最新高中數學教案教程6

1、高考考點1、對二項式定理的掌握與應用：以二項展開式或多項展開式中某一項或某一項的系數的問題為主打試題；2、對二項展開式的性質的掌握與應用：二項展開式中二項式系數的和與各項系數的和；組合多項式的求和等問題。知識要點1、定義 ，這一公式表示的定理叫做二項式定理，其中1公式右邊的多項式叫做 的二項展開式；上述二項展開式中各項的系數 叫做二項式系數，第r+1項叫做二項展開式的通項，用 表示；2 叫做二項展開式的通項公式。2.認知1二項展開式的特點與功能二項展開式的特點項數：二項展開式共n+1二項式的指數+1項；指數：二項展開式各項的第一字母a依次降冪其冪指數等于相應二項式系數的下標與上標的差，第二字母

2、b依次升冪其冪指數等于二項式系數的上標，并且每一項中兩個字母的系數之和均等于二項式的指數n；系數：各項的二項式系數下標等于二項式指數；上標等于該項的項數減去1或等于第二字母b的冪指數；二項展開式的功能注意到二項展開式的各項均含有不同的組合數，假設賦予a，b不同的取值，那么二項式展開式演變成一個組合恒等式。因此，揭示二項式定理的恒等式為組合恒等式的“母函數，它是解決組合多項式問題的原始依據。又注意到在 的二項展開式中，假設將各項中組合數以外的因子視為這一組合數的系數，那么易見展開式中各組合數的系數依次成等比數列。因此，解決組合數的系數依次成等比數列的求值或證明問題，二項式公式也是不可或缺的理論依

3、據。2二項式系數的性質對稱性：在二項展開式中，與首末兩項“等距離的兩項的二項式系數相等。單調性：二項式系數數列在前半局部逐漸增大，在后半局部逐漸減小，在中間項取得最大值。其中，當n為偶數時，二項展開式中間一項的二項式系數 最大；當n為奇數時，二項展開式中間兩項的二項式系數 ， 相等，且最大。組合總數公式： 即二項展開式中各項的二項式系數之和等于“一分為二的考察：二項展開式中各奇數項的二項式系數之和等于各偶數項的二項式系數之和，即四、典型例題例1、 二項式 展開式中，末三項的系數依次成等差數列，求此展開式中所有的有理項。解：二項展開式的通項公式為由此得二項展開式中末三項的系數分別為 ， ，依題意

4、得注意到這里 ，故得n=8設第r+1項為有理項，那么有x的冪指數 為整數， r=0，4，8，這里T1，T5，T9為有理項，又由通項公式得： ， ，所求二項展開式中的有理項分別為 ， ，點評：二項展開式中關于某些項或某些項的系數問題，一般都要運用通項公式。假設 為相對常數，x為變量，那么當g(n,r)為自然數時 為整式項；當g(n,r)為整數時 為有理項。例2、 的展開式中奇數項的二項式系數之和等于512，試求：1二項式系數最大的項；2系數的絕對值最大的項；3系數最大的項。解：由題意得 n=10二項展開式的通項公式為 1n=10，二項展開式共11項二項展開式的中間一項即第六項的二項式系數最大又

5、所求二項式系數最大的項為 2設第r+1項系數的絕對值 最大，那么有 解之得 ，注意到 ，故得r=3第4項系數的絕對值最大所求系數絕對值最大的項為 3由通項公式的特征可知，系數最大的項應在項數為奇數的項內，即在r取偶數的各項內又r取偶數0，2，4，6，8，10時，相應的各項系數分別為 ， ， ， ，即分別為1， ， ， ， 由此可知，系數最大的項為第5項(r=4)，即 點評：1解決二項式問題要注意區(qū)分兩種系數：一種是某一項的系數，按通常的多項式系數去理解、認定；一種是某項的二項式系數，僅指這一項中所含的那個組合數。二者在特殊情況下方為同一數值。2這里 展開式中系數絕對值最大的項，實際上是 展開式

6、中系數最大的項，必要時可適時轉化。3此題解法“一題兩制：對于2，我們運用一般方法進行推導；對于3，我們運用認知、列舉、比擬的方法導出目標。當指數n數值較小時，3的解法頗為實用。例3、 a0，b0，2m+n=0， ，且在 的展開式中系數最大的項是常數項，求 的取值范圍。解：設二項展開式中 為常數項，依題意令 那么將式 代入得 注意到這里 ，由得r=4展開式中系數最大的項是 于是有 因此可知，所求 的取值范圍為例4、 求證：1 能被 整除 ；2證明：1為利用二項式定理，對 中的底數n變形為兩數之和或差。，且 ， 于是有 注意到 ，且 ，故 ，因此由式知 能被 整除；2證法一倒序相加法：設注意到二項

7、式系數的性質：將式右邊各項倒序排列： +得 =即證法二分項求和法：注意到左邊各項的相同結構，且各項的通項：據此變形左邊各項得左邊= = = 右邊 原等式成立點評：證明組合恒等式，除去利用二項公式這一組合的母函數外，上述兩種方法特別是證法二是根本證明方法。例5、設 ，求展開式中各二項式系數的和；展開式中各項系數的和； 的值 的值 的值解：令注意到這里n=200，故展開式中各二項式系數的和展開式中各項系數的和注意到 仿得 又 解法一直面原式： 又再由二項式的展開式知，點評：對于二項展開式中各奇數項系數的和或各偶數項系數的和或其它有關多項式中系數的和，一般可根據問題的具體情況，對未知數x賦予適當的數

8、值，運用特取法求出和式的值。例6、 化簡以下各式1 ；2分析：注意到二項展開式中各項的特征： ，其中b的方冪與組合數上標相同。為利用二項式公式求解，依次對原式實施湊因子和湊項，即使各項中有關因子的方冪等于組合數上標，又使以原式為根底湊出的式子符合二項展開式的特征。解：1令x= ，那么 ，即故得2令x= ，那么由 得故得即點評：對于組合數系數成等比數列的組合式求和，一般是在適當作以湊因子或湊項的構造之后，運用二項式公式本身化簡或求值。例7、 試求以下二項展開式中指定項的系數：1 的展開式中 項的系數；2 的展開式中 項的系數；3 的展開式中 項的系數；4 的展開式中x項的系數；5 的展開式中 項

9、的系數；解：1借助“配方轉化：原式 原展開式中 項的系數，即 展開式中 項的系數又 展開式的通項公式為 令 得r=3 展開式中 所求原展開式中 項的系數為-960；2注意到 的冪指數3較小，借助“局部展開：原式展開式中 的系數為 =-5903解法一求和轉化：原式所求原展開式中 項的系數即為 展開式中 項的系數，所求展開式中 項的系數為解法二集零為整：考察左式各部，展開式中 項的系數為4解法一兩次利用二項式定理： 設展開式中第r+1項為含有x的項，又 要使x的冪指數為1，必須且只需r=1即 而 展開式中的常數項為 ，故得原展開式中x的系數為解法二利用求解組合應用題的思路：注意到 欲求 展開式中x

10、的一次項，只要從上式右邊5個因式中有1個因式取3x，其余四個因式都取常數2即可。原展開式中x的一次項為所求原展開式中x的系數為240；5解法一兩次利用二項展開式的通項公式：注意到其展開式的通項 又 的展開式的通項 依題意 ， 由此解得 ， ，由、得所求展開式中 項的系數為解法二利用因式分解轉化：所求即為 展開式中 的系數，于是利用“局部展開可得其展開式中 的系數為 =-168小結：多項展開式中某一項系數的主要求法1等價轉化：配方轉化；求和轉化；分解轉化；化整為零。2局部展開；3兩次利用二項式定理或兩次利用二項展開式的通項公式；4借助求解組合應用題的思想例8、 數列 的通項 是二項式 與 的展開

11、式中所有x的次數相同的各項的系數之和，求數列 的通項公式及前n項和公式。解：將 與 的展開式按升冪形式寫出 由可知，只有 的展開式中出現 的偶數次冪時，才能與 的展開式中x的次數相同。由、得所求數列 的通項公式為；其前n項和公式為 五、高考真題一選擇題1.在 的展開式中 的系數是 A. 14 B. 14 C. 28 D. 28分析：對于多項展開式中某一項的總數的尋求，“化整為零為根本方法之一， ，又 的展開式中 的系數為 ， 的系數為 原展開式中 的系數為 ，應選B。2.設k=1，2，3，4，5，那么 的展開式中 的系數不可能是 A. 10 B. 40 C. 50 D. 80分析：立足于二項展

12、開式的通項公式：當k=1時，r=4， 的系數為 ；當k=2時，r=3， 的系數為 ；當k=3時，r=2， 的系數為 ；當k=4時，r=1， 的系數為 。綜上可知應選C。點評：關于二項展開式中某一項的問題，一般要利用二項展開式的通項公式。3.在 的展開式中， 的項的系數為 A. 74 B. 121 C. 74 D. 121 分析：考慮求和轉化，原式又 的展開式中 系數為 的展開式中 系數為原展開式中 項的系數為 ，應選D。4.假設 展開式中含 項的系數與含 項的系數之比為-5，那么n等于 A. 4 B. 6 C. 8 D. 10分析：設第r+1項是含 的項，又 這一項的系數為 ，且 再設第s+1項是含 的項，那么這一項的系數為 ，且 由、得 ，故 又由、得 化簡得 于是由、解得 n=6，r=4，應選B。5.如果 的展開式中各項系數之和為128，那么展開式中 的系數是 A. 7 B. 7 C. 21 D. 21 分析：設 ，那么 由得 ，解得n=7令 得r=6.，故所求系數為 ，應選C。6.假設 的展開式的第3項為288，那么 的值是 A. 2 B. 1 C. D. 分析：由題設 ，應選A。二填空題1. 展開式中的常數項是用數字作答分析： 當 得 r=2.，即所求常數項為240。2.假設在 展開式中 系數為-80，那么a=。解： 當r=3時有 由題設得 a=-