教師的啟示在于，教師的解題經(jīng)驗(yàn)往往不能成為學(xué)習(xí)者的圖式關(guān)鍵詞：表征；圖式；模式；隱含條件問(wèn)題提出數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)由數(shù)學(xué)家千錘百煉而成，它不適合學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史告訴我們，幾乎數(shù)學(xué)的每一項(xiàng)知識(shí)都從某個(gè)水平上開(kāi)始，經(jīng)歷抽象化、形式化和符號(hào)化的過(guò)程，最終被邏輯

2、地形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，在教學(xué)中，恰恰很難復(fù)制這個(gè)過(guò)程，因而這個(gè)過(guò)程常常被掩埋，弗賴登塔爾說(shuō)過(guò)，如果將數(shù)學(xué)知識(shí)按照數(shù)學(xué)家最后形成的形態(tài)直接傳授給學(xué)生，那就是“數(shù)學(xué)教學(xué)法的倒置”1，認(rèn)為這樣的數(shù)學(xué)教育抹殺了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造精神，以及切割了絢麗多彩的思維活動(dòng)；事實(shí)上，不僅數(shù)學(xué)教育家認(rèn)識(shí)到這個(gè)問(wèn)題嚴(yán)重性，數(shù)學(xué)教育工作者以及有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師在實(shí)踐中同樣也識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題，他們一直在與這個(gè)問(wèn)題搏斗在過(guò)去的數(shù)學(xué)教材教法著作中，將數(shù)學(xué)家的知識(shí)改造為符合教學(xué)規(guī)律、學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，以及心理特征的方法，稱之為“教學(xué)法處理”用認(rèn)知心理學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)講，教學(xué)法處理的實(shí)質(zhì)是使得學(xué)習(xí)者內(nèi)化數(shù)學(xué)知識(shí)，并將呈現(xiàn)于紙質(zhì)媒介上的數(shù)學(xué)知識(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)，

3、內(nèi)化為學(xué)習(xí)者頭腦中合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)認(rèn)結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)教師在對(duì)數(shù)學(xué)材料進(jìn)行教學(xué)法處理的實(shí)踐活動(dòng)中，創(chuàng)造了許許多多的優(yōu)秀方法，這些方法是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色之一，也是“雙基”實(shí)踐的重要基石如三角函數(shù)中的8個(gè)同角關(guān)系式的六邊形記憶法，誘導(dǎo)公式記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”等，這些工作都試圖將繁雜的數(shù)學(xué)公式的記憶進(jìn)行教學(xué)法處理，以幫助學(xué)習(xí)者優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，我們將經(jīng)過(guò)教學(xué)法處理后的數(shù)學(xué)知識(shí)，稱之為圖式，以下我們還將從認(rèn)知心理學(xué)的角度認(rèn)識(shí)圖式概念把寫(xiě)在紙上的知識(shí)（結(jié)構(gòu)）內(nèi)化為學(xué)習(xí)者頭腦內(nèi)部的知識(shí)（結(jié)構(gòu)），這就要求教師評(píng)估知識(shí)結(jié)構(gòu)在學(xué)習(xí)者的頭腦內(nèi)部結(jié)構(gòu)中是什么樣的形態(tài)，或者說(shuō)，學(xué)習(xí)者在其頭腦中如何描述知識(shí)結(jié)構(gòu)；例如，

4、數(shù)學(xué)家在形式化定義函數(shù)之前，他在頭腦中的函數(shù)形態(tài)應(yīng)該不是寫(xiě)在紙上的那種形式，到底是什么樣的形態(tài)，可能永遠(yuǎn)都是一個(gè)迷因此，問(wèn)題產(chǎn)生了，對(duì)于一個(gè)初作者簡(jiǎn)介：吳躍忠（1959），湖北黃石，副教授，主要從事數(shù)學(xué)解決的認(rèn)知心理學(xué)研究作者簡(jiǎn)介：吳躍忠（1959），湖北黃石，副教授，主要從事數(shù)學(xué)解決的認(rèn)知心理學(xué)研究學(xué)者，如果我們不知道他頭腦里關(guān)于當(dāng)前學(xué)習(xí)材料的圖式，因而我們給出的教學(xué)法處理所得的圖式就是臆斷的，并非學(xué)習(xí)者在頭腦中所描述的，如果這個(gè)圖式與學(xué)習(xí)者頭腦內(nèi)部所描述該項(xiàng)知識(shí)的形態(tài)相差較遠(yuǎn)，教學(xué)效果必然受到這個(gè)差距的不利影響，因此，尋找合適的圖式，是提高教學(xué)效率的一個(gè)重要因素心理學(xué)家將人們頭腦中對(duì)外界事

5、物的描述稱為表征2，由此我們可將教學(xué)法處理理解為，創(chuàng)建適應(yīng)于大部分學(xué)生的關(guān)于某個(gè)數(shù)學(xué)材料的共同表征，事實(shí)上，表征是極具個(gè)性化的，對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)材料，或許不同的人具有不同的表征，對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)部表征將決定該問(wèn)題的解決，以及對(duì)數(shù)學(xué)的理解本文將討論數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的圖式，揭示表征的困難性，以及經(jīng)驗(yàn)對(duì)于表征的誤解問(wèn)題的表征結(jié)構(gòu)研究表明，人們確實(shí)能對(duì)外界事物進(jìn)行表征，認(rèn)知心理學(xué)家已經(jīng)研究了不同的表征類(lèi)型，但是，認(rèn)知心理學(xué)家并沒(méi)有真正解決人們關(guān)于事物的清晰的表征，亦即，并不能為人們頭腦中關(guān)于外界事物的表征畫(huà)一張圖譜，因此，所有的寫(xiě)在紙上的所謂表征都是猜測(cè)，或者是被表征對(duì)象與表征之間的媒介物，因此，我們對(duì)表征

6、的描述只是學(xué)習(xí)者的內(nèi)部表征與學(xué)習(xí)材料之間的某個(gè)點(diǎn)，而表征則是這個(gè)點(diǎn)最終的極限位置由于描述表征的困難性，部分心理學(xué)家將注意力放到研究表征的屬性上2，而對(duì)數(shù)學(xué)教育比較接近的表征屬性是表征結(jié)構(gòu)，也就是大家熟悉的圖式圖式是一種類(lèi)別表征，這與數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中將問(wèn)題分類(lèi)的訓(xùn)練方法頗為相似心理學(xué)家一直在尋找抽象的形式化數(shù)學(xué)結(jié)論與人的內(nèi)部表征之間的橋梁，為學(xué)習(xí)者理解數(shù)學(xué)提供途徑，以下我們介紹一個(gè)相關(guān)研究如所之，方程由算術(shù)發(fā)展而成，是人們將某類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題的解法形式化的結(jié)果美國(guó)心理學(xué)家Reed(1987)、中國(guó)心理學(xué)家莫雷(2004)研究了一次代數(shù)方程圖式與一次代數(shù)方程對(duì)學(xué)習(xí)的影響，研究結(jié)果表明，對(duì)于初學(xué)者而言，圖式

7、較之方程更易理于解數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的原理以下的案例屬于Reed3火車(chē)A以200km/h的速度開(kāi)出車(chē)站向東行駛，兩小時(shí)之后，火車(chē)B開(kāi)出同一車(chē)站也向東行駛，但速度是250km/h問(wèn)火車(chē)B何時(shí)將會(huì)趕上火車(chē)A?其方程類(lèi)型為：250Xt=200X(t+2)圖式類(lèi)型：圖I一個(gè)D-K-T問(wèn)趣國(guó)式的例子（陰影區(qū)表示未知的呈；11=距離：速度門(mén)和匸時(shí)間：壷示乘號(hào)1每個(gè)D-R-T圖式模式都對(duì)應(yīng)一列火車(chē)，表示為垂直方向，而與之相關(guān)的信息則被安排在水平方向無(wú)論是從垂直方向還是水平方向，由直線相連的橢圓中都能讀出一個(gè)完整的方程顯然，上述兩位心理學(xué)家是利用學(xué)生易于理解的準(zhǔn)“流程圖”來(lái)替代數(shù)學(xué)中的字母符號(hào)與方程，用這個(gè)代數(shù)圖式

8、去接近人腦對(duì)于應(yīng)用題模型的表征顯然，我們只能證明，對(duì)于初學(xué)者，這個(gè)圖式表征優(yōu)于方程，而不能證明這是最好的，正如前述，圖式是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，而代數(shù)圖式這是這個(gè)過(guò)程中一個(gè)點(diǎn)從圖式視角來(lái)看，我們也可以將尋找圖式的過(guò)程看成是降低難點(diǎn)過(guò)程，數(shù)學(xué)教師在自己的職業(yè)生涯中，做得最多的工作就是幫助學(xué)生克服數(shù)學(xué)理解、記憶上的困難，并為此發(fā)明了許多方法，以下我們將討論其中與問(wèn)題解決有關(guān)的一種圖式解題模式中的圖式解題教學(xué)在我國(guó)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有主導(dǎo)地位，教師們豐富的解題經(jīng)驗(yàn)自然增進(jìn)了對(duì)解題的理解，并且力求上升為解題模式，這些模式中最為引人注目的作用是將數(shù)學(xué)問(wèn)題分類(lèi)，每類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決形成一個(gè)解題模式，理想狀況是，學(xué)生

9、一旦掌握了這個(gè)模式，將能夠順利解決這個(gè)模式所包含的所有問(wèn)題仔細(xì)一想，這里至少產(chǎn)生兩個(gè)問(wèn)題，其一，在浩瀚的題海里可能存在著無(wú)數(shù)這個(gè)樣的模式，我們無(wú)法窮盡所有模式，因?yàn)閺臒o(wú)窮的觀點(diǎn)來(lái)看，模式總類(lèi)和數(shù)學(xué)問(wèn)題的個(gè)數(shù)一樣多；其二，老師或熟練的解題者所發(fā)展的模式，不一定是學(xué)生頭腦中表征的結(jié)構(gòu)圖式前一問(wèn)題的討論涉及到“雙基”訓(xùn)練，超出本文討論范圍，我們重點(diǎn)討論后一問(wèn)題上述表征理論告訴我們，如果用一個(gè)模式來(lái)代表一個(gè)類(lèi)，這個(gè)模式就應(yīng)該接近圖式，模式越接近圖式，學(xué)生就越能更好地掌握該模式代表的問(wèn)題類(lèi)，上述表征理論還告訴我們，所謂模式，是教師以成熟的解題者的身份來(lái)界定的某個(gè)類(lèi)，而學(xué)習(xí)者的內(nèi)部表征里，或許根本就不存在

10、這個(gè)模式以下，我們以一篇解題經(jīng)驗(yàn)論文所討論的解題模式為例，討論模式與圖式的關(guān)系傅世球先生（2005）4從類(lèi)比、概念、聯(lián)想、推理、計(jì)算和數(shù)形結(jié)合六個(gè)方面論述隱含條件的挖掘，給出了六種對(duì)付隱含條件的模式，充分展示了作者豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，如該文第一個(gè)模式為“仔細(xì)分析已知條件，從類(lèi)比中挖掘隱含條件”，作者是這樣論述通過(guò)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)隱含條件的：例1已知m,n,k1,求證：(logm+(logn+(logk.mnkmnkmnk31例1已知a,b,ceR+，且a+b+c二1,求證：a2+b2+c2,將待解的例1與熟知的例1類(lèi)比，從而發(fā)現(xiàn)隱含條件logm+logn+logk二1，因此例1變?yōu)槔?,由于例1已經(jīng)是熟悉

11、的結(jié)論，mnkmnkmnk例1隨之迎刃而解請(qǐng)注意，該文將類(lèi)比應(yīng)用于發(fā)現(xiàn)隱含條件，如果類(lèi)比源例1已經(jīng)被解題者表征為圖式，而且，解題者還具備發(fā)現(xiàn)隱含條件的類(lèi)比圖式，則解題者容易將類(lèi)比源的方法或結(jié)論應(yīng)用于靶問(wèn)題例1上相反，若解題者的內(nèi)部表征中根本不存在例1這樣的圖式，進(jìn)一步，解題者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中亦不存在發(fā)現(xiàn)隱含條件的解題模式，此方法只是熟練解題者“一箱情愿”地將類(lèi)比源與靶問(wèn)題相組合以構(gòu)作發(fā)現(xiàn)隱含條件的模式我們要討論的是，學(xué)生在實(shí)際解題中是否真的通過(guò)這樣的類(lèi)比發(fā)現(xiàn)隱含條件如果學(xué)生不是用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)隱含條件，就證明了，解題者不具備用類(lèi)比方法發(fā)現(xiàn)隱含條件的圖式我們用該例做了一個(gè)小實(shí)驗(yàn)選取某師大二年級(jí)數(shù)學(xué)系的68

12、名學(xué)生作為被試，每人發(fā)一張A4答題紙，將例1投影到屏幕，要求被試在40分鐘內(nèi)獨(dú)立完成該題，不寫(xiě)姓名要求無(wú)論是否會(huì)做，都應(yīng)將思路寫(xiě)在答題紙上，同時(shí)草稿也書(shū)寫(xiě)在答題紙上.實(shí)際回收64份，從中挑出成功發(fā)現(xiàn)隱含條件logm+logn+logk二1，以及用其它方法正確解答的試卷，一共27份.mnkmnkmnk我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含條件的模式有明顯集中的二種趨勢(shì)，這些趨勢(shì)與文1關(guān)于通過(guò)類(lèi)比發(fā)現(xiàn)隱含條件的論述大相徑庭，以下將描述并討論這些差異.3.1化歸圖式在27份有效答卷中，經(jīng)過(guò)檢查草稿紙，發(fā)現(xiàn)有19名被試?yán)脫Q元法化或觀察法發(fā)現(xiàn)隱含條件logm+logn+logk二1，這19名被試中有9人給出了正確的證

13、明.從草mnkmnkmnk稿上，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)任何存在類(lèi)比源例1的跡象，而是采用化歸的手段發(fā)現(xiàn)隱含條件.如所知化歸與類(lèi)比的關(guān)鍵差別是化歸經(jīng)過(guò)一系列化簡(jiǎn)或變形等手段，將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題；類(lèi)比需要類(lèi)比源，然后比較兩者之間的通過(guò)比較異同，從而發(fā)現(xiàn)隱含條件.另外，下面的發(fā)現(xiàn)也足以證明，被試并未獲得類(lèi)比源.被試對(duì)于化歸為例1后的解答方法形形色色，表明他們是將例1作為全新數(shù)學(xué)題來(lái)求解，據(jù)此可知例1并未成為類(lèi)比源.這里給出被試所使用的兩種方法：方法1：求平面x+y+z二1上的點(diǎn)，使得其在球X2+y2+z2二R2中的半徑最短，從而求得當(dāng)X=y=z=3時(shí)，X2+y2+z2的最小值為3.(111)+a-b1

14、3J13丿11則有方法2：3a,beR+，使得x二3+a，y二3b，z二1-111a1+b丿=-+a2+b2+(ab)2-3333根據(jù)上述分析，利用化歸發(fā)現(xiàn)隱含條件的被試并沒(méi)有形成利用類(lèi)比挖掘隱含條件的圖式，亦沒(méi)有形成類(lèi)比所需要的類(lèi)比源圖式，而化歸成為被試的解題圖式，或者被試首先具有換元圖式.3.2雙基中的圖式與上述的化歸圖式不同，有4名被試并未明確提出隱含條件，隱含條件在解題過(guò)程中被自然地使用.這四名被試解題過(guò)程雖有不同，卻都是使用綜合法，我們稱之為雙基中的綜合圖式.如有被式這樣做：ak+ak+ak由幕平均不等式12nn:)kn丿（這里,an是正數(shù)，k是正整數(shù)）知例1是k=2,n=3的特殊情

15、形.即,m+logn+logk=.mnkmnk3mnkGogm+(logn)2+(logk1Gogmnkmnkmnk3注意到不等式右邊運(yùn)算中使用了隱含條件logm+logn+logk=1.mnkmnkmnk上述解答表明綜合法成為被試的圖式，并且常用的不等式也已成為被試的圖式另有4名被試?yán)貌坏仁阶C明中的分析法與作差法，姑且稱之為分析圖式與作差圖式成功避開(kāi)文4預(yù)設(shè)的隱含條件分析圖式：將原不等式左式換底，得lnmIlnm+lnn+lnk丿lnnIlnm+lnn+lnk丿lnkIlnm+lnn+lnk丿經(jīng)不太繁復(fù)的運(yùn)算，最終有(lnm-Inn)2+(lnn-lnk)2+(lnm-lnk)20.作差圖

16、式：左式減右式再換底，得/lnm丫.lnm+lnn+lnk丿lnn)2+(lnm+lnn+lnk丿lnk)2+(lnm+lnn+lnk丿Lnm一lnn1+Gnm一lnk+Gnn一lnkGnm+lnn+lnk0注意到，上述解答過(guò)程中沒(méi)有出現(xiàn)新的條件，也沒(méi)有式子“消失”，只是利用換底公式替換掉隱含條件“l(fā)ogm+logn+logk二1”.mnkmnkmnk分析法與作差法是不等式部分的重要知識(shí)，被試形成這兩種方法圖式不足為奇這個(gè)實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)于一般的解題者（廣東重本考生）而言，發(fā)現(xiàn)隱含條件的圖式并非通過(guò)類(lèi)比，其原因在于，這種水平的解題者并未在頭腦內(nèi)部表征大量的問(wèn)題模型而是將化歸方法和不等式證明的基本方

17、法（綜合法、分析法、作差法）表征為問(wèn)題解決的圖式需要指出的是，作者作用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)隱含條件雖然有大運(yùn)動(dòng)量訓(xùn)練的局限性，但也有其合理的一面，即解題者若熟練至能將數(shù)學(xué)問(wèn)題結(jié)構(gòu)化，則可以較大地提高解題效率1問(wèn)題解決的圖式與經(jīng)驗(yàn)本文從人腦對(duì)于外界事物的內(nèi)部分表征視角，介紹了心理學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)問(wèn)題表征的圖式方法，雖然心理學(xué)家已經(jīng)證實(shí)了表征的存在性2，但心理學(xué)家并沒(méi)有發(fā)明一種探知學(xué)習(xí)者個(gè)體對(duì)于問(wèn)題表征的形態(tài)的方法，而是假設(shè)問(wèn)題解決模式的某種呈現(xiàn)方式為學(xué)習(xí)者的圖式，由于這種圖式較之抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式更為直觀，因而可成為某個(gè)水平上的數(shù)學(xué)問(wèn)題的入門(mén)級(jí)的學(xué)習(xí)材料另一方面，教師根據(jù)解題經(jīng)驗(yàn)獲得的問(wèn)題分類(lèi)模式，可能存在適應(yīng)性的問(wèn)題，即這些分類(lèi)并非適合于大部分學(xué)習(xí)者，因?yàn)閷W(xué)習(xí)者和有經(jīng)驗(yàn)的解題者關(guān)于問(wèn)題解決的圖式有著根本的不同，這就是所謂“新手”與“專(zhuān)家”的區(qū)別數(shù)學(xué)問(wèn)題的表征結(jié)構(gòu)圖式，使我們以新