【教學(xué)】《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》(北師大版)課件

1、第一章 數(shù)列第二節(jié) 等差數(shù)列第二講 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1.知識(shí)目標(biāo)：掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路；會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡單的問題2.能力目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用，使學(xué)生體會(huì)從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認(rèn)識(shí)問題，解決問題的思路和方法；通過公式推導(dǎo)的過程教學(xué)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行思維靈活性與廣闊性的訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維水平.3.情感目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)過程，展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美.體會(huì)模仿與創(chuàng)新的重要性.使學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)的成就感，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高數(shù)學(xué)的推理能力 高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師給同學(xué)們出了一道題：計(jì)算從1到100的自然數(shù)之和.那個(gè)老師認(rèn)為，這些孩子算

2、這道題目需要很長時(shí)間，所以他一寫完題目，就坐到一邊看書去了.誰知，他剛坐下，馬上就有一個(gè)學(xué)生舉手說:“老師，我做完了.”老師大吃一驚，原來是班上年紀(jì)最小的高斯.老師走到他身邊，只見他在筆記本上寫著5050，老師看了，不由得暗自稱贊.為了鼓勵(lì)他，老師買了一本數(shù)學(xué)書送給他.思考：現(xiàn)在如果要你算，你能否用簡便的方法來算出它的值呢？ 有200根相同的圓木料，要把它們堆成正三角形垛，并使剩余的圓木料盡可能少，那么將剩余多少根圓木料？ 根據(jù)題意，各層圓木料數(shù)比上一層多一根，故其構(gòu)成等差數(shù)列：1,2,3，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 設(shè)共擺放了n層，能構(gòu)成正三角形垛的圓木料數(shù)為Sn,則 這是一個(gè)等差數(shù)列的求和問題

3、，如何計(jì)算該等差數(shù)列的和呢？而高斯計(jì)算的就是當(dāng)n=100時(shí)的和.可見日常生活中經(jīng)常會(huì)遇到這樣的求和問題，你能從高斯解決這個(gè)問題的過程中悟出求一般等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法嗎？抽象概括設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，即根據(jù)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式，上式可以寫成再把項(xiàng)的次序反過來，Sn又可以寫成把， 等號(hào)兩邊分別相加，得（共n個(gè)）于是，首項(xiàng)為a1,末項(xiàng)為an,項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 這個(gè)公式表明：等差數(shù)列前n項(xiàng)的和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半，參見下圖.將an=a1+(n-1)d代入式，得對(duì)于本節(jié)開頭的問題，即轉(zhuǎn)化為求滿足的最大自然數(shù)n.易知當(dāng)n=19時(shí)，Sn=190;n=20時(shí)，Sn=210

4、.所以n的最大值為19.此時(shí)，將堆垛19層，剩余10根圓木料.解 由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得例7: 求前n個(gè)正奇數(shù)的和. 例8 在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)形的石板鋪成，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈.請問： （1）第9圈共有多少塊石板？ （2）前9圈一共有多少塊石板？ 解 （1）設(shè)從第1圈到第9圈石板數(shù)所成數(shù)列為an,由題意可知an是等差數(shù)列，其中a1=9，d=9,n=9.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得第9圈有石板（2）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

5、，得前9圈一共有石板答 第9圈有81塊石板，前9圈一共有405塊石板. 例9 在新城大道一側(cè)A處，運(yùn)來20棵新樹苗.一名工人從A處起沿大道一側(cè)路邊每隔10m栽一棵樹苗，這名工人每次只能運(yùn)一棵.要栽完這20棵樹苗，并返回A處.植樹工人共走了多少路程?解 植樹工人每種一棵樹并返回A處所要走的路程（單位：m)組成了一個(gè)數(shù)列0,20,40,60，380，這是首項(xiàng)為0，公差為20，項(xiàng)數(shù)為20的等差數(shù)列，其和答 植樹工人共走了3 800m路程. 例10 九江抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24h后有一洪峰到達(dá).為確保安全，指揮部決定在洪峰來臨前筑一道堤壩作為第二道防線.經(jīng)計(jì)算，需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車，平均每輛工作2

6、4h后方可筑成第二道防線.但目前只有一輛車投入施工，其余的需從昌九高速公路沿線抽調(diào)，每隔20min能有一輛車到達(dá)，指揮部最多可調(diào)集25輛車，那么在24h內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？ 解 從第一輛車投入工作算起，各車工作時(shí)間（單位：h)依次設(shè)為： 25輛車可以完成的工作量為： 需要完成的工作量為 2420=480. 因此，在24h內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線.1.回顧從特殊到一般的研究方法;2.倒序相加的算法及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;3.掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡單應(yīng)用，及函數(shù)與方程的思想.19寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣The foundation of success lies in good habits謝謝聆聽 學(xué)習(xí)就是為了達(dá)到一定目的而努力去干, 是為一個(gè)目標(biāo)去戰(zhàn)勝各種困難的過程,這個(gè)過程會(huì)充滿壓力、痛苦和挫折Learning Is To