華僑大學(xué)2009年高等數(shù)學(xué)競賽試題(A卷)

1、華僑大學(xué)2009年高等數(shù)學(xué)競賽試題(A卷)第 頁共2頁華僑大學(xué)2009年高等數(shù)學(xué)競賽試題(A卷)考試時間：2009年6月6日(星期六)上午8：3011：00境內(nèi)(外)院別班級準考證號姓名成績大題一二三四五六七八九滿分28881010121266得分一、填空題(本題共7小題，每小題4分，滿分28分，把答案直接填在題中的橫線上)設(shè)向量a=(2丄2)，b=(4,1,10)，c=b九a，且a丄c，則數(shù)九=2、設(shè)函數(shù)f(x)=3、xex2,一x-2則Jf(x1)dx=2設(shè)y=ln(x+/x2+1),則d2ydx2曰i4、x2+y2+(z1)21/，貝yB!(x+xyz33)dv=Q5、微分方程y(x+y

2、2)=y的通解為6、對數(shù)螺線P=e0在對應(yīng)于0=2的點處的切線的直角坐標方程為.7、設(shè)曲線積分Jf(x)exsinydxf(x)cosydy在xOy面內(nèi)與路徑無關(guān)，其中f(x)具有一階連續(xù)L導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，則f(x)=.以下各題在答題紙上解答，答題時必須寫出詳細的解答過程并在每張答題紙寫上：姓名、準考證號。二、(本題滿分8分)已知f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，z=Jx2yf(t,et)dt,0三(本題滿分8分)設(shè)f(x)=+為一応,xep).試補充定義f(1)，使得函數(shù)f(x)在閉區(qū)間2,1上連續(xù).四、(本題滿分10分)在曲面工:+y2+-4=1上求一切平面，使得該切平面平行于平面兀：

3、2x+2y+z+5=0，且點P(0,0,2)到該切平面的距離等于點P到原點的距離.五、(本題滿分10分)計算D(2x+z)dydz+zdxdy，其中丫為有向曲面z二x2+y2(0z1)，其法向量與z軸正向的夾角為銳角.兀t六、(本題滿分12分)證明不等式：當0t1時，2t1+si0)到y(tǒng)軸的距離，恒等于該點處的切線在y軸上的截距，且L經(jīng)過點(1,2).試求曲線L的方程；在L(xe的部分)上求一點，使得在該點處的切線與兩坐標軸所圍成的平面圖形面積最小.八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上滿足|f(x)|2，且在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得最小值.證明：|f(a)|+|廣(b)|2(b-a

4、).兀兀九、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,-上連續(xù)，且在0,-上滿足:匹2f(t一x)f(t)dt=cos4x,匹求2f(x)dx0 x華僑大學(xué)2009年高等數(shù)學(xué)競賽試題A期卷)上午8：3011：00參考答案與評分標準一、填空題(本題共7小題，每小題4分，滿分28分)v2兀；4、4兀；5、x二y(y+C)；6、x+y=e2；113；2、-23、exex7、h二、(本題滿分8分)解舟二2xyf(x2y,ex2y),4】d2z=2xf(x2y,ex2y)+2xyx2f(x2y,ex2y)+QxQy1x2ex2yf(x2y,ex2y)=2xf(x2y,ex2y)+2yx3f(x2y,ex

5、2y)+2yx3ex2yf(x2y,ex2y)212【8】三、(本題滿分8分)解：設(shè)y=1x,貝y廠111)limf(x)xt1-【3】=limxt1+兀xsin(兀x)兀(1x)丿=limxt1廠1+兀(1x)sin(兀x)、j兀x兀(1x)sin(兀x)/丄+lim兀ysin(兀y)兀yto+兀ysin(兀y)1兀ysin(兀y)1兀一兀cos(兀y)1兀2sin(兀y)1=+lim=+lim=+limytO+兀yT0+兀2y2兀yt0+2兀2y兀yt0+由于續(xù)【6】f(x)在1/2,1)上連續(xù)，因此補充定義f=1/兀，就可使f(x)在1/2,1上連【8】TOC o 1-5 h z四、(本

6、題滿分10分)解：設(shè)切點為(x,y,z)，則法向量n=(x,2y,z/2).【2】000000 x2yz/2要使得切平面平行于已知平面，應(yīng)有-7=0=0=x=z=2y，221_o00 x2z21又因為點(x,y,z)在曲面上，所以有才+y2+廠=1，解得y=丁,x=z=】.0002040200從而切平面方程為2x+2y+.z=【7】又點P到1原(點的距離為d=2，點Pd=|2-0+2-0+2+4I/+4.+4=12故所求切2x+2y+z+2x干(+_2y)豐2z(,=即)到切平面2x+2y+z+4=0的距離為平面為=【10】【2】則由Gau公式五、(本題滿分10分)解：取禮為z=1(x2+y2

7、1)的下側(cè)，記Q為丫與S0所圍成的閉區(qū)域,有W(2x+z)dydz+zdxdy+JI(2x+z)dydz+zdxdy=B!(2+1)dv5】【8】“dof1pdpf1dz=6kJ1(pp3)dp=3兀00p202于是華僑大學(xué)2009年高等數(shù)學(xué)競賽試題(A卷)第 頁共2頁從x+zdydz+zdxdy=-2n-Ux+zdydz+zdxdy=“ndxdy=n+n=-EZoDxy【10】nt21】nt令f(t)=2t-1-sin-,n則廣(t)=2-2ntcos2(0t1),故f(t)在0,1上單調(diào)增六、(本題滿分12分)證：1)顯然，當0t1時，有1+sin-2加【4】于是當0t1時,有f(t)f(

8、1)=0nt即2t1+s叮從而(2)由(1)知(tnnt(n2乙+).n從2n=Jn+11(tndtj0+等ndtjnt2t1+siny2(0t1).【6】，當0t1時1si【7n】)ndt=2n二卩(1+n)1/nnt丄1(1+sin一)ndtn0),即:y-y=-1.【3】x解得y=e(-1)必卩-eh-1)dxdx+C=x(-Inx+C).【5】由L過點(1,，得：C=2y=2x-xlnx的方程為由y=1-lnx得L在點P(x,y)處的切線方程為Yy=(1-lnx)(Xx),(xe)yx其在x軸、y軸上的截距分別為:a=+x=、b=x.從而所圍成圖形的面積為lnx-1lnx-1x2lnx

9、-18】設(shè)f(x)=x，由f(x)=-x=0,得唯一駐點x=eI,又在(e,e2)內(nèi)f(x)0,故f(x)(x在ex=e2處取得唯一極小值即最小值.【11】/1、從而點(e2,e2)即為L(xe部分)上所求點.【12】八、(本題滿分6分)證：設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)的最小值為m=f(c)(acb),6】華僑大學(xué)2009年高等數(shù)學(xué)競賽試題（A卷）第5頁共2頁又由條件知f(x)在x=c處可導(dǎo)，故f(c)=0【1】由題設(shè)知f(x)在a,c與c,b上可導(dǎo)從而連續(xù)，故由Lagrange中值定理有5】-f(a)=f(c)-f(a)=f程)(c-a),(agc)；11f(b)=f(b)-f(c)=f農(nóng))(b

10、-c),(cgb).22從而|f(a)|+|f(b)|=|f()(c-a)|+|f(J-c)|2(c-a)+2(b-c)=2(b-a).九、(本題滿分6分)耳耳工1】解：由條件知J2J2f(t-x)f(t)dtdx=J2cos4xdx0 x0=工1+cos2x(或2cos4xdx=2(002耳,31兀3而J2cos4xdx=兀,o42216工1+2cos2x+cos22x,)2dx=2dx01211八71兀333】=2(1+2cos2x+cos4x)dx=兀)；4o2242216又J2J2f(t-x)f(t)dtdx=JJf(t-x)f(t)dxdt(其中D=x,t)|0 x兀xt0 x=J2dtJtf(t-x)f(t)dx=J