數(shù)學建模實例人口預(yù)報問題

1、 /5數(shù)學建模實例：人口預(yù)報問題問題人口問題是當前世界上人們最關(guān)心的問題之一.認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準確的預(yù)報，是有效控制人口增長的前提.下面介紹兩個最基本的人口模型，并利用表1給出的近兩百年的美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對模型做出檢驗，最后用它預(yù)報2000年、2010年美國人口.表1美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)年（公元）1790180018101820183018401850人口（百萬）3.95.37.29.612.917.123.2年（公元）1860187018801890190019101920人口（百萬）31.438.650.262.976.092.0106.5年（公元）19301940195019

2、60197019801990人口（百萬）123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）此模型由英國人口學家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出.1假設(shè)：人口增長率r是常數(shù)（或單位時間內(nèi)人口的增長量與當時的人口成正比）.Xt）建立模型：記時刻t=0時人口數(shù)為x0時刻t的人口為，由于量大，Xt）x甸視為連續(xù)、可微函數(shù)t到t+At時間內(nèi)人口的增量為：xC+At)-xC)=rxtJAt于是xQ滿足微分方程：dxI=rx1）5dtIx(0)=x03模型求解：解微分方程（1）得x(t)=x0ert2）表明：tS時，x（t）（r0

3、）.4模型的參數(shù)估計：要用模型的結(jié)果（2）來預(yù)報人口，必須對其中的參數(shù)r進行估計，這可以用表1的數(shù)據(jù)通過擬合得到.擬合的具體方法見本書第16章或第18章.通過表中1790-1980的數(shù)據(jù)擬合得：r=0.307.5模型檢驗：將x0=3.9，r=0.307代入公式（2），求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1810-1920的人口數(shù)，見表2.表2美國實際人口與按指數(shù)增長模型計算的人口比較年（百萬）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2186031.4187038.6實際人口萬）7.31.410.04.213.76.218.79.425.610.

4、335.010.847.8238指數(shù)增長模型預(yù)測人口（百|(zhì)誤差（）188050.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3從表2可看出，1810-1870間的預(yù)測人口數(shù)與實際人口數(shù)吻合較好，但1880年以后的誤差越來越大.分析原因，該模型的結(jié)果說明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長.而事實上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著.如果當人口較少時人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話，那么當人口增加到一定數(shù)量以后，這個增長率就要隨著人口增加而減少.于是應(yīng)該對指數(shù)增

5、長模型關(guān)于人口凈增長率是常數(shù)的假設(shè)進行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一個.阻滯增長模型（Logistic模型）1假設(shè)：(a：Q的函數(shù)Q(減函數(shù))r(x)=r-sxr,s0，最簡單假定線性函數(shù)），r叫做固有增長率.（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量xm2建立模型：x=x當m時，增長率應(yīng)為0，r(xm)=0，于是r0=r-sx得.r1一r(x)=3）將（3）式代入（1）得：模型為：dx=rdtx(0)=x0l-上(xm丿4）5） /53模型的求解：解方程組（4）得1+%-1e-rtx0dx根據(jù)方程（4）作出云x曲線圖，見圖1-1,由該圖可看出人口增長率隨人口數(shù)的變化規(guī)律.根據(jù)結(jié)果

6、（5）作出xt曲線，見圖1-2，由該圖可看出人口數(shù)隨時間的變化規(guī)律.模型的參數(shù)估計：利用表1中1790-1980的數(shù)據(jù)對r和xm擬合得：r=0.2072,xm=464.模型檢驗：將r=0.2072,xm=464代入公式（5），求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1800-1990的人口數(shù)，見表3第3、4列.也可將方程（4）離散化，得x（t+1）=x（t）+Ax=x（t）+r（1-）x（t）t=0,1,2,（6）xm用公式（6）預(yù)測1800-1990的人口數(shù)，結(jié)果見表3第5、6列.表3美國實際人口與按阻滯增長模型計算的人口比較年實際人口阻滯增長模型公式公式（6） /5（百萬）預(yù)測人口（百萬）誤差（）預(yù)測人口

7、（百萬）誤差（）17903.918005.35.90250.11373.90000.264218107.27.26140.00856.50740.096218209.68.93320.06958.68100.0957183012.910.98990.148111.41530.1151184017.113.52010.209415.12320.1156185023.216.63280.283119.81970.1457186031.420.46210.348326.52280.1553187038.625.17310.347835.45280.0815188050.230.96870.38314

8、3.53290.1328189062.938.09860.394356.18840.1067190076.046.86990.383370.14590.0770191092.057.66070.373384.73050.07901920106.570.93590.3339102.46260.03791930123.287.26740.2917118.95090.03451940131.7107.35880.1848137.88100.04691950150.7132.07590.1236148.79780.01261960179.3162.48350.0938170.27650.05031970204.0199.89190.0201201.17720.01381980226.5245.91270.0857227.57480.00471990251.4302.52880.