理論力學(xué)期末復(fù)習(xí)題(附答案)

1、 滑直線ox上滑動，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，以一長度為l的無質(zhì)量桿和m相連，設(shè)桿僅在通21過固定直線ox的豎直平面內(nèi)運(yùn)動，且二質(zhì)點(diǎn)僅受重力作用。（1）試寫出拉氏函數(shù)，并判斷是否含有循環(huán)坐標(biāo)，判斷的依據(jù)是什么？（2）用拉格朗日方程求其動力學(xué)方程。解：（1）S=2，（x；p）為廣義坐標(biāo)。設(shè)任意時刻t，l與ox的夾角為p，m距原點(diǎn)為x,則=x+/cosp=lsinp=x-lpsinp=lpcosp所以，動能為T=-mx2+m(x-lpsinp)2+(Ipcosp)2所以，動能為2122選擇ox軸所在平面為零勢能參考點(diǎn)，故V=mglsinp2L=(m+m)x2+ml(lp2-2xpsinp)-mglsin

2、p22222由上式可知不顯含x，x為循環(huán)坐標(biāo)。判斷依據(jù)為=0。ox2）代入保守系的拉格朗日方程得(ml+m2)xm2lcospp2mlsinpp=02TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark155 o Current Document m12p+mglcosp-mxlsinp=0222六、問答題1.在極坐標(biāo)系中，v=r，v=r0，為什么？a=r-rB2而非r，為什么？rBra=rB+2r0而非rB+r0，為什么？請說出a中的rB2和a中另一個r0出現(xiàn)的原因BrB和它們的物理意義嗎？答：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時，徑向速度V和橫向速度vB的大小、方向都改變，而a中的r只反映rBr了v

3、本身大小的改變，aB中的rB+rB只是VB本身大小的改變。事實(shí)上，橫向速度VB方向rBBB的改變會引起徑向速度V大小大改變，-rB2就是反映這種改變的加速度分量；經(jīng)向速度Vrr的方向改變也會引起v大小的改變，另一個rB即為反映這種改變的加速度分量，故Ba=rrB2，a=rB+2rB.。這表示質(zhì)點(diǎn)的徑向與橫向運(yùn)動在相互影響，它們一起才能rB完整地描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動變化情況。在怎樣的運(yùn)動中只有a而無a?在怎樣的運(yùn)動中又只有a而無a?在怎樣的運(yùn)tnnt動中既有a又有a?nT答：質(zhì)點(diǎn)在直線運(yùn)動中只有a而無a，質(zhì)點(diǎn)的勻速曲線運(yùn)動中只有a而無a；質(zhì)點(diǎn)TnnT作變速曲線運(yùn)動時既有a又有a。nT某人以一定的功率劃

4、船，逆流而上；當(dāng)船經(jīng)過一橋時，船上的漁竿不慎落入河中；兩分鐘后，此人才發(fā)現(xiàn)，立即返棹追趕；追到漁竿之處是在橋的下游600m的地方，問河水的流速是多大？答：設(shè)人發(fā)覺漁竿落水時，船已上行S，船的相對速度為V（根據(jù)題意為一常數(shù)），船上行時船的絕對速度匕兀-，則船水S二(V-V)X2船水船反向追趕竿的速度V船+V，設(shè)船反向追上竿共用時間t，水則(V+V)t二600+S船水又竿與水同速，則V(2+1)二600水聯(lián)立求解得600VV-船水4V1船一均勻物體假如由幾個有規(guī)則的物體并合（或剜去）而成，你覺得怎樣去求它的質(zhì)心？答：因均勻物體質(zhì)量密度處處相等，規(guī)則形體的幾何中心即為質(zhì)心，故先找出各規(guī)則形體的質(zhì)心把

5、它們看作質(zhì)點(diǎn)組，然后求質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心即為整個物體的質(zhì)心。對被割去的部分，先假定它存在，后以其負(fù)質(zhì)量代入質(zhì)心公式即可。水面上浮著一只小船。船上一人如何向船尾走去，則船將向前移動。這是不是與質(zhì)心運(yùn)動定理相矛盾？試解釋之。答：不矛盾。因人和船組成的系統(tǒng)在人行走前后受到的合外力為零（忽略水對船的阻力），且開船時系統(tǒng)質(zhì)心的初速度也為零，故人行走前后系統(tǒng)質(zhì)心相對地面的位置不變。當(dāng)人向船尾移動時，系統(tǒng)的質(zhì)量分布改變，質(zhì)心位置后移，為抵消這種改變，船將向前移動，這是符合質(zhì)心運(yùn)動定理的。秋千何以能越蕩越高？這時能量的增長是從哪里來的？答：秋千受繩的拉力和重力的作用，在運(yùn)動中繩的拉力提供圓弧運(yùn)動的向心力，此力不做功

6、，只有重力做功。重力是保守力，故重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)秋千蕩到鉛直位置向上去的過程中，人站起來提高系統(tǒng)重心的位置，人克服重力做功使系統(tǒng)的勢能增加；當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)向豎直位置折回過程中，人蹲下去，內(nèi)力做功降低重心位置使系統(tǒng)的動能增大，這樣循環(huán)往復(fù)，系統(tǒng)的總能不斷增大，秋千就可以越蕩越高。這時能量的增長是人體內(nèi)力做功，消耗人體內(nèi)能轉(zhuǎn)換而來的。剛體一般是由n（n是一個很大得數(shù)目）個質(zhì)點(diǎn)組成。為什么剛體的獨(dú)立變量卻不是3n而是6或者更少？答：確定一質(zhì)點(diǎn)在空間中得位置需要3個獨(dú)立變量，只要確定了不共線三點(diǎn)的位置剛體的位置也就確定了，故須九個獨(dú)立變量，但剛體不變形，此三點(diǎn)中人二點(diǎn)的連線長度不變，即有三個約

7、束方程，所以確定剛體的一般運(yùn)動不需3n個獨(dú)立變量，有6個獨(dú)立變量就夠了.若剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，只要定出任一點(diǎn)相對定點(diǎn)的運(yùn)動剛體的運(yùn)動就確定了，只需3個獨(dú)立變量；確定作平面平行運(yùn)動剛體的代表平面在空間中的方位需一個獨(dú)立變量，確定任一點(diǎn)在平面上的位置需二個獨(dú)立變量，共需三個獨(dú)立變量；知道了定軸轉(zhuǎn)動剛體繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)角，剛體的位置也就定了，只需一個獨(dú)立變量；剛體的平動可用一個點(diǎn)的運(yùn)動代表其運(yùn)動，故需三個獨(dú)立變量。簡化中心改變時，主矢和主矩是不是也隨著改變？如果要改變，會不會影響剛體的運(yùn)動？答：主矢F是力系各力的矢量和，他完全取決于力系中各力的大小和方向，故主矢不隨簡R化中心的位置而改變，被稱為力系的主矢；

8、簡化中心的位置不同，各力對簡化中心的位矢ri也就不同，則各力對簡化中心的力矩也就不同，故主矩隨簡化中心的位置而變，被稱之為力系對簡化中心的主矩。主矢不變，表明剛體的平動效應(yīng)不變，主矩隨簡化中心的位置改變，表明力系的作用對剛體上不同點(diǎn)有不同的轉(zhuǎn)動效應(yīng)，但不改變整個剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律或者說不影響剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。設(shè)o和o對質(zhì)心c的位矢分別為r和r，則r二r+oo，把o點(diǎn)的主矢CcccF二Fi，主矩M移到c點(diǎn)得力系對質(zhì)心的主矩oi把O為簡化中心得到的主矢F=Fi和主矩M，移到C點(diǎn)可得F=M+(r+00)x乙F=M+rx乙FcocIocIoci簡化中心的改變引起主矩的改變并不影響剛體的運(yùn)動。事實(shí)上，簡化中

9、心的選取不過人為的手段，不會影響力系的物理效應(yīng)。轉(zhuǎn)動瞬心在無窮遠(yuǎn)處，意味著什么？答：轉(zhuǎn)動瞬心在無窮遠(yuǎn)處，標(biāo)志著此瞬時剛體上各點(diǎn)的速度彼此平行且大小相等，意味著剛體在此瞬時的角速度等于零，剛體作瞬時平動。在衛(wèi)星式宇宙飛船中，宇航員發(fā)現(xiàn)自己身輕如燕，這是什么緣故？答：人隨衛(wèi)星式飛船繞地球轉(zhuǎn)動過程中受到慣性離心力作用，此力與地心引力方向相反，使人處于失重狀態(tài)，故感到身輕如燕。慣性離心力和離心力有哪些不同的地方？答：慣性離心力是隨轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系一起轉(zhuǎn)動的物體受到慣性力，它作用于隨動系一起轉(zhuǎn)動的物體上，不是物體間的相互作用產(chǎn)生的，也不產(chǎn)生反作用力，是物體的慣性在非慣性系中的反映；離心力是牛頓力，是作用于給曲

10、線運(yùn)動提供向心力的周圍物體上的力，或者說離心力是作用于轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系上的力，它是向心力的反作用力。對于單線鐵路來講，兩條鐵軌磨損的程度有無不同？為什么？答；單線鐵路上，南來北往的列車都要通過，以北半球?yàn)槔?，火車受到的科氏慣性力總是指向運(yùn)動方向的右側(cè)（南半球相反），從北向南來的列車使西側(cè)鐵軌稍有磨損，故兩條鐵軌的磨損程度并不相同。虛功原理中的“虛功”二字作何解釋？用虛功原理理解平衡問題，有何優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？八、答：作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任意虛位移中做的功即為虛功；而虛位移是假想的、符合約束的、無限小的瞬時位置變更，故虛功也是假想的、符合約束的、無限小的且與過程無關(guān)（51二0）的功，它與真實(shí)的功完全是兩回事。從SW=丫F-6r可知：虛功與選用的iii坐標(biāo)系無關(guān)，這正是虛功與過程無關(guān)的反映；虛功對各虛位移中的功是線性迭加，虛功對應(yīng)于虛位移的一次變分。虛功原理給出受約束質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件，比靜力學(xué)給出的剛體平衡條件有更普遍的意義；再者，考慮到非慣性系中慣性力的虛功，利用虛功原理還可解決動力學(xué)問題，這是剛體力學(xué)的平衡條件無法比擬的；另外，利用虛功原理解理想約束下的質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題時，由于約束反力自動消去，可簡便地球的平衡條件；最后又有廣義坐標(biāo)和廣義力的引入得到廣義虛位移原理