初三數(shù)學寒假講義 第3講.圓 教師版

1、PAGE 14PAGE 13PAGE 1中考第一輪復習圓3中考第一輪復習圓3中考大綱剖析中考大綱剖析考試內容考試要求層次ABC圓的有關概念理解圓及其有關概念會過不在同一直線上的三點作圓；能利用圓的有關概念解決簡單問題圓的性質知道圓的對稱性，了解弧、弦、圓心角的關系能用弧、弦、圓心角的關系解決簡單問題，能用垂徑定理解決有關問題能運用圓的性質解決有關問題圓周角了解圓周角與圓心角的關系；知道直徑所對的圓周角是直角會求圓周角的度數(shù)，能用圓周角的知識解決與角有關的簡單問題能綜合運用幾何知識解決與圓周角有關的問題弧長會計算弧長能利用弧長解決有關問題扇形會計算扇形面積能利用扇形面積解決有關問題圓錐的側面積和

2、全面積會求圓錐的側面積和全面積能解決與圓錐有關的簡單實際問題點與圓的位置關系了解點與圓的位置關系直線與圓的位置關系了解直線與圓的位置關系；了解切線的概念，理解切線與過切點的半徑之間的關系；會過圓上一點畫圓的切線，了解切線長的概念能判定一條直線是否為圓的切線；能利用直線和圓的位置關系解決簡單問題能解決與切線有關的問題圓與圓的位置關系了解圓與圓的位置關系能利用圓與圓的位置關系解決簡單問題本講結構本講結構知識導航知識導航一、垂徑定理1. 定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧2. 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.二、弧、弦、圓心角定理1. 定理：在同圓

3、或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等2. 推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等三、圓周角定理定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑四、與圓相關的位置關系1.點和圓的位置關系：設的半徑為，點到圓心的距離為，則有：點在圓外；點在圓上；點在圓內.2.直線和圓的位置關系：設的半徑為，圓心到直線的距離為，則有：直線與相離；直線與相切；直線與相交切線的性質：定理

4、：圓的切線垂直于過切點的半徑推論1：經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點推論2：經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心切線的判定：定義：和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；距離：和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線3.圓和圓的位置關系：設的半徑分別為（其中），兩圓圓心距為，則有：兩圓外離；兩圓外切；兩圓相交；兩圓內切；兩圓內含.五、圓中的相關計算公式設的半徑為，圓心角所對弧長為，1. 弧長公式：2. 扇形面積公式：3. 圓柱體表面積公式：4. 圓錐體表面積公式：（為母線）六、圓中常見輔助線作法連半徑，得等腰三角形作相等圓周角作2倍角關系作直徑

5、所對圓周角，得垂直知弦長或求弦長作弦心距，用勾股證切線，連半徑，證垂直；知切線，連半徑，得垂直七、圓中常見倒角模型【編寫思路】本講包括以下知識點：圓的基本性質，包括垂徑定理、弦弧圓周角定理、圓周角定理及其推論等的綜合運用；點圓、線圓、圓圓位置關系；圓中弧的長度、扇形弓形面積、陰影面積等的求法.知識點較多，容量較大.其中針對中考中“圓”的兩問題中的難點第二問圓中的相似問題進行探究，旨在鍛煉學生解決此類問題的方法和速度.模塊一 模塊一 圓的基本性質夯實基礎夯實基礎（1）如圖，OC是O的半徑，AB是弦，且OCAB，點P在O上，APC=26,則BOC=_. （2013貴州遵義）（2）如圖，O的半徑OD

6、弦AB于點C，連結AO并延長交O于點E，連 結EC若AB8，CD2，則EC的長為（）A. B.8 C. D. （2013浙江嘉興）（3）現(xiàn)有直徑為2的半圓O和一塊等腰直角三角板 將三角板如圖1放置，銳角頂點P在圓上，斜邊經過點B，一條直角邊交圓于點Q，則BQ的長為_； 將三角板如圖2放置，銳角頂點P在圓上，斜邊經過點B，一條直角邊的延長線交圓于Q，則BQ的長為_ . （2013大興期末）圖1 圖2【解析】（1）52；（2）A.（3），連結OQ， .連結AQ，.能力提升能力提升如圖，點P是等邊三角形ABC外接圓O上的點，在以下判斷中，不正確的是（ ）A、當弦PB最長時， APC是等腰三角形. B

7、、當APC是等腰三角形時，POAC.C、當POAC時，ACP=30. D、當ACP=30，PBC是直角三角形. (2013安徽中考)【解析】C，當點P與點B重合時不成立；模塊模塊二 與圓有關的位置關系夯實基礎夯實基礎 如圖，在平面直角坐標系中，與軸相切于原點，平行于軸、的直線交于兩點若點的坐標是，則點的坐標是_（浙江紹興中考）（2）已知，如圖，四邊形內接于，為的直徑，切 于，則的度數(shù)為_（3）如圖，Rt的內切圓與兩直角邊AB、AC分別相切于點D、E，過劣弧DE（不包括端點D、E）上任意一點P作的切線MN與AB、 BC分別交于點M、N，若的半徑為r，則Rt的周長為（ ）A.r B.1.5r C.

8、2r D.2.5r（4）在同一平面上，已知和的直徑分別為6cm和8cm，請在不同條件下寫出和的位置關系：當=7cm，兩圓_；當=5cm，兩圓_；當=8cm，兩圓_.【解析】（1）（2，-4）過點P作MN的垂線，先求出半徑為2.5；（2）128，連結OC；（3）C，切線長定理；（4）外切；相交；外離.能力提升能力提升1. 如圖，在中，以為直徑的分別交、于點、，點在的延長線上，且 求證：直線是的切線； 若，求和的長（2011北京）（【解析】 證明：連結. 是的直徑，. . . . .即. 是的直徑， 直線是的切線 解：過點作于點.由中，由勾股定理得.在中，可求得.，. 所以CD=.另：如圖，也可以

9、過點C作，構造“A”字圖用相似.2. 如圖是的直徑，與分別相切于點，交的延長線于點，交的延長線于點.（1）求證：；（2）若，求的長. （2013北京）【解析】（1）、與分別相切于點、且即， 即（2）連結， 在中， 在中，在中，本講探究主題：圓中的相似【探究1】如圖，O是ABC是的外接圓，BC為O直徑，作CAD=B，且點D在BC的延長線上 若sinCAD =，O的半徑為8，求CD長 【解析】過點C作CEAD于點E.CAD=B, sinB =sinCAD =.O的半徑為8，BC=16. AC= .在RtACE中，CE=2. CEAD, CED=OAD=90. CEOA.CED OAD. .設CD=

10、x，則OD=x+8.即. 解得x=.【探究2】 如圖，是的直徑，點在上，的平分線交于點，連接交于點.若，求的長. 【解析】連結是的直徑， ，即，得 可證 【探究3】已知：如圖，是的直徑，是上一點，于點，過點B作的切線，交 的延長線于點，連結連結并延長交于點，若，求的長 【解析】過點作于點，則. 在中， 由勾股定理得 在中，同理得 是的中點， ， 【探究4】如圖，AB是O的直徑， 點C在O上，CE AB于E, CD平分ECB, 交過點B的射線于D, 交AB于F, 且BC=BD.若AE=9, CE=12, 求BF的長.【解析】連接AC， AB是O直徑， . , 可得 . 在RtCEB中，CEB=9

11、0, 由勾股定理得 . , EFC =BFD, EFCBFD. . . BF=10. 【點評】圓中的相似常見有以下模型：（老師根據自己的教學可以總結出更多更好的?。┠K模塊三 有關圓的計算夯實基礎夯實基礎（1） 如圖，如果從半徑為的圓形紙片剪去圓的一個扇形，將留下的扇形圍成一個圓錐（接縫處不重疊），那么這個圓錐的高為（ ）A B CD（通州一模）（2）如圖所示，已知大正方形的邊長為10厘米，小正方形的邊長為7厘米，則陰影部分面積為（ ） A13平方厘米 B平方厘米 C25平方厘米 D無法計算（3）如圖，在邊長為1的等邊ABC中，若將兩條含圓心角的 、及邊AC所圍成的陰影部分的面積記為S，則S與

12、ABC面積的比是 【解析】（1）B；（2）C，作出兩條對角線，用平行線等積變換將面積轉成扇形面積；（3）或1:3，連結AO、BO、CO.能力提升能力提升（1）已知每個網格中小正方形的邊長都是1，圖中的陰影圖案是由三段以格點為圓心，半徑分別為1和2的圓弧圍成則陰影部分的面積是 （2）如圖，正方形的邊，和都是以為半徑的圓弧，則無陰影部分的兩部分的面積之差是（ ）A. B. C. D.（湖北羅田中考）【解析】（1）-2，連對角線，轉化為弓形面積； （2）A，面積差=兩個扇形面積和-正方形面積； 【思維拓展訓練】提高班如圖，為直徑上一動點，過點的直線交于、兩點，且，于點，于點當點在上運動時，設，下列圖

13、象中，能表示與的函數(shù)關系的圖象大致是（ ） （2009北京中考）【解析】A.直徑是圓中最長的弦.如圖，AB是O的直徑，點C在O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，COB=2PCB.（1）求證：PC是O的切線；（2）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若MN MC=8，求O的直徑. （2013西城一模）【解析】（1）證明：OA=OC， A=ACO . COB=2ACO .又COB=2PCB，ACO =PCB . AB是O的直徑，ACO +OCB=90 . PCB +OCB=90， 即OCCP. OC是O的半徑， PC是O的切線. （2）解：連接MA、MB. 點M是弧AB的中點，ACM=BA

14、M. AMC=AMN，AMCNMA . . . =8， . AB是O的直徑，點M是弧AB的中點， AMB=90，AM=BM=. .閱讀下列材料，然后解答問題經過正四邊形（即正方形）各頂點的圓叫做這個正四邊形的外接圓，圓心是正四邊形的對稱中心，這個正四邊形叫做這個圓的內接正四邊形如圖，正方形ABCD內接于O，O的面積為S1，正方形ABCD的面積為S2以圓心O為頂點作MON，使MON90將MON繞點O旋轉，OM、ON分別與O交于點E、F，分別與正方形ABCD的邊交于點G、H設由OE、OF、 eq o(EF,sup5()及正方形ABCD的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S當OM經過點A時（如圖），則

15、S、S1、S2之間的關系為： （用含S1、S2的代數(shù)式表示）；當OMAB于G時（如圖），則中的結論仍然成立嗎？請說明理由；當MON旋轉到任意位置時（如圖），則中的結論仍然成立嗎？請說明理由AABCDDDCCABABOOOMNMNMNGHGH(E)(F)EFEF圖圖圖（湖南邵陽中考）【解析】（1）根據圖形的對稱性，得 （2）結論仍成立，扇形OEF的面積仍是圓面積的1/4四邊形OGBH的面積仍是正方形的面積的1/4（3）作OPAB，OQBC，可以證明OPGOQH結合（2）中的結論即可證明實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練模塊一 圓的基本性質 課后演練如圖，將半徑為的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心，則折痕的長為（）

16、A. B. C. D.（連云港中考）【解析】C.如下左圖，點為優(yōu)弧所在圓的圓心，點在的延長線上，則_.（河北中考） 如下右圖，是O的內接三角形，點D是的中點，已知AOB=98，COB=120則ABD的度數(shù)是（舟山中考） ABABCDO【解析】（1）27； （2）101.模塊二 與圓有關的位置關系 課后演練（1）如圖，已知O是以坐標原點O為圓心，1為半徑的圓，AOB45，點P在x軸上運動，若過點P且與OA平行的直線與O有公共點，設P(x，0)，則x的取值范圍是 （2）如圖，、內切于點，其半徑分別是和，將沿直線平移至兩圓相外切時，則點移動的長度是（ ）A B C16 D 或16（茂名中考）【解析】

17、（1） 且； （2）D，左右平移均可.已知：如圖，AB是O的直徑，AC是O的弦，M為AB上一點，過點M作DMAB，交弦AC于點E，交O于點F，且DCDE（1）求證：DC是O的切線；（2）如果DM15，CE10，求O半徑的長 （2013門頭溝一模）【解析】如圖，過點D作DGAC于點G，連結BCDCDE，CE10，EGCE5cosDEGcosAEM，DE13DG12DM15，EMDMDE2 AMEDGE90，AEMDEG，AEMDEG， AB為O的直徑，ACB90 cosA O的半徑長為 模塊三 有關圓的計算 課后演練如圖，AB為半圓的直徑， 點P為AB上一動點，動點P從點A出發(fā)，沿AB勻速運動到

18、點B，運動時間為，分別以AP和PB為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積S與時間t之間的函數(shù)圖象大致為 A B C D【解析】D冰凍三尺非一日之寒晉代的大文學家陶淵明隱居田園后，某一天，有一個讀書的少年前來拜訪他，向他請教求知之道。 見到陶淵明，那少年說：冰凍三尺非一日之寒晉代的大文學家陶淵明隱居田園后，某一天，有一個讀書的少年前來拜訪他，向他請教求知之道。 見到陶淵明，那少年說：“您的學識與才華令晚輩十分仰慕，不知您在年輕時讀書有無妙法?如果有的話，請您傳授給我?！?陶淵明聽后，笑道：“天底下根本就沒有學習的妙法。只有一個千古不變的笨辦法。那就是刻苦用功，堅持不懈地學習?！?少年聽后，似乎還沒有領會，陶淵明便拉著少年的手來到田邊，指著一棵稻秧說：“你仔細地看一下，看它是不是在長高?” 少年盯著稻秧認真地看了起來。怎么看，也沒見稻秧長高，便起身對陶淵明說：“我沒看見它長高?！碧諟Y明道：“它不能長高。為什么能從一棵秧苗，長到現(xiàn)在這個高度呢？其實，它每時每刻都在長，只是我們的肉眼無法看到罷了。讀書求知以及知識的積累，