計量經(jīng)濟學 第十章 聯(lián)立方程模型

1、計量經(jīng)濟學 第十章 聯(lián)立方程模型計量經(jīng)濟學1第1頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學2 在前面的章節(jié)中，我們所討論的都是單一方程模型，也就是只有一個因變量Y和一個或若干個自變量X的模型，在這些模型中，我們分析的重點是因變量和自變量之間單向的關系，自變量是原因，而因變量是結果。但是在現(xiàn)實經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量之間的影響是雙向的，一個經(jīng)濟變量影響另外一個(或多個)經(jīng)濟變量，反過來又受到另外一個(或多個)變量的影響。例如在貨幣M對利率r的影響分析中，單一方程隱含地假定利率是由中央銀行制定的，并且試圖求出貨幣需求對利率水平變化地反應，但是如果利率依賴于貨幣供給，這時就需要建立

2、兩個方程，一個把貨幣M聯(lián)系到利率r，另外一個把r聯(lián)系到貨幣M,從而導致對 聯(lián)立方程模型的考慮。 第2頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學310.1 聯(lián)立方程的性質首先舉兩個聯(lián)立方程的例子，然后再說明聯(lián)立方程估計時會出現(xiàn)的問題。例10.1 需求和供給模型 我們知道一種商品的價格P和它的需求量Q是對該商品需求和供給曲線的交點來決定的，為了分析方便，假定需求和供給曲線都是線性的，那么加上隨機誤差項，可以寫出需求和供給方程：第3頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學4 不難看出價格P和需求量Q是聯(lián)合因變量，例如，由于影響需求的其他變量(如收入、財富

3、或嗜好)的改變，需求函數(shù)的隨機誤差項也將改變因而需求曲線的遷移同時改變了價格P和需求量Q上移價格上升下移價格下降第4頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學5同理，由于影響供給的其他變量(如罷工、氣候和進出口限制)的改變，供給曲線發(fā)生遷移，同樣也會影響價格P和需求量Q,正是由于價格和需求量的這種同時相依性，在需求和供給函數(shù)中，隨機誤差項和價格之間的獨立是不可能的，因此直接對供給和需求函數(shù)進行回歸將破壞經(jīng)典線性回歸模型的基本假定，無法得出無偏一致的統(tǒng)計量。左移右移價格上升價格下降第5頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學6例10.2 凱恩斯收入決

4、定模型考慮一下簡單的凱恩斯收入決定模型 從消費函數(shù)中可以明顯看出，C和Y是相互依賴的，并且當隨機誤差項發(fā)生偏移時，消費函數(shù)也隨之移動，而消費的移動反過來又會影響Y，對這個函數(shù)使用普通最小二乘法也是不適用，得出的估計量將會是非一致的。第6頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學7知識點回顧無偏是指估計量的數(shù)學期望等于總體指標，即由估計量給出的所有估計值的平均數(shù)等于總體均值。一致也稱相合，是指隨著樣本容量的擴大，估計值會趨于總體指標值，或者說，隨著樣本容量的逐步擴大，估計量與總體指標之間的絕對離差小于任意小的正數(shù)的概率趨于1。有效是指所選定的估計量比其他估計量有更小的方差，

5、即所選定的估計量與總體指標的絕對離差小于任意小正數(shù)的概率大于其他估計量。第7頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學8聯(lián)立方程偏誤：普通最小二乘估計量的非一致性從前面所舉的兩個聯(lián)立方程例子中可以看出，方程中有一個或多個自變量與隨機誤差項相關，使用普通最小二乘法估計模型，所得的參數(shù)估計量將是非一致的，為了說明這一點，以凱恩斯收入決定模型為例，假設估計消費函數(shù)中的參數(shù)，要求隨機誤差項滿足線性回歸模型的基本假定可以證明：1、因變量和隨機誤差項相關把(10.1.4)帶入(10.1.5)式，有第8頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學9用(10.1.6)

6、-(10.1.7)，得第9頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學10把(10.1.4)帶入上式第10頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學1110.2 聯(lián)立方程的識別問題回顧前一節(jié)中引入的需求模型，假若我們僅有銷售量Q和價格P的時間序列數(shù)據(jù)，而沒有更多的信息，比如有關消費者收入、前期價格或者氣候等方面的消息，那么這時我們究竟是在估計需求函數(shù)還是供給函數(shù)呢？這樣就涉及到聯(lián)立方程的模型識別問題。10.2.1 符號和定義 為了說明怎樣解決識別問題，首先引入一些符號和定義。 一般而言，有M個內(nèi)生和聯(lián)合因變量的方程模型可以寫成如下方程組的形式：第11頁

7、，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學12第12頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學13前定變量：其值由模型外部決定，視為非隨機變量內(nèi)生變量：其值由模型內(nèi)部決定，視為隨機變量外生前定變量：當前以及滯后的外生變量滯后內(nèi)生前定變量：出現(xiàn)在方程組中的方程也許描述了一個經(jīng)濟社會的結構或者描述一個經(jīng)濟人(或消費者或生產(chǎn)者)的行為，因此把這些方程稱為結構或者行為方程，眾多的、系數(shù)稱為結構系數(shù)，從結構性方程中可以解出m個內(nèi)生變量的系數(shù)，并且導出誘導型方程和相應的誘導型系數(shù)。第13頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學14誘導型方程

8、：純粹由前定變量和隨機誤差項來表達的一個內(nèi)生變量的方程。 以前面的凱恩斯收入模型為例，回顧公式(10.1.4)和(10.1.5)把(10.1.4)帶入(10.1.5)式，有 公式(10.2.2)就是一個誘導型方程，它把內(nèi)生變量Y表達為僅由外生變量I和隨機誤差項組成的函數(shù)第14頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學15把(10.2.2)帶回到式(10.1.4)中，得到另一個誘導方程 誘導型(外生變量)系數(shù)度量外生變量取值的單位變化對內(nèi)生變量的即期影響。對于誘導型或簡化式方程，由于前定變量和隨機干擾項都在方程右邊而且假定外生變量和隨機干擾項不相關，因而可以用普通最小二乘法

9、估計出來的誘導型系數(shù)來計算結構系數(shù)，這種方法就稱為間接最小二乘法，在后面我們將詳細介紹這種方法。第15頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學1610.2.2 聯(lián)立方程模型的識別 聯(lián)立方程的識別就是指能否從所估計出來的誘導型系數(shù)求出一個結構方程的參數(shù)估計值，如果能夠，那么就說這個聯(lián)立方程是可以識別的，否則就說該方程是不可識別的。(1)完全不可識別情形 以例10.1中個需求和供給函數(shù)為例，由供給均衡條件可得求得均衡價格同樣可以求得均衡銷售量第16頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學17 式(10.2.4)和(10.2.5)是兩個誘導型(簡化型)

10、方程，但是原來的供求模型中有4個未知的結構參數(shù)，要估計出4個未知參數(shù)，必須要有4個獨立的方程，因此用兩個誘導型方程是沒有辦法估計出這4個參數(shù)的，這也意味著給定價格P和銷售量Q的數(shù)據(jù)，如果沒有其他信息，沒有辦法保證估計出來的是供給函數(shù)還是需求函數(shù)。一雙給定的P和Q，在供求相等的均衡條件下，僅表示適當?shù)男枨蠛凸┙o曲線的交點。第17頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學18(2)恰好或恰可識別情形 假定在需求函數(shù)中引入一個新的外生變量I(消費者的收入)，而供給函數(shù)不變 我們知道收入是決定大多數(shù)商品和服務需求的一個重要決定因素，把它引入到需求函數(shù)中，將給我們提供消費者行為的某

11、些其他信息，對大多數(shù)商品而言，可以預料收入增加，消費也會相應增加，第18頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學19第19頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學20 對誘導型方程(10.2.8)(10.2.9)可以用普通最小二乘法估計它們的參數(shù)，求得4個誘導型系數(shù)，但是原供求模型中有5個結構系數(shù)，用4個誘導方程系數(shù)來估計5個結構系數(shù)也是沒有辦法得出唯一解的，但是可以求出供給函數(shù)的參數(shù)，這是因為 通過上面的分析可以看出，在需求函數(shù)中增加了一個自變量，使我們能識別供給函數(shù)，這是因為在需求函數(shù)中增加自變量對函數(shù)的變異提供了一些額外的信息。第20頁，共

12、45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學21(3)完全識別情形 接下來在供給函數(shù)中也增加一個自變量，供求模型可寫成 之所以引入滯后的價格變量，是因為假想一個商品的供給量依賴于它的當期價格和前期價格，在解釋農(nóng)產(chǎn)品的商品供給模型中經(jīng)常用到這一模型。第21頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學22第22頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學23 對誘導型方程(10.2.11)(10.2.12)使用普通最小二乘法可以得到6個誘導型系數(shù)，而原供求模型中也有6個結構參數(shù)，用6個方程來求解6個未知數(shù)，可以得到唯一的結構參數(shù)估計值。此時的需

13、求函數(shù)和供給函數(shù)都是可以識別的，可求得:第23頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學24(4)過度識別情形 對某些商品或服務而言，消費者的收入和財富同樣是需求的重要決定因素，在需求函數(shù)中再引入一個外生變量財富，供給函數(shù)保持不變。第24頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學25 在供求模型中有7個結構系數(shù)，但是估計它們的方程有8個，即8個誘導型方程的系數(shù)，方程的個數(shù)多于未知數(shù)的個數(shù)，也沒有辦法求得供求模型全部參數(shù)的唯一解。比如我們可以從誘導型系數(shù)中求得，不能保證這兩個估計值的結果是一樣的。在這種情形下，模型的識別就是過度的。第25頁，共45頁，

14、2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學2610.2.3 聯(lián)立方程模型識別規(guī)則 從上面的例子中可以看到，借助于誘導型(簡化型)方程可以確定聯(lián)立方程中某一方程的可識別性，但是求解過程既耗時又費力，而對聯(lián)立方程識別的階條件和秩條件則提供了一種系統(tǒng)性的方式，從而減輕了這一任務。為了解階條件和秩條件，首先引入下面的符號：第26頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學2710.3.1 可識別性的階條件 可識別性的一個必要但非充分條件稱為階條件，可以用兩種不同但等價的方式來表達：定義1：在一個含有M個聯(lián)立方程的模型中，為了使一個方程能識別，它必須排除至少M-1個在模型中出

15、現(xiàn)的變量(內(nèi)生或前定變量)。如果它恰好排除M-1個變量，則該方程是恰好識別的；如果它排除多于M-1個變量，則該方程是過度識別的；定義2：在一個含有M個聯(lián)立方程的模型中，為了使一個方程能被識別，則該方程所排除的前定變量的個數(shù)必須不少于它所含有的內(nèi)生變量的個數(shù)減1，即K-km-1；如果K-km-1，則方程是恰好識別的；如果K-km-1，則方程是過度識別的。第27頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學28為了說明可識別的階條件，回到前面所舉的例子 例10.1中的供求模型 該模型中有兩個內(nèi)生變量P和Q，M=2;但是沒有外生前定變量，k=0。為了能被識別，每個方程至少要排除M-

16、1=2-1=1個變量，情形并非如此，因而方程無法識別再看一下供求模型(10.2.7) 該模型中有兩個內(nèi)生變量P和Q，M=2;一個外生前定變量I，k=1。需求函數(shù)中沒有排除變量，無法識別，而供給函數(shù)中排除M-1=2-1=1個變量，可以識別第28頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學29供求模型(10.2.10) 該模型中有兩個內(nèi)生變量P和Q，M=2;兩個外生前定變量，k=2。需求函數(shù)中和供給函數(shù)中各排除M-1=2-1=1個變量，兩個函數(shù)都可以識別，因而整個模型都可以識別。供求模型(10.2.13) 該模型中有兩個內(nèi)生變量P和Q，M=2;三個外生前定變量，k=3。需求函數(shù)

17、中恰好排除了一個前定變量，可以恰好識別；供給函數(shù)中排除了兩個外生前定變量，過度識別。第29頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學3010.3.2 可識別性的秩條件 可識別性的階條件是識別的必要但非充分條件，即使它得到滿足，方程中有時也會出現(xiàn)不可識別的情形。模型(10.2.7)中的供求函數(shù)雖然排除了一個外生變量，按階條件來說是可以識別的，但識別的實現(xiàn)還只有當需求函數(shù)中的外生變量系數(shù)不為零時才能實現(xiàn)。 為此，我們需要一個充分且必要的識別條件，即可識別的秩條件：在一個含有M個內(nèi)生變量的M個方程的模型中，一個方程是可識別的，當且僅當，我們能從模型(其他方程)所含而該方程不含的

18、諸變量(內(nèi)生或前定變量)的系數(shù)矩陣中構造出至少一個(M-1)(M-1)階的非零行列式來。第30頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學31例10.3 考慮一個假想的聯(lián)立方程，其中Y為內(nèi)生變量，X為外生前定變量方程被排除的外生變量個數(shù)Kk包含的內(nèi)生變量個數(shù)m-1識別情形22恰好11恰好11恰好22恰好第31頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學32從階條件看，每個方程都是恰好識別的，下面再用秩條件來復查，把方程組寫出下面形式變量的系數(shù)方程11000010001000100若該方程那被識別，必須從其他方程所含而該方程不含的諸變量的系數(shù)矩陣中找到至少

19、一個非零的33階行列式，找出包含在其他方程中的這幾個被排除變量的系數(shù)組成的矩陣，稱為A第32頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學33第33頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學34第34頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學35對可識別性的階條件和秩條件的討論，可以得出在M個聯(lián)立方程組中識別一個結構性方程的一般原則：1、如果K-km-1，且A矩陣的秩為M-1,方程是過度識別的；2、如果K-km-1，且A矩陣的秩為M-1,方程是恰好識別的；3、如果K-km-1，則A矩陣的秩小于M-1,方程是不可識別的；4、如果K-k

20、m-1，則結構方程是無法識別的，A矩陣的秩必定小于M-1第35頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學3610.4 聯(lián)立方程的估計10.4.1 間接最小二乘法恰可好識別模型的估計 一個恰好識別的結構方程，從誘導型系數(shù)的普通最小二乘估計值獲得結構系數(shù)估計值的方法就稱為間接最小二乘法，前面我們已經(jīng)在凱恩斯收入模型中簡單介紹過了。使用間接最小二乘法有下面三個步驟： 1、先求誘導型方程，從結構方程組中解出諸誘導型方程，使得在每一個方程中因變量稱為唯一的內(nèi)生變量，并且僅僅是前定(外生或者滯后內(nèi)生)變量和隨機誤差項的函數(shù)； 2、對誘導型方程逐個應用普通最小二乘法，得到誘導型系數(shù)的估

21、計值； 3、利用誘導型系數(shù)的估計值再求原來結構系數(shù)的估計值，如果方程恰可識別，那么結構系數(shù)和誘導系數(shù)存在一一對應，可以利用后者推導出前者的唯一估計值第36頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學37例10.4 對恰可識別的供求模型使用間接最小二乘估計 回歸公式(10.2.7)，將收入符號I改為X 與之對應的誘導方程是 利用已知數(shù)據(jù)，對誘導方程進行估計，得到誘導系數(shù)估計值第37頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學38則供給方程的結構系數(shù)第38頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學39 首先用價格指數(shù)和 生產(chǎn)指數(shù)分別對人均消費支出作回歸，結果如下(4.4104)(3.7839)第39頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學40從而得到間接最小二乘法的回歸結果而如果直接使用普通最小二乘法，結果為 從結果中可以看出，當普通最小二乘法不適當被應用時，估計參數(shù)是有偏的。第40頁，共45頁，2022年，5月20日，7點5分，星期三計量經(jīng)濟學4110.4.2 二階段最小二乘法過度識別方程的估計考慮下面的貨幣供給模型： 應用可識別的階條件，可以看出收入方程是不可識別的，而貨幣供給方程則是過度識別的。對于收入方程，如果不改變模型的設定，是沒有辦法估計出參數(shù)的，而過度識別的貨幣供給方程存在兩個