初三數學寒假講義 第1講.三角形 教師版

1、PAGE 14PAGE 13PAGE 1中考第一輪復習三角形1中考第一輪復習三角形1中考大綱中考大綱剖析 考試內容考試要求層次ABC三角形了解三角形的有關概念；了解三角形的穩(wěn)定性；會按邊和角對三角形進行分類；理解三角形的內角和、外角和及三邊關系；會畫三角形的主要線段；知道三角形的內心、外心和重心會用尺規(guī)作給定條件的三角形；掌握三角形內角和定理及推論；會按要求解決三角形的邊、角的計算問題；能用三角形的內心、外心的知識解決簡單問題；會證明三角形的中位線定理，并會應用三角形中位線性質解決有關問題等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的概念，會識別這三種圖形；理解等腰三角形、等邊

2、三角形、直角三角形的性質和判定能用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質和判定解決簡單問題會運用等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的知識解決有關問題全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形與全等三角形之間的關系掌握兩個三角形全等的條件和性質；會應用全等三角形的性質與判定解決有關問題會運用全等三角形的知識和方法解決有關問題勾股定理及其逆定理已知直角三角形的兩邊長，會求第三邊長會用勾股定理及其逆定理解決簡單問題相似三角形了解兩個三角形相似的概念會利用相似三角形的性質與判定進行簡單的推理和計算；會利用三角形的相似解決一些實際問題銳角三角函數了解銳角三角函數（）；知道角的三角函數值由某個角的一

3、個三角函數值，會求這個角的其余兩個三角函數值；會計算含有角的三角函數式的值能運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單問題解直角三角形知道解直角三角形的含義會解直角三角形；能根據問題的需要添加輔助線構造直角三角形；會解由兩個特殊直角三角形構成的組合圖形的問題能綜合運用直角三角形的性質解決有關問題本講結構本講結構知識導航知識導航一、等腰三角形等腰三角形的兩大特性圖形 特性“等腰三角形中的三線合一”“底所在直線上的點到兩腰的距離與腰上的高的關系”構造等腰三角形“垂直平分線造等腰”“平行線加角平分線”“平行線截等腰三角形”“圓構造等腰”特殊等腰三角形圖形三邊之比二、直角三角形1直角三角形的邊角關系直角三

4、角形的兩銳角互余 三邊滿足勾股定理 邊角間滿足銳角三角函數2特殊直角三角形“等腰直角三角形”“含和的直角三角形”邊的比：邊的比：3直角三角形中的特殊線“直角三角形斜邊中線”“直角三角形斜邊高”三.尺規(guī)構造等腰三角形和直角三角形問題作圖求點坐標“萬能法”其他方法等腰三角形已知點A、B和直線l，在l上求點P，使為等腰三角形“兩圓一垂”分別表示出點A、B、P的坐標，再表示出線段AB、BP、AP的長度，由AB=AP AB=BPBP=AP列方程解出坐標作等腰三角形底邊的高，用勾股或相似建立等量關系直角三角形已知點A、B和直線l，在l上求點P，使為直角三角形“兩垂一圓”分別表示出點A、B、P的坐標，再表示

5、出線段AB、BP、AP的長度，由列方程解出坐標作垂線，用勾股或相似建立等量關系四.全等三角形全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等全等三角形的判定：SSS；SAS；ASA；AAS；HL在證明圖形的線或角關系時，通常需要將全等與圖形變換（旋轉、平移、軸對稱等）相結合.五.相似三角形相似三角形的性質： 相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，其比值稱為相似比 相似三角形對應高的比等于相似比，周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方 相似三角形的判定： 平行于三角形一邊的直線，截其他兩邊所得的三角形與原三角形相似； 兩角對應相等，兩三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；

6、三邊對應成比例，兩三角形相似相似三角形的基本模型： 【編寫思路】由于三角形的知識點非常多，本講只針對三角形中的重要考點來編寫的，側重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值較少，而且簡單，所以本講也只是針對相似中的重要模型進行復習，不對學生做太高要求.另外，我們在每一講中，針對當前考試的熱點和難點，設計一種“系列探究”， 使得每一講有一個復習亮點，為我們第一輪復習錦上添花.本講的探究是：由“直角三角形斜邊中線”引發(fā)的“幾何最值問題”.模塊一 模塊一 特殊三角形夯實基礎夯實基礎（1）如圖所示的正方形網格中，網格線的交點稱為格點，已知A、B是兩格點，如果C

7、也是圖中的格點，且使得為等腰三角形，則點C的 個數是（ ）A.6 B.7 C.8 D.9（2）在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點在軸上，且 是直角三角形，則滿足條件的點的坐標為 （2010順義一模）（3）已知：如圖，在中，點在邊上，點 在邊的延長線上，且，連接交于求證： （2012海淀期中）（4）如圖所示，在ABC中，BC=6，E，F分別是AB，AC的中點，點P在射線EF上，BP交CE于D，點Q在CE上且BQ平分CBP，設BP=，PE=.當CQ=CE時，與之間的函數關系式是 . 【解析】（1）C，“兩圓一垂”； （2）（0，0），（0，10），（0，2），（0，8）.“兩垂一圓”確

8、定四個點之后，用勾股求得； （3）證明：過D點作AC的平行線交BC于點G， 則B=ACB=BGD；BD=DG=CE； 易證DFGEFC；DF=EF. 注：本題方法很多，還可以過D作BC平行線，或過E作AB的平行線，由“平行線截等腰三角形”得新等腰三角形.（4）y= x+6； 提示：延長BQ與射線EF相交，由“平行線加角平分線”得到等腰三角形.能力提升能力提升（1）如圖，正方形的邊長為2, 將長為2的線段的兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時滑動如果點從點出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動到點為止，同時點從點出發(fā)，沿圖中所示方向按滑動到點為止，那么在這個過程中，線段的中點所經過的路線圍成的圖形的面積為（ ）

9、（2010宣武一模）A. 2 B. 4 C. D. （2）如圖，在ABC中，C=90，AC=4，BC=2，點A、C分別在x 軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（ ）A B C D 6 （2010西城二模）以下探究主題為：幾何最值問題【探究1】如圖，為等邊三角形，邊長AB=4，點A、C分別在x 軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是_.【探究2】如圖，在中，C=90，AC=4，BC=3，點A、C分別在x 軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的

10、最小距離是_.【探究3】 如圖，在Rt中，ACB=90，B=30，CB=，點D是平面上一點且CD=2，點P為線段AB上一動點，當ABC繞點C任意旋轉時，在旋轉過程中線段DP長度的最大值為_，最小值為_.【解析】（1）C，由“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”可知BM、CM、CM、AM均等于FQ的一半，于是M的軌跡圍成一個半徑為1的圓； （2）A，如右圖1，取AC中點D，連結OD、BD，當O、D、B三點共線時，OB的值最大；探究1：，方法同上，取AC中點D，連結OD、BD，當O、D、B三點共線時，OB的值最大；探究2：如右圖2，取AC中點D，連結OD、BD，當O、D、B三點共線時，OB的值最小，

11、最小值為；探究3：“ABC繞點C旋轉”等價于“CD繞點C旋轉”，如下圖1，連結CP，當PD=PC+CD時，PD最大，當PD =PC-CD時，PD最小. 如圖2，當P與B重合，PD取最大值為，如圖3，當CPAB時，PD取最小值為.【點評】動線段最值的求法一般可總結為兩種方法（僅供參考）：（1）將動線段作為一個三角形的一邊，且另兩邊為定值，但是形狀可變化，如下左圖，“外共線”值最大，“內共線”值最?。ㄒ阎狝B、BP為定值，求動線段AP的最大或最小值）；（2）如下右圖，垂線段最短，端點處最大（已知點P是線段BC上的動點，求線段AP的最大或最小值）. 模模塊二 全等三角形夯實基礎夯實基礎ABC與CDE

12、均為等邊三角形，點C為公共頂點，連結AD、BE相交于點P，BE交AC于點M，AD交CE于點N，（1）如圖1，當點B、C、D在同一直線上，請證明以下結論： AD=BE； 連結PC，則PC平分BPD； ； 連結MN，則MCN為等邊三角形； PB=PA+PC，PD=PE+PC（ 連結AE，點P為ACE的費馬點. 學生版上沒有）（2）如圖2，當CDE繞點C旋轉任意角度時，（1）中的5個結論仍成立嗎？【解析】（1）由可得；過點C分別作AD、BE邊上的高，由“全等三角形面積相等”或者通過證明“全等三角形對應邊上的高相等”可得兩高相等，證得；由“八”字模型倒角證得；由或者得CN=CM，證得；由，在四邊形AB

13、CP和EDCP中利用旋轉可證得；由中的結論可知PA+PC+PE=BE，點P到ACE的三個頂點的距離和最小，即可證得.（2）結論均成立.能力提升能力提升在ABC中，AB=AC，BAC=（），將線段BC繞點B逆時針旋轉60得到線段BD.（1）如圖1，直接寫出ABD的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（2）如圖2，BCE=150，ABE=60，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結DE，若DEC=45，求的值. （2013北京中考）【解析】（1）；（2）為等邊三角形，連接、線段繞點逆時針旋轉得到線段則，又 且為等邊三角形.在與中 （SSS） 在與中 （AAS） 為等邊三角形（3），又 為等腰

14、直角三角形 而 【點評】第（2）問考察的是一類由旋轉形成的全等模型，如圖，若 為等腰三角形（AB=AC）；為等腰三角形（AD=AE）； 以上三個命題有二推一，通常兩個三角形為等邊三角形. 此題欲證為等邊三角形，已知為等邊三角形，則需證即可.模模塊三 相似三角形夯實基礎夯實基礎（1）已知在ABC中，BC=a.如圖1，點B1 、C1分別是AB、AC的中點，則線段B1C1的長是_；如圖2，點B1 、B2 ，C1 、C2分別是AB 、AC的三等分點，則線段B1C1 + B2C2的值是_；如圖3, 點，分別是AB、AC的（n+1）等分點，則線段B1C1 + B2C2+ BnCn的值是 _. （2）如圖，

15、在矩形ABCD中， AB=4，BC=6，當直角三角板MPN 的直角頂點P在BC邊上移動時，直角邊MP始終經過點A，設直角三角板的另一直角邊PN與CD相交于點QBP=x，CQ=y，那么y與x之間的函數圖象大致是（ ）【解析】（1）, 提示：由“A”字相似模型來求BnCn 的長；（2）D 提示：“三垂”相似模型；能力提升能力提升如圖1，在等腰直角ABC中，BAC=90，AB=AC=2，點E是BC邊上一點，DEF=45且角的兩邊分別與邊AB，射線CA交于點P，Q.（1）如圖2，若點E為BC中點，將DEF繞著點E逆時針旋轉，DE與邊AB交于點P，EF與CA的延長線交于點Q.設BP為x，CQ為y，試求y

16、與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如圖3，點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與B，C重合），且DE始終經過點A,EF與邊AC交于Q點探究：在DEF運動過程中，AEQ能否構成等腰三角形，若能，求出BE的長；若不能，請說明理由 (2012東城期末)【解析】（1） BAC=90，AB=AC=2， B=C，又, DEB=EQC. BPECEQ 設BP為x，CQ為y， 自變量x的取值范圍是0 x1 （2）解： AEF=B=C,且AQEC, AQEAEF . AEAQ .當AE=EQ時，可證ABEECQ. CE=AB=2 . BE=BC-EC=.當AQ=EQ時，可知QAE=QEA=45.

17、 AEBC . 點E是BC的中點. BE=. 綜上，在DEF運動過程中，AEQ能成等腰三角形，此時BE長為或. 【思維拓展訓練】提高班如圖，直角三角形紙片ABC中，ACB=90，AC=8，BC=6折疊該紙片使點B與點C重合，折痕與AB、BC的交點分別為D、E. （1）DE的長為 ；（2）將折疊后的圖形沿直線AE剪開，原紙片被剪成三塊，其中最小一塊的面積等于 【解析】4，4如圖1，已知矩形ABCD中，點E是BC上的一動點，過點E作EFBD于點F，EGAC于 點G，CHBD于點H，試證明CH=EF+EG； 若點E在BC的延長線上，如圖2，過點E作EFBD于點F，EGAC的延長線于點G，CHBD于點

18、H， 則EF、EG、H三者之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想； 如圖3，BD是正方形ABCD的對角線，L在BD上，且BL=BC， 連接CL，點E是CL上任一點， EFBD于點F，EGBC于點，猜想、之間具有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想； 觀察圖1、圖2、圖3的特性，請你根據這一特性構造一個圖形，使它仍然具有、 這樣的線段，并滿足或的結論，寫出相關題設的條件和結論 （2010房山二模）【解析】（1）設對角線交點為O，連結OE，用面積法證明；（2）CH=EF-EG；（3）連結AC交BD于點O，由（1）的結論可知CO=EF+EG，于是；（4）只要有等腰三角形就行，例如可以在等腰梯形中構造.

19、 如圖1，四邊形是正方形，點是上任意一點，于點，于點 求證： 當點為邊中點時，試探究線段與之間的數量關系，并說明理由 若點為延長線上一點，其余條件不變請你在圖2中畫出圖形，寫出此時、之間的數量關系（不需要證明）【解析】（1）由可得；（2）EF=2GF，易證，于是，所以AF=2BF， BF=2FG，所以EF=2FG； （3）DE+BF=EF.實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練模塊一 特殊三角形 課后演練如圖，等腰中，線段的垂直平分線交于，交于E，連接BE，則等于（ ）A80 B 70 C60 D50 在等腰中，中線BD將這個三角形的周長分別為和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊長為_ 如圖，等邊三角形中，、分別為、