概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)第2章隨機(jī)變量及其分布8節(jié)課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)第2章隨機(jī)變量及其分布8節(jié)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)第2章隨機(jī)變量及其分布8節(jié)課件一、邊緣分布則隨機(jī)變量X的邊緣概率函數(shù)為二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率函數(shù)為同理隨機(jī)變量Y的邊緣概率函數(shù)為1.已知聯(lián)合概率分布求邊緣分布2022/9/112一、邊緣分布則隨機(jī)變量X的邊緣概率函數(shù)為二維隨機(jī)變量（X,Y2022/9/1132022/9/95設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例1X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：求隨機(jī)變量X與Y的邊緣概率函數(shù)。X Y0123pi .010/506/504/

2、501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/5012022/9/114設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例1X Y02.已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù)：求隨機(jī)變量X()xfX()xXPxFX=由()+=，xF()-+-=xdudyyuf，2022/9/1152.已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù)：求隨機(jī)變量同理，由()yYPyFY=()yF，+=()-+-=ydvdxvxf，2022/9/116同理，由()yYPyFY=()yF，+=()-設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概

3、率密度為例2解：求X與Y的邊緣概率密度yoy=xy=x21D2022/9/117設(shè)二維隨機(jī)變量(X, Y)的聯(lián)合概率密度為例2解：求X與Y的小結(jié)： 二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系： 邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊 緣分布確定聯(lián)合分布。難點(diǎn)：求邊緣分布時(shí)如何確定積分區(qū)域及邊緣 密度不為零的范圍。2022/9/118小結(jié)： 邊緣分布可由聯(lián)合分布唯一確定，但不能由邊 1. 離散隨機(jī)變量的條件分布 設(shè) ( X ,Y ) 是二維離散隨機(jī)變量，其分布律為 (X, Y ) 關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的邊緣概率函數(shù)分別為：P X= xi ,Y= yj = pi j , i , j=1,2,.二、

4、離散隨機(jī)變量的條件分布2022/9/1191. 離散隨機(jī)變量的條件分布 設(shè) ( X ,Y ) 是二 由條件概率公式定理：設(shè)( X ,Y ) 是二維離散型隨機(jī)變量， 在Y= yj 條件下X 的條件概率函數(shù)(1)若PY= yj 0, 則自然地引出如下定理：(2)若PX= xi0, 則在 X= xi 條件下Y 的條件概率函數(shù)2022/9/1110 由條件概率公式定理：設(shè)( X ,Y ) 是二維離散型隨機(jī)條件分布律具有分布律的以下特性： 10 P X= xi |Y= yj 0；即條件分布率是分布率。2022/9/1111條件分布律具有分布律的以下特性： 10 P X= 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合

5、概率分布如下例1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501解：求(1)隨機(jī)變量X在Y=0條件下的條件分布。2022/9/1112設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例1X Y0設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例1X Y0123pi .010/506/504/501/5021/5019/5010/503/50022/5025/502/50007/50p. j24/5018/507/501/501求 (2)隨機(jī)變量Y在X=1條件下的條件分

6、布。解：Y0123pY|X(y|1)9/2210/223/220則Y在X=1條件下的條件分布為2022/9/1113設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例1X Y0二、連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布設(shè) ( X ,Y ) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于 所以應(yīng)在 P y Yy+y0時(shí),考慮X x的條件概率2022/9/1114二、連續(xù)隨機(jī)變量的條件分布設(shè) ( X ,Y ) 是二維連續(xù)型2022/9/11152022/9/917稱為在條件Y= y下X的條件分布函數(shù).隨機(jī)變量X在Y=y的條件下的條件密度函數(shù)注：條件密度函數(shù)的性質(zhì)與普通密度函數(shù)類似隨機(jī)變量Y在X=x的條件下的條件密度函數(shù)2022/9/11

7、16稱為在條件Y= y下X的條件分布函數(shù).隨機(jī)變量X在Y=y的條 設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變量（X,Y）具有概率密度例2則稱(X,Y)在G上服從均勻分布.現(xiàn)設(shè)(X,Y)在圓域 解：邊緣概率密度上服從均勻分布.求條件概率密度 2022/9/1117 設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī)變 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于 第八節(jié) 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 定義 設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，若對于任意實(shí)數(shù)x,y有P(Xx,Y y)= P(Xx)P(Y y)即 F(x,y)= FX(x) FY(y)，則稱X，Y相互獨(dú)立。2022/9/1118 特別，對于離散型

8、和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于 第八 在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，我們就認(rèn)為X與Y是相互獨(dú)立的，進(jìn)而把上述定義式當(dāng)公式運(yùn)用. 在X與Y是相互獨(dú)立的前提下，邊緣分布可確定聯(lián)合分布！實(shí)際意義補(bǔ)充說明2022/9/1119 在實(shí)際問題或應(yīng)用中，當(dāng)X的取值與Y的取值互不影響時(shí)，例1X Y123p.j11/61/91/181/321/31/3+ +pi.1/21/9+1/18+ 2/3+ +解：由聯(lián)合概率分布的性質(zhì)知0, 0, 且2/3+ +=1,即 +=1/3,由X,Y相互獨(dú)立,有2022/9/1120例1X Y123p.j11/61/91/181/32例2 設(shè)（X，Y）

9、的聯(lián)合概率密度為解：所以X,Y相互獨(dú)立。問X與Y是否獨(dú)立？2022/9/1121例2 設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度為解：所以X,Y相互獨(dú)立。問n 維隨機(jī)變量的獨(dú)立性2022/9/1122n 維隨機(jī)變量的獨(dú)立性2022/9/924 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于 2022/9/1123 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機(jī)變量，該定義分別等價(jià)于 20第九節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布X-1012pk0.20.30.10.4一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布求Y=(X-1)2的概率分布例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下，解：Y的所有可能取值為0,1,42022/9/1124第九節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布X-1012pk0.20.3例2. 設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度解：分別記X，Y的分布函數(shù)為求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。2022/9/1125例2. 設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度解：分別記X，Y的分布函數(shù)為求例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，解: 當(dāng)X在區(qū)間-1,2上取值時(shí),Y在0,1或1,4取值求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度。由于y=x2不是單調(diào)的，2022/9/1126例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，解: 例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，