學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

1、學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 對(duì)于常數(shù)，“”是“方程的曲線是雙曲線“的”（ ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】方程即為，故該方程表示雙曲線等價(jià)于同號(hào)，即所以“”是“方程的曲線是雙曲線”的充分必要條件選C2. 若，則下列不等式中錯(cuò)誤的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由不等式的性質(zhì)可得選項(xiàng)B,C,D正確對(duì)于選項(xiàng)A，由于，所以，故因此A不正確選A3. 下列函數(shù)中，最小值為4的是

2、（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】選項(xiàng)A中，由于不一定為正，故最小值為4不成立選項(xiàng)B中，由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故B正確選項(xiàng)C中，但等號(hào)成立時(shí)需滿足，不合題意，故C不正確選項(xiàng)D中，不一定為正數(shù)，故D不正確綜上選項(xiàng)B正確選B4. 已知實(shí)數(shù)滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最小值是（ ）A. B. 15 C. 0 D. 【答案】A【解析】作出可行域如圖：當(dāng)直線向上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)A時(shí)，有最小值，由解得，所以，故選A.5. 下列命題中，說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）A. “若，則”的否命題是“若，則”B. “是真命題”是“是真命題”的充分不必要條件C. “ ”的否定是“ ”D. “若，則是偶函數(shù)”的逆命題是真命

3、題【答案】C【解析】選項(xiàng)A中，由否命題的定義知，結(jié)論正確選項(xiàng)B中，由“是真命題”可得“是真命題”，反之不成立故“是真命題”是“是真命題”的充分不必要條件所以B正確選項(xiàng)C中，“ ”的否定是“ ”，故C不正確選項(xiàng)D中，所給命題的逆命題為“若是偶函數(shù)，則”為真命題故D正確選C6. 設(shè)，若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】是與的等比中項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立選D7. 已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是以為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則這個(gè)橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因?yàn)槭且詾橹睆降膱A與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，所以，

4、因?yàn)?，所以。在中，因?yàn)?，所以，由橢圓定義可得，所以。故選A。 【點(diǎn)睛】求離心率的值或范圍就是找的值或關(guān)系。由是以為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，得為直角三角形。由求出兩銳角，根據(jù)斜邊求兩直角邊，再根據(jù)橢圓定義得關(guān)于的關(guān)系式，可求離心率。8. 設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則 （ ）A. B. C. 2 D. 17【答案】A.故答案選A。9. 在等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，則（ ）A. 11 B. C. 10 D. 【答案】B【解析】由等差數(shù)列的知識(shí)可得，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，設(shè)其公差為，則，選B10. 設(shè)分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析

5、】如圖，由題意得點(diǎn)M在直線上，則是直角三角形，其中，且，則，整理得，解得或(舍去)選C點(diǎn)睛：求橢圓或雙曲線的離心率（或范圍）時(shí)，要先分析題意、理清所給的條件，并將所給的條件轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形內(nèi)，并根據(jù)三角形的有關(guān)知識(shí)得到關(guān)于的方程或不等式，消去后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)得到關(guān)于離心率的方程或不等式，求解后可得離心率或其范圍11. 設(shè)為等差數(shù)列，若，且它的前項(xiàng)和有最小值，那么當(dāng)取得最小正值時(shí)的值為（ ）A. 18 B. 19 C. 20 D. 21【答案】C【解析】為等差數(shù)列,有最小值，則，又，說(shuō)明， ， ，則 ， ，則為最小正值.選C.12. 已知定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，滿足

6、，則在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）A. 5 B. 3 C. 1或3 D. 1【答案】D【解析】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù) 則 由題當(dāng)時(shí)，滿足， 即函數(shù) 在 時(shí)是增函數(shù)，又 當(dāng) 成立，對(duì)任意是奇函數(shù)， 時(shí)， 即只有一個(gè)根就是0故選D第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13. 函數(shù)的遞增區(qū)間為_【答案】【解析】，由，解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為答案：（也對(duì)）14. 在數(shù)列中，且數(shù)列是等比數(shù)列，則_【答案】【解析】試題分析：由于數(shù)列是等比數(shù)列，所以，所以公比是，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，進(jìn)而 ，故答案填.考點(diǎn)：1.通項(xiàng)公式；2.等比數(shù)列.15. 已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)

7、的取值范圍是_【答案】【解析】由，得函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，在上恒成立，在上恒成立，即在上恒成立令，則，在上單調(diào)遞減故實(shí)數(shù)的取值范圍是答案：16. 拋物線的焦點(diǎn)為，已知點(diǎn)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足,過(guò)弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為 _【答案】【解析】連AF、BF，設(shè)，由拋物線定義得，過(guò)A,B分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則四邊形ABPQ為梯形，MN為中位線，則在中，由余弦定理得，又，故的最大值為答案： 點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題常與不等式、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多、難度較大解題時(shí)可先建立關(guān)于某個(gè)參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，常用的方法有以下

8、幾個(gè)：利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系；利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. 若數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】(1)見解析， (2)見解析.【解析】試題分析：（1）由變形得，可得數(shù)列為等比數(shù)列，通過(guò)求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）由（1）可得，故，利用裂項(xiàng)相消法求和即可試題解析：（1)證明： ，又，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列， （2

9、）由（1）知，.18. 已知函數(shù).（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式.【答案】(1) (2) 當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為.【解析】試題分析：（1）由條件可得不等式在上恒成立，根據(jù)拋物線的開口方向和判別式可得所求范圍（2）原不等式化為，根據(jù)的不同取值解不等式即可試題解析：（1）由在上恒成立，可得在上恒成立，解得實(shí)數(shù)的取值范圍為（2）由不等式得當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得 ；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得或；綜上當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為；當(dāng)時(shí)，的解集為.點(diǎn)睛： （1）解一元二

10、次不等式時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)要先化為正，再根據(jù)判別式符號(hào)判斷對(duì)應(yīng)方程根的情況，然后結(jié)合相應(yīng)二次函 數(shù)的圖象寫出不等式的解集（2）解含參數(shù)的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進(jìn)行討論：首先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類，其次根據(jù)根是否存在，即判別式的符號(hào)進(jìn)行分類，最后當(dāng)根存在時(shí)，再根據(jù)根的大小進(jìn)行分類19. 已知過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線相交于兩點(diǎn).當(dāng)直線的斜率是時(shí)，.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)線段的中垂線在軸上的截距為，求的取值范圍.【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化

11、能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，利用點(diǎn)斜式先寫出直線的方程，令直線與拋物線聯(lián)立，消參得到關(guān)于y的方程，利用韋達(dá)定理，得到和，再利用，解出，得到拋物線的方程；第二問(wèn)，設(shè)出直線的方程，令拋物線與直線聯(lián)立，消參得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理，得到BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到BC的中垂線方程，令x=0，得到中垂線在y軸上的截距，再通過(guò)配方法求范圍.試題解析：(1)設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，當(dāng)直線l的斜率是時(shí)，l的方程為y(x4)，即x2y4.由得2y2(8p)y80，,又，y24y1，由及p0得：y11，y24，p2，得拋物線G的方程為x24y.(2)設(shè)l：yk(x4)，BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)

12、，由得x24kx16k0，y0k(x04)2k24k.線段BC的中垂線方程為y2k24k(x2k)，線段BC的中垂線在y軸上的截距為：b2k24k22(k1)2，對(duì)于方程，由16k264k0得k0或k4. b(2，)考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題.20. 已知數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明為等差數(shù)列.（3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令.為的前項(xiàng)的和，求.【答案】(1) (2)見解析；（3）【解析】試題分析：試題解析：（1），,.當(dāng)時(shí)， 數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， . （2），又，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（3）由（2)知 , ，-得：.

13、21. 已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).（1）求該橢圓的離心率；（2）設(shè)直線和分別與直線交于點(diǎn)，問(wèn)：軸上是否存在定點(diǎn)使得？乳品存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1) (2) 軸上存在定點(diǎn)或，使得【解析】試題分析：（1）由橢圓方程分別求出a,b,c的值，求出離心率；（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)p，設(shè)直線BC的方程為，B(x1，y1)，C(x2，y2)，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出的表達(dá)式，求出M,N的坐標(biāo)，由MPNP，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，即得出定點(diǎn)。試題解析：(1)由橢圓方程可得a2，b，從而橢圓的半焦距c1.所以橢圓的離心率為e.(2)依題意，直線BC的斜

14、率不為0，設(shè)其方程為xty1.將其代入1，整理得(43t2)y26ty90.設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以y1y2，y1y2.易知直線AB的方程是y (x2)，從而可得M(4，)，同理可得N(4，)假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)P(p，0)使得MPNP，則有0. 所以(p4)20.將x1ty11，x2ty21代入上式，整理得(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解得p1或p7.所以x軸上存在定點(diǎn)P(1，0)或P(7，0)，使得MPNP.點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)以及定點(diǎn)問(wèn)題，屬于難題。本題關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理求出的表達(dá)式，再表示出M,N的坐標(biāo)。22. 已知函數(shù)（1）若曲線與在公共點(diǎn)處有相同的切線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且曲線與總存在公共的切線，求正數(shù)的最小值.【答案】(1)(2) 【解析】試題分析：（1）根據(jù)可求得（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，由得，由兩曲線總存在公切線可得有解，即關(guān)于的方程有解，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解即可試題解析：（1)，依據(jù)題意得，即，解得.（2）當(dāng)時(shí)，