初三數(shù)學寒假講義 第3講.圓 教師版

1、PAGE 14PAGE 13PAGE 1中考第一輪復習圓3中考第一輪復習圓3中考大綱剖析中考大綱剖析考試內(nèi)容考試要求層次ABC圓的有關(guān)概念理解圓及其有關(guān)概念會過不在同一直線上的三點作圓；能利用圓的有關(guān)概念解決簡單問題圓的性質(zhì)知道圓的對稱性，了解弧、弦、圓心角的關(guān)系能用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決簡單問題，能用垂徑定理解決有關(guān)問題能運用圓的性質(zhì)解決有關(guān)問題圓周角了解圓周角與圓心角的關(guān)系；知道直徑所對的圓周角是直角會求圓周角的度數(shù)，能用圓周角的知識解決與角有關(guān)的簡單問題能綜合運用幾何知識解決與圓周角有關(guān)的問題弧長會計算弧長能利用弧長解決有關(guān)問題扇形會計算扇形面積能利用扇形面積解決有關(guān)問題圓錐的側(cè)面積和

2、全面積會求圓錐的側(cè)面積和全面積能解決與圓錐有關(guān)的簡單實際問題點與圓的位置關(guān)系了解點與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系了解直線與圓的位置關(guān)系；了解切線的概念，理解切線與過切點的半徑之間的關(guān)系；會過圓上一點畫圓的切線，了解切線長的概念能判定一條直線是否為圓的切線；能利用直線和圓的位置關(guān)系解決簡單問題能解決與切線有關(guān)的問題圓與圓的位置關(guān)系了解圓與圓的位置關(guān)系能利用圓與圓的位置關(guān)系解決簡單問題本講結(jié)構(gòu)本講結(jié)構(gòu)知識導航知識導航一、垂徑定理1. 定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧2. 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.二、弧、弦、圓心角定理1. 定理：在同圓

3、或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等2. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等三、圓周角定理定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑四、與圓相關(guān)的位置關(guān)系1.點和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，點到圓心的距離為，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內(nèi).2.直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為，則有：直線與相離；直線與相切；直線與相交切線的性質(zhì)：定理

4、：圓的切線垂直于過切點的半徑推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心切線的判定：定義：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；距離：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線3.圓和圓的位置關(guān)系：設(shè)的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則有：兩圓外離；兩圓外切；兩圓相交；兩圓內(nèi)切；兩圓內(nèi)含.五、圓中的相關(guān)計算公式設(shè)的半徑為，圓心角所對弧長為，1. 弧長公式：2. 扇形面積公式：3. 圓柱體表面積公式：4. 圓錐體表面積公式：（為母線）六、圓中常見輔助線作法連半徑，得等腰三角形作相等圓周角作2倍角關(guān)系作直徑

5、所對圓周角，得垂直知弦長或求弦長作弦心距，用勾股證切線，連半徑，證垂直；知切線，連半徑，得垂直七、圓中常見倒角模型【編寫思路】本講包括以下知識點：圓的基本性質(zhì)，包括垂徑定理、弦弧圓周角定理、圓周角定理及其推論等的綜合運用；點圓、線圓、圓圓位置關(guān)系；圓中弧的長度、扇形弓形面積、陰影面積等的求法.知識點較多，容量較大.其中針對中考中“圓”的兩問題中的難點第二問圓中的相似問題進行探究，旨在鍛煉學生解決此類問題的方法和速度.模塊一 模塊一 圓的基本性質(zhì)夯實基礎(chǔ)夯實基礎(chǔ)（1）如圖，OC是O的半徑，AB是弦，且OCAB，點P在O上，APC=26,則BOC=_. （2013貴州遵義）（2）如圖，O的半徑OD

6、弦AB于點C，連結(jié)AO并延長交O于點E，連 結(jié)EC若AB8，CD2，則EC的長為（）A. B.8 C. D. （2013浙江嘉興）（3）現(xiàn)有直徑為2的半圓O和一塊等腰直角三角板 將三角板如圖1放置，銳角頂點P在圓上，斜邊經(jīng)過點B，一條直角邊交圓于點Q，則BQ的長為_； 將三角板如圖2放置，銳角頂點P在圓上，斜邊經(jīng)過點B，一條直角邊的延長線交圓于Q，則BQ的長為_ . （2013大興期末）圖1 圖2【解析】（1）52；（2）A.（3），連結(jié)OQ， .連結(jié)AQ，.能力提升能力提升如圖，點P是等邊三角形ABC外接圓O上的點，在以下判斷中，不正確的是（ ）A、當弦PB最長時， APC是等腰三角形. B

7、、當APC是等腰三角形時，POAC.C、當POAC時，ACP=30. D、當ACP=30，PBC是直角三角形. (2013安徽中考)【解析】C，當點P與點B重合時不成立；模塊模塊二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系夯實基礎(chǔ)夯實基礎(chǔ) 如圖，在平面直角坐標系中，與軸相切于原點，平行于軸、的直線交于兩點若點的坐標是，則點的坐標是_（浙江紹興中考）（2）已知，如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，切 于，則的度數(shù)為_（3）如圖，Rt的內(nèi)切圓與兩直角邊AB、AC分別相切于點D、E，過劣弧DE（不包括端點D、E）上任意一點P作的切線MN與AB、 BC分別交于點M、N，若的半徑為r，則Rt的周長為（ ）A.r B.1.5r C.

8、2r D.2.5r（4）在同一平面上，已知和的直徑分別為6cm和8cm，請在不同條件下寫出和的位置關(guān)系：當=7cm，兩圓_；當=5cm，兩圓_；當=8cm，兩圓_.【解析】（1）（2，-4）過點P作MN的垂線，先求出半徑為2.5；（2）128，連結(jié)OC；（3）C，切線長定理；（4）外切；相交；外離.能力提升能力提升1. 如圖，在中，以為直徑的分別交、于點、，點在的延長線上，且 求證：直線是的切線； 若，求和的長（2011北京）（【解析】 證明：連結(jié). 是的直徑，. . . . .即. 是的直徑， 直線是的切線 解：過點作于點.由中，由勾股定理得.在中，可求得.，. 所以CD=.另：如圖，也可以

9、過點C作，構(gòu)造“A”字圖用相似.2. 如圖是的直徑，與分別相切于點，交的延長線于點，交的延長線于點.（1）求證：；（2）若，求的長. （2013北京）【解析】（1）、與分別相切于點、且即， 即（2）連結(jié)， 在中， 在中，在中，本講探究主題：圓中的相似【探究1】如圖，O是ABC是的外接圓，BC為O直徑，作CAD=B，且點D在BC的延長線上 若sinCAD =，O的半徑為8，求CD長 【解析】過點C作CEAD于點E.CAD=B, sinB =sinCAD =.O的半徑為8，BC=16. AC= .在RtACE中，CE=2. CEAD, CED=OAD=90. CEOA.CED OAD. .設(shè)CD=

10、x，則OD=x+8.即. 解得x=.【探究2】 如圖，是的直徑，點在上，的平分線交于點，連接交于點.若，求的長. 【解析】連結(jié)是的直徑， ，即，得 可證 【探究3】已知：如圖，是的直徑，是上一點，于點，過點B作的切線，交 的延長線于點，連結(jié)連結(jié)并延長交于點，若，求的長 【解析】過點作于點，則. 在中， 由勾股定理得 在中，同理得 是的中點， ， 【探究4】如圖，AB是O的直徑， 點C在O上，CE AB于E, CD平分ECB, 交過點B的射線于D, 交AB于F, 且BC=BD.若AE=9, CE=12, 求BF的長.【解析】連接AC， AB是O直徑， . , 可得 . 在RtCEB中，CEB=9

11、0, 由勾股定理得 . , EFC =BFD, EFCBFD. . . BF=10. 【點評】圓中的相似常見有以下模型：（老師根據(jù)自己的教學可以總結(jié)出更多更好的?。┠K模塊三 有關(guān)圓的計算夯實基礎(chǔ)夯實基礎(chǔ)（1） 如圖，如果從半徑為的圓形紙片剪去圓的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高為（ ）A B CD（通州一模）（2）如圖所示，已知大正方形的邊長為10厘米，小正方形的邊長為7厘米，則陰影部分面積為（ ） A13平方厘米 B平方厘米 C25平方厘米 D無法計算（3）如圖，在邊長為1的等邊ABC中，若將兩條含圓心角的 、及邊AC所圍成的陰影部分的面積記為S，則S與

12、ABC面積的比是 【解析】（1）B；（2）C，作出兩條對角線，用平行線等積變換將面積轉(zhuǎn)成扇形面積；（3）或1:3，連結(jié)AO、BO、CO.能力提升能力提升（1）已知每個網(wǎng)格中小正方形的邊長都是1，圖中的陰影圖案是由三段以格點為圓心，半徑分別為1和2的圓弧圍成則陰影部分的面積是 （2）如圖，正方形的邊，和都是以為半徑的圓弧，則無陰影部分的兩部分的面積之差是（ ）A. B. C. D.（湖北羅田中考）【解析】（1）-2，連對角線，轉(zhuǎn)化為弓形面積； （2）A，面積差=兩個扇形面積和-正方形面積； 【思維拓展訓練】提高班如圖，為直徑上一動點，過點的直線交于、兩點，且，于點，于點當點在上運動時，設(shè)，下列圖

13、象中，能表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ） （2009北京中考）【解析】A.直徑是圓中最長的弦.如圖，AB是O的直徑，點C在O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，COB=2PCB.（1）求證：PC是O的切線；（2）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若MN MC=8，求O的直徑. （2013西城一模）【解析】（1）證明：OA=OC， A=ACO . COB=2ACO .又COB=2PCB，ACO =PCB . AB是O的直徑，ACO +OCB=90 . PCB +OCB=90， 即OCCP. OC是O的半徑， PC是O的切線. （2）解：連接MA、MB. 點M是弧AB的中點，ACM=BA

14、M. AMC=AMN，AMCNMA . . . =8， . AB是O的直徑，點M是弧AB的中點， AMB=90，AM=BM=. .閱讀下列材料，然后解答問題經(jīng)過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫做這個圓的內(nèi)接正四邊形如圖，正方形ABCD內(nèi)接于O，O的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2以圓心O為頂點作MON，使MON90將MON繞點O旋轉(zhuǎn)，OM、ON分別與O交于點E、F，分別與正方形ABCD的邊交于點G、H設(shè)由OE、OF、 eq o(EF,sup5()及正方形ABCD的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S當OM經(jīng)過點A時（如圖），則

15、S、S1、S2之間的關(guān)系為： （用含S1、S2的代數(shù)式表示）；當OMAB于G時（如圖），則中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由；當MON旋轉(zhuǎn)到任意位置時（如圖），則中的結(jié)論仍然成立嗎？請說明理由AABCDDDCCABABOOOMNMNMNGHGH(E)(F)EFEF圖圖圖（湖南邵陽中考）【解析】（1）根據(jù)圖形的對稱性，得 （2）結(jié)論仍成立，扇形OEF的面積仍是圓面積的1/4四邊形OGBH的面積仍是正方形的面積的1/4（3）作OPAB，OQBC，可以證明OPGOQH結(jié)合（2）中的結(jié)論即可證明實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練模塊一 圓的基本性質(zhì) 課后演練如圖，將半徑為的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）

16、A. B. C. D.（連云港中考）【解析】C.如下左圖，點為優(yōu)弧所在圓的圓心，點在的延長線上，則_.（河北中考） 如下右圖，是O的內(nèi)接三角形，點D是的中點，已知AOB=98，COB=120則ABD的度數(shù)是（舟山中考） ABABCDO【解析】（1）27； （2）101.模塊二 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 課后演練（1）如圖，已知O是以坐標原點O為圓心，1為半徑的圓，AOB45，點P在x軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與O有公共點，設(shè)P(x，0)，則x的取值范圍是 （2）如圖，、內(nèi)切于點，其半徑分別是和，將沿直線平移至兩圓相外切時，則點移動的長度是（ ）A B C16 D 或16（茂名中考）【解析】

17、（1） 且； （2）D，左右平移均可.已知：如圖，AB是O的直徑，AC是O的弦，M為AB上一點，過點M作DMAB，交弦AC于點E，交O于點F，且DCDE（1）求證：DC是O的切線；（2）如果DM15，CE10，求O半徑的長 （2013門頭溝一模）【解析】如圖，過點D作DGAC于點G，連結(jié)BCDCDE，CE10，EGCE5cosDEGcosAEM，DE13DG12DM15，EMDMDE2 AMEDGE90，AEMDEG，AEMDEG， AB為O的直徑，ACB90 cosA O的半徑長為 模塊三 有關(guān)圓的計算 課后演練如圖，AB為半圓的直徑， 點P為AB上一動點，動點P從點A出發(fā)，沿AB勻速運動到

18、點B，運動時間為，分別以AP和PB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積S與時間t之間的函數(shù)圖象大致為 A B C D【解析】D冰凍三尺非一日之寒晉代的大文學家陶淵明隱居田園后，某一天，有一個讀書的少年前來拜訪他，向他請教求知之道。 見到陶淵明，那少年說：冰凍三尺非一日之寒晉代的大文學家陶淵明隱居田園后，某一天，有一個讀書的少年前來拜訪他，向他請教求知之道。 見到陶淵明，那少年說：“您的學識與才華令晚輩十分仰慕，不知您在年輕時讀書有無妙法?如果有的話，請您傳授給我?！?陶淵明聽后，笑道：“天底下根本就沒有學習的妙法。只有一個千古不變的笨辦法。那就是刻苦用功，堅持不懈地學習?！?少年聽后，似乎還沒有領(lǐng)會，陶淵明便拉著少年的手來到田邊，指著一棵稻秧說：“你仔細地看一下，看它是不是在長高?” 少年盯著稻秧認真地看了起來。怎么看，也沒見稻秧長高，便起身對陶淵明說：“我沒看見它長高?！碧諟Y明道：“它不能長高。為什么能從一棵秧苗，長到現(xiàn)在這個高度呢？其實，它每時每刻都在長，只是我們的肉眼無法看到罷了。讀書求知以及知識的積累，