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1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn),若,則雙曲線漸近線的斜率為( )ABC
2、D2已知函,則的最小值為( )AB1C0D3古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),則6和28恰好在同一組的概率為 ABCD4已知函數(shù)是奇函數(shù),且,若對(duì),恒成立,則的取值范圍是( )ABCD5若復(fù)數(shù)滿足,則( )ABCD6復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在( )A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限7若,則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是( ) A1B2C3D48命題:存在實(shí)數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù),使得恒成立;:,為奇函數(shù),則下列命題是真命題的是
3、( )ABCD9 “幻方”最早記載于我國(guó)公元前500年的春秋時(shí)期大戴禮中“階幻方”是由前個(gè)正整數(shù)組成的個(gè)階方陣,其各行各列及兩條對(duì)角線所含的個(gè)數(shù)之和(簡(jiǎn)稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示)則“5階幻方”的幻和為( )A75B65C55D4510某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )AB3CD411設(shè)集合、是全集的兩個(gè)子集,則“”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件12在三棱錐中,則三棱錐外接球的表面積是( )ABCD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知向量,滿足,則向量在的夾角為_.14已知函數(shù)若關(guān)于的
4、不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的所有可能值之和為_.15一個(gè)袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè),從中任意摸取3個(gè)小球,每個(gè)小球被取出的可能性相等,則取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率是_16已知集合,則_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)如圖,已知橢圓C:x24+y2=1,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),直線l:y=kx+m(km0)與橢圓交于P(x1(I)試用x1表示|PF|(II)證明:原點(diǎn)O到直線l的距離為定值.18(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程;(2)
5、直線(t為參數(shù))與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求最大時(shí),直線l的直角坐標(biāo)方程.19(12分)已知,.(1)解;(2)若,證明:.20(12分)已知滿足 ,且,求的值及的面積.(從,這三個(gè)條件中選一個(gè),補(bǔ)充到上面問題中,并完成解答.)21(12分)對(duì)于正整數(shù),如果個(gè)整數(shù)滿足,且,則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.()寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;()對(duì)于給定的整數(shù),設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”,且,求的最大值;()對(duì)所有的正整數(shù),證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與,當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí),稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同
6、的.)22(10分)如圖,在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)且(1)求直線與平面所成角的正弦值;(2)求銳二面角的大小參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1C【解析】如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,計(jì)算,根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,故,在中,故,故,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2B【解析】,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,故當(dāng),即時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值,
7、涉及到二倍角公式的應(yīng)用,是一道中檔題.3B【解析】推導(dǎo)出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率【詳解】解:將五個(gè)“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機(jī)分為兩組,一組2個(gè),另一組3個(gè),基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù),6和28恰好在同一組的概率故選:B【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題4A【解析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)是偶函數(shù).,即,又,所以,.函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>
8、以,則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上,所以為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增.由,可得,對(duì)恒成立,則,對(duì)恒成立,得,所以的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式,根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬壓軸題.5B【解析】由題意得,求解即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6B【解析】設(shè),則,可得,即可得到,進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè),則,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模,考查運(yùn)算能力.7D【解析】a,b可看成是與和交點(diǎn)
9、的橫坐標(biāo),畫出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,作出圖象如圖,由,的圖象可知,正確;,有,正確;,有,正確;,有,正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.8A【解析】分別判斷命題和的真假性,然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于命題,由于,所以命題為真命題.對(duì)于命題,由于,由解得,且,所以是奇函數(shù),故為真命題.所以為真命題. 、都是假命題.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式,考查函數(shù)的奇偶性,考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.9B【解析】計(jì)算的和,然后除以,得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻
10、方”的幻和為,故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.10C【解析】首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.11C【解析】作出韋恩圖,數(shù)形結(jié)合,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示,同時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件,注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)
11、題.12B【解析】取的中點(diǎn),連接、,推導(dǎo)出,設(shè)設(shè)球心為,和的中心分別為、,可得出平面,平面,利用勾股定理計(jì)算出球的半徑,再利用球體的表面積公式可得出結(jié)果.【詳解】取的中點(diǎn),連接、,由和都是正三角形,得,則,則,由勾股定理的逆定理,得.設(shè)球心為,和的中心分別為、.由球的性質(zhì)可知:平面,平面,又,由勾股定理得.所以外接球半徑為.所以外接球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計(jì)算,解題時(shí)要分析幾何體的結(jié)構(gòu),找出球心的位置,并以此計(jì)算出球的半徑長(zhǎng),考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】把平方利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)即得解.【詳
12、解】因?yàn)?,所以,因?yàn)樗?故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則,考查向量的夾角的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14【解析】由分段函數(shù)可得不滿足題意;時(shí),可得,即有,解方程可得,4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和【詳解】解:由函數(shù),可得的增區(qū)間為,時(shí),時(shí),當(dāng)關(guān)于的不等式的解集為,可得不成立,時(shí),時(shí),不成立;,即為,可得,即有,顯然,4成立;由和的圖象可得在僅有兩個(gè)交點(diǎn)綜上可得的所有值的和為1故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查不等式的解法,注意運(yùn)用分類討論思想方法,考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力,屬于中檔題15【解析】由題,得滿足題目要求的
13、情況有,有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選和有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,由此即可得到本題答案.【詳解】滿足題目要求的情況可以分成2大類:有一個(gè)數(shù)字4,另外兩個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況;有兩個(gè)數(shù)字4,另外一個(gè)數(shù)字從1,2,3里面選,一共有種情況,又從中任意摸取3個(gè)小球,有種情況,所以取出的3個(gè)小球中數(shù)字最大的為4的概率.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型與組合的綜合問題,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.16【解析】由可得集合是奇數(shù)集,由此可以得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)樗约现械脑貫槠鏀?shù),所以.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性質(zhì)
14、是本題解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 (I) |FP|=2-32x【解析】(I)直接利用兩點(diǎn)間距離公式化簡(jiǎn)得到答案.(II) 設(shè)Ax3,y3,Bx4【詳解】(I) 橢圓C:x24|FP|=x(II)設(shè)Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3x故1+k即1+k2故原點(diǎn)O到直線l的距離為d=m【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)的線段長(zhǎng)度,定值問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18(1);(2).【解析】(1)利用消去參數(shù),得到曲線的普通方程,再將,代入普通方程,即可求出結(jié)論;(2)由(1)得曲線表示圓,直線曲
15、線C交于A,B兩點(diǎn),最大值為圓的直徑,直線過圓心,即可求出直線的方程.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù)),可得曲線C的普通方程為,因?yàn)?,所以曲線C的極坐標(biāo)方程為,即.(2)因?yàn)橹本€(t為參數(shù))表示的是過點(diǎn)的直線,曲線C的普通方程為,所以當(dāng)最大時(shí),直線l經(jīng)過圓心.直線l的斜率為,方程為,所以直線l的直角坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、直線與曲線的位置關(guān)系,考查化歸和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19(1);(2)見解析.【解析】(1)在不等式兩邊平方化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為二次不等式,解此二次不等式即可得出結(jié)果;(2)利用絕對(duì)值三角不等式可證得成立.【詳解】(
16、1),由得,不等式兩邊平方得,即,解得或.因此,不等式的解集為;(2),由絕對(duì)值三角不等式可得.因此,.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值不等式的求解,同時(shí)也考查了利用絕對(duì)值三角不等式證明不等式,考查推理能力與運(yùn)算求解能力,屬于中等題.20見解析【解析】選擇時(shí):,,計(jì)算,根據(jù)正弦定理得到,計(jì)算面積得到答案;選擇時(shí),故,為鈍角,故無解;選擇時(shí),根據(jù)正弦定理解得,根據(jù)正弦定理得到,計(jì)算面積得到答案.【詳解】選擇時(shí):,,故.根據(jù)正弦定理:,故,故.選擇時(shí),故,為鈍角,故無解.選擇時(shí),根據(jù)正弦定理:,故,解得,.根據(jù)正弦定理:,故,故.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,正弦定理,面積公式,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和
17、綜合應(yīng)用能力.21 () ,;() 為偶數(shù)時(shí),為奇數(shù)時(shí),;()證明見解析,【解析】()根據(jù)題意直接寫出答案.()討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí),最大為,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),最大為,得到答案.() 討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí),至少存在一個(gè)全為1的拆分,故,當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到,再計(jì)算,得到答案.【詳解】()整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為:,.()當(dāng)為偶數(shù)時(shí),時(shí),最大為;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),時(shí),最大為;綜上所述:為偶數(shù),最大為,為奇數(shù)時(shí),最大為.()當(dāng)為奇數(shù)時(shí),至少存在一個(gè)全為1的拆分,故;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),設(shè)是每個(gè)數(shù)均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”,則它至少對(duì)應(yīng)了和的均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:.當(dāng)時(shí),偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,;當(dāng)時(shí),偶數(shù)“正整數(shù)分拆”為,奇數(shù)“正整數(shù)分拆”為,故;當(dāng)時(shí),對(duì)于偶數(shù)“正整數(shù)分拆”,除了各項(xiàng)不全為的奇數(shù)拆分外,至少多出一項(xiàng)各項(xiàng)均為的“正整數(shù)分拆”,故.綜上所述:使成立的為:或.【點(diǎn)睛】本土考查了數(shù)列的新定義問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.22(1);(2).【解析】(1) 以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為再求
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