2021-2022學年山西省朔州市高考沖刺數(shù)學模擬試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點，則線段的最小值為( )ABCD62已知正三角形的邊長為2，為邊的中點，、分別為邊、上的動點，并滿足，則的取值范圍是（ ）ABCD3拋物線的焦點為，

2、點是上一點，則（ ）ABCD4集合的子集的個數(shù)是（ ）A2B3C4D85劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（ ）ABCD6設函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，若的圖象關于直線對稱，且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則（ ）ABCD7已知直線與直線則“”是“”的（ ）A充分不必要條件

3、B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件8已知三棱柱( )ABCD9記為等差數(shù)列的前項和.若，則（ ）A5B3C12D1310若雙曲線的一條漸近線與圓至多有一個交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ）ABCD11關于圓周率，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā)，某同學通過下面的隨機模擬方法來估計的值：先用計算機產(chǎn)生個數(shù)對，其中，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，再統(tǒng)計，能與構成銳角三角形三邊長的數(shù)對的個數(shù)最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.若，則的估計值為（ ）ABCD12已知為虛數(shù)單位，實數(shù)滿足，則 ( )A1BCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20

4、分。13已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)是_，_14已知，滿足，則的展開式中的系數(shù)為_.15已知數(shù)列滿足：，若對任意的正整數(shù)均有，則實數(shù)的最大值是_.16已知數(shù)列滿足，且恒成立，則的值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，在四面體中，.（1）求證:平面平面；（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.18（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設為曲線上位于第一，二象限的兩個動點，且，射線交曲線分別于，求面積

5、的最小值，并求此時四邊形的面積.19（12分）以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點的直角坐標.20（12分）在中，角，的對邊分別為，已知（1）若，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由21（12分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區(qū)，如圖，已知兩個購物廣場的占地都呈正方形，它們的面積分別為13公頃和8公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為公頃和公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三

6、角形，分別記它們的面積為公頃和公頃.（1）設，用關于的函數(shù)表示，并求在區(qū)間上的最大值的近似值（精確到0.001公頃）；（2）如果，并且，試分別求出、的值.22（10分）如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為正三角形，且面面，分別為棱的中點.（1）求證：平面；（2）（文科）求三棱錐的體積；（理科）求二面角的正切值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】利用導數(shù)法和兩直線平行性質(zhì)，將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點，可知拋物線存在某條切線與直線平行，則，設拋

7、物線的切點為，則由可得，所以切點為，則切點到直線的距離為線段的最小值，則.故選：C.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用，以及點到直線的距離公式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.2A【解析】建立平面直角坐標系，求出直線，設出點，通過，找出與的關系通過數(shù)量積的坐標表示，將表示成與的關系式，消元，轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的相關知識，求出其值域，即為的取值范圍【詳解】以D為原點，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設，則直線 ， 設點， 所以 由得 ，即 ，所以，由及，解得，由二次函數(shù)的圖像知，所以的取值范圍是故選A【點睛】本題主要考查解析法在向量中的應用，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用3B【解

8、析】根據(jù)拋物線定義得，即可解得結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題考查拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.4D【解析】先確定集合中元素的個數(shù)，再得子集個數(shù)【詳解】由題意，有三個元素，其子集有8個故選：D【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題，含有個元素的集合其子集有個，其中真子集有個5A【解析】設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,

9、故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.6D【解析】根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)可得，由函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性即可確定的值，進而確定函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】函數(shù)（，）是上的奇函數(shù)，則，所以.又的圖象關于直線對稱可得，即，由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間知，即，綜上，則，.故選：D【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用，由對稱軸、奇偶性及單調(diào)性確定參數(shù)，屬于中檔題.7B【解析】利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關系.【詳解】若，則，故或，當時，直線，直線 ，此時兩條直線平行；當時，直線，直線 ，此時兩條直線平行.所以當時，推不出，故“”是“”的不充分條件，當時，可以推

10、出，故“”是“”的必要條件，故選：B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關系以及必要不充分條件的判斷，前者應根據(jù)系數(shù)關系來考慮，后者依據(jù)兩個條件之間的推出關系，本題屬于中檔題.8C【解析】因為直三棱柱中，AB3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑取BC中點D，則OD底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R13，即R9B【解析】由題得，解得，計算可得.【詳解】，解得，.故選：B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，前項和公式，考查了學生運算求解能力.10C【解析】求得雙曲線的漸近線方程，可得圓心到漸近線的距離，

11、由點到直線的距離公式可得的范圍，再由離心率公式計算即可得到所求范圍【詳解】雙曲線的一條漸近線為，即，由題意知，直線與圓相切或相離，則，解得，因此，雙曲線的離心率.故選：C.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍，注意運用圓心到漸近線的距離不小于半徑，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題11B【解析】先利用幾何概型的概率計算公式算出，能與構成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到，能與構成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出.【詳解】因為，都是區(qū)間上的均勻隨機數(shù)，所以有，若，能與構成銳角三角形三邊長，則，由幾何概型的概率計算公式知，所以.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型的概率

12、計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學生的基本計算能力，是一個中檔題.12D【解析】 ，則 故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 【解析】直接利用復數(shù)的乘法運算化簡，從而得到復數(shù)的共軛復數(shù)和的模【詳解】，則復數(shù)的共軛復數(shù)為，且.故答案為：；.【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎的計算題141【解析】根據(jù)二項式定理求出，然后再由二項式定理或多項式的乘法法則結(jié)合組合的知識求得系數(shù)【詳解】由題意，的展開式中的系數(shù)為故答案為：1【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理的應用是解題關鍵152【解析】根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關于關于

13、參數(shù)的關系,根據(jù)表達式的取值分析出,再用數(shù)學歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因為,累加可得.若,注意到當時,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當時,證明：對任意的正整數(shù)都有.當時, 成立.假設當時結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實數(shù)的最大值是2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進行分析.屬于難題.16【解析】易得，所以是等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，因，所以，所以數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，故，所以.故答案為：【點

14、睛】本題考查由遞推數(shù)列求數(shù)列中的某項，考查學生等價轉(zhuǎn)化的能力，是一道容易題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點連接，得，可得，可證，可得，進而平面，即可證明結(jié)論；（2）設分別為邊的中點，連，可得，可得（或補角）是異面直線與所成的角，可得，為二面角的平面角，即，設，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明:取中點連接，由則，則，故，平面，又平面，故平面平面（2）解法一:設分別為邊的中點，則，（或補角）是異面直線與所成的角.設為邊的中點，則，由知.又由（1）有平面，平面， 所以為二面角的平面角，設則在中，從而在中，又，從而在中

15、，因，因此，異面直線與所成角的余弦值為.解法二:過點作交于點由（1）易知兩兩垂直，以為原點，射線分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系.不妨設，由，易知點的坐標分別為則顯然向量是平面的法向量已知二面角為，設，則設平面的法向量為，則令，則由由上式整理得，解之得(舍)或，因此，異面直線與所成角的余弦值為.【點睛】本題考查空間點、線、面位置關系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空間角對應的平面角是解題的關鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.18（1）；（2）面積的最小值為；四邊形的面積為【解析】（1）將曲線消去參數(shù)即

16、可得到的普通方程，將，代入曲線的極坐標方程即可；（2）由（1）得曲線的極坐標方程，設，利用方程可得，再利用基本不等式得，即可得，根據(jù)題意知，進而可得四邊形的面積.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）消去參數(shù)得曲線的極坐標方程為，即，所以，曲線的直角坐標方程.（2）依題意得的極坐標方程為設，則，故，當且僅當（即）時取“=”，故，即面積的最小值為.此時，故所求四邊形的面積為.【點睛】本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19【解析】利用極坐標方程與普通方程、參數(shù)方程間的互化公式化簡即可.【詳解】因

17、為，所以，所以曲線的直角坐標方程為.由，得，所以曲線的普通方程為.由，得，所以（舍），所以，所以曲線的交點坐標為.【點睛】本題考查極坐標方程與普通方程，參數(shù)方程與普通方程間的互化，考查學生的計算能力，是一道容易題.20見解析【解析】（1）因為，成等差數(shù)列，所以，由余弦定理可得，因為，所以，即，所以（2）若B為直角，則，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時平方，可得，所以（*）又，所以，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角21（1），最大值公頃；（2）17、25、5、5.【解析】（1）由余弦定理求出三角形ABC的邊長BC，進而可以求出，由面積公式求出 ，即可求出，并求出最值；（2）由（1

18、）知，即可求出、，再算出，代入（1）中表達式求出，?！驹斀狻浚?）由余弦定理得，所以，同理可得又 ，所以，故在區(qū)間上的最大值為，近似值為。（2）由（1）知， ，所以，進而，由知， 故、的值分別是17、25、5、5。【點睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關系的應用，意在考查學生的數(shù)學建模以及數(shù)學運算能力。22（1）見解析（2）（文） （理）【解析】（1）證明：取PD中點G，連結(jié)GF、AG，GF為PDC的中位線，GFCD且，又AECD且，GFAE且GF=AE，EFGA是平行四邊形，則EFAG，又EF不在平面PAD內(nèi)，AG在平面PAD內(nèi)，EF面PAD； （2）（文）解：取AD中點O，連結(jié)PO，面PAD面ABCD，PAD為正三角形，PO面ABCD，且，又PC為面ABCD斜線，F(xiàn)為PC中點，F(xiàn)到面ABCD距離，故；（理）連OB交CE于M，可得RtEBCRtOAB，MEB=AOB，則MEB+