年人教B版數學必修三講義：第3章+314概率的加法公式及答案

1、2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第 3 章+3.1.4 概率的加法公式及答案3.1.4 概率的加法公式學 習 目 標 核 心 素 養(yǎng)1.懂得互斥大事、對立大事的概念,會判定 詳細問題中的互斥與對立大事 重點、難點、易混點 2會用互斥大事的概率公式求概率重點 3會用對立大事的概率公式求概率重點1大事的關系1.通過互斥大事、對立大事概念的學 習,表達了數學抽象的數學核心素養(yǎng)2通過互斥大事、對立大事概率公 式的學習,培育數學運算的數學核 心素養(yǎng) .大事定義圖形表示互斥在同一試驗中, 不行能同時發(fā)生的兩個大事A 與 B 叫做互大事斥大事大事一般地,由大事 A 和 B 中至少有一個發(fā)生

2、 即 A 發(fā)生,或 B發(fā)生或 A,B 都發(fā)生 所構成的大事 C,稱為大事 A 與 B 的的并并或和,記作 CAB AB互為在同一試驗中,不能同時發(fā)生且必有一個發(fā)生的兩個大事A A 對立叫做互為對立大事,大事A 的對立大事記作A大事摸索 ：假如 A、B 是對立大事,那么它們是互斥大事嗎？提示 是2互斥大事的概率加法公式1如 A,B 是互斥大事,就 PABPAPB- 1 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第3 章+3.1.4概率的加法公式及答案2如 A 是 A 的對立大事,就 P A 1PA3如 A1,A2, , An 兩兩互斥,就 PA1A2 AnPA1PA2 PAn

3、1以下說法正確選項 A假如兩個大事是互斥大事,那么這兩個大事肯定是對立大事B假如兩個大事是對立大事,那么這兩個大事肯定是互斥大事C對立大事和互斥大事沒有區(qū)分,意義相同D對立大事和互斥大事沒有任何聯(lián)系B 對立大事必互斥,互斥大事未必對立,應選 B. 2PA0.1,PB0.2,就 PAB等于 A0.3 B0.2 C0.1 D不確定D 由于不能確定 A 與 B 互斥,就 PAB的值不能確定 3一商店有獎促銷活動中有一等獎與二等獎兩個獎項,其中中一等獎的概率為 0.1,中二等獎的概率為0.25,就不中獎的概率為 _065中獎的概率為 0.10.250.35,中獎與不中獎互為對立大事,所以不中獎的概率為

4、 10.350.65. 4甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為0.2,兩人下成和棋的概率為0.4,就甲不輸的概率是 _06如設甲獲勝為大事A,兩人下成和棋為大事B,就甲不輸為 AB,因為 A、B 為互斥大事,故 PABPAPB0.20.40.6. 互斥大事與對立大事的判定探究問題 1大事 AB 中的基本領件與大事A、B 中的基本領件有什么關系？提示大事 AB 是由大事 A 或大事 B 所包含的基本領件所組成的集合- 2 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第 3 章+3.1.4 概率的加法公式及答案2大事 A、B 不行能同時發(fā)生時稱其為互斥大事,如何從 A、B 所含的基本大

5、事上懂得 “ 不行能同時發(fā)生 ” 的含義？提示大事 A、B 的基本領件中沒有重復的沒有交集 3在一次試驗中,對立的兩個大事會都不發(fā)生嗎？它們的和大事是什么事件？提示在一次試驗中, 大事 A 與它的對立大事只能發(fā)生其一,且必定發(fā)生其一,不能兩個都不發(fā)生 其和大事是必定大事 【例 1】某小組有 3 名男生和 2 名女生,從中任選2 名同學參與演講競賽,判定以下每對大事是不是互斥大事,假如是,再判定它們是不是對立大事：1“ 恰有 1 名男生” 與“ 恰有 2 名男生” ；2“ 至少有 1 名男生” 與“ 全是男生” ；3“ 至少有 1 名男生” 與“ 全是女生” ；4“ 至少有 1 名男生” 與“

6、至少有 1 名女生” 思路探究 緊扣互斥大事與對立大事的定義判定解 從 3 名男生和 2 名女生中任選 2 人,有如下三種結果： 2 名男生, 2 名女生, 1 男 1 女1“ 恰有 1 名男生 ” 指 1 男 1 女,與 “ 恰有 2 名男生 ” 不能同時發(fā)生,它們是互斥大事；但是當選取的結果是 是對立大事 2 名女生時,該兩大事都不發(fā)生,所以它們不2“ 至少 1 名男生 ” 包括 2 名男生和 1 男 1 女兩種結果,與大事 “ 全是男生 ”可能同時發(fā)生,所以它們不是互斥大事3“ 至少 1 名男生 ” 與“ 全是女生 ” 不行能同時發(fā)生,所以它們互斥,由于它們必有一個發(fā)生,所以它們是對立大

7、事4“ 至少有 1 名女生 ” 包括 1 男 1 女與 2 名女生兩種結果,當選出的是 1 男 1- 3 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第3 章+3.1.4概率的加法公式及答案女時, “ 至少有 1 名男生 ” 與“ 至少有 1 名女生 ” 同時發(fā)生,所以它們不是互斥大事互斥大事和對立大事的判定方法, 1 利用基本概念 , 要判定兩個大事是不是互斥大事,只需要找出各個大事所包含的全部結果,看它們之間能不能同時發(fā)生,在互斥的前提下,看兩個大事中是否必有一個發(fā)生,可判定是否為對立大事 .留意辨析“ 至少” “ 至多” 等關鍵詞語的含義,明晰它們對大事結果的影響 .

8、2 利用集合觀點 , 設大事 A 與 B 所含的結果組成的集合分別為 A,B., 如事件 A 與 B 互斥,就集合 AB.；, 如大事 A 與 B 對立,就集合 AB.且 AB. 1抽查 10 件產品,設大事 A：至少有兩件次品,就A 的對立大事為 A至多兩件次品 B至多一件次品C至多兩件正品 D至少兩件正品B “ 至少有兩件次品 ” 的否定是 “ 至多有一件次品 ” ,應選 B. 2把紅、黑、藍、白 4 張紙牌隨機地分發(fā)給甲、乙、丙、丁 4 個人,每人分得 1 張,大事“ 甲分得紅牌” 與大事“ 乙分得紅牌” 是 A對立大事 B不行能大事C互斥但不對立大事D以上答案都不對C “ 甲分得紅牌

9、” 與“ 乙分得紅牌 ” 不會同時發(fā)生,但分得紅牌的仍可能 是丙或丁,所以不是對立大事應選 C. 互斥大事的概率【例 2】袋中裝有紅球、黑球、黃球、綠球共12 個,這些小球除顏色外完- 4 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第3 章+3.1.4概率的加法公式及答案5 12,得全相同,從袋中任取一球,得到紅球的概率為1 3,得到黑球或黃球的概率是5到黃球或綠球的概率也是 12,就得到黑球、 得到黃球、 得到綠球的概率各是多少？思路探究 由題意知從袋中取球得到黑球、黃球和綠球的大事是互斥大事,因此摸到兩種或兩種以上球的概率可以用互斥大事的概率加法公式,此題中是已知和的概

10、率,求各自的概率,我們只需建立方程,便可求出解 從袋中任取一球, 記大事 “ 得到紅球 ” “ 得到黑球 ” “得到黃球 ” “得P B P C 5 12,到綠球 ” 分別為 A,B,C,D,就由題意得 P C P D 5 12,解得P B P C P D 11 3,P B 1 4,P C 1 6,P D 1 4.即得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是 4,1 6,1 4. 1當一個大事包含幾種情形時,可把大事轉化為幾個互斥大事的并大事,再利用概率的加法公式運算2使用概率加法公式PABPAPB時,必需判定 A,B 是互斥大事3某地區(qū)的年降水量在以下范疇內的概率如表所示：年降水量100,15

11、0150,200200,250250,300單位： mm- 5 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第 3 章+3.1.4 概率的加法公式及答案概率 0.12 0.25 0.16 0.14 1求年降水量在 100,200mm范疇內的概率；2求年降水量在 150,300mm范疇內的概率 解 記 這 個 地 區(qū) 的 年 降 水 量 在 100,150mm 、 150,200mm 、200,250mm、250,300mm范疇內分別為大事A、B、C、D這四個大事是彼此互斥的,依據互斥大事的概率加法公式,有 1年降水量在 100,200mm范疇內的概率是 PABPAPB0.12

12、0.250.37. 2年降水量在 150,300mm范疇內的概率是 PBCDPBPCPD0.250.160.140.55.互斥大事和對立大事的概率【例 3】某射手在一次射擊訓練中,射中10 環(huán),9 環(huán),8 環(huán), 7 環(huán)的概率分別為 0.21,0.23,0.25,0.28,運算這個射手在一次射擊中：1射中 10 環(huán)或 7 環(huán)的概率；2不夠 7 環(huán)的概率思路探究 先設出大事,判定是否互斥或對立,然后再使用概率公式求解解 1設“ 射中 10 環(huán)” 為大事 A,“ 射中 7 環(huán)” 為大事 B,由于在一次射擊中, A 與 B 不行能同時發(fā)生,故 件為 AB.A 與 B 是互斥大事 “ 射中 10 環(huán)或

13、7 環(huán)” 的事故 PABPAPB0.210.280.49,射中 10 環(huán)或 7 環(huán)的概率為 0.49.2不夠 7 環(huán)從正面考慮有以下幾種情形：射中6 環(huán),5 環(huán),4 環(huán),3 環(huán),2 環(huán),1 環(huán),0 環(huán),但由于這些概率都未知,故不能直接求解,可考慮從反面入手,不夠- 6 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第 3 章+3.1.4 概率的加法公式及答案7 環(huán)的反面大于等于 7 環(huán),即 7 環(huán),8 環(huán), 9 環(huán), 10 環(huán),由于此兩大事必有一個發(fā)生,另一個不發(fā)生,故是對立大事,可用對立大事的方法處理設“ 不夠 7 環(huán)” 為大事 E,就大事 E 為“ 射中 7 環(huán)或 8 環(huán)或

14、 9 環(huán)或 10 環(huán)” ,由1可知“ 射中 7 環(huán)” 、“ 射中 8 環(huán)” 等彼此是互斥大事,P E 0.210.230.250.280.97,從而 PE1P E 10.970.03,不夠 7 環(huán)的概率是 0.03.1對于一個較復雜的大事,一般將其分解成幾個簡潔的大事,當這些大事彼 此互斥時,原大事的概率等于這些大事概率的和并且互斥大事的概率加法公式 可以推廣為： PA1A2 AnPA1PA2 PAn其使用的前提條件仍 然是 A1,A2, , An 彼此互斥故解決此類題目的關鍵在于分解大事及確立大事 是否互斥2“ 正難就反” 是解決問題的一種很好的方法,應留意把握,如本例中的第 2問,直接求解

15、比較麻煩,就可考慮求其對立大事的概率,再轉化為所求4甲、乙兩人下棋,和棋的概率為 1甲獲勝的概率；2甲不輸的概率2,乙獲勝的概率為 1 3,求：解 1“ 甲獲勝 ” 和“ 和棋或乙獲勝 ” 是對立大事,所以 “ 甲獲勝 ” 的概率P11 21 31 6.2法一： 設大事 A 為“ 甲不輸 ” ,可看成是 “ 甲獲勝 ” “和棋” 這兩個互斥大事的并大事,所以 PA1 61 22 3.- 7 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第 3 章+3.1.4 概率的加法公式及答案法二： 設大事 A 為“ 甲不輸 ” ,可看成是 “ 乙獲勝 ” 的對立大事,所以 PA11 32

16、3. 1本節(jié)課的重點是明白大事間的包含關系和相等關系懂得互斥大事和對立 大事的概念及關系,難點是明白并利用兩個互斥大事的概率加法公式解題2本節(jié)課要把握以下幾方面的規(guī)律方法 1判定兩大事互斥、對立的兩個步驟2大事間運算的方法3用概率加法公式解題的步驟及求復雜大事概率的兩種方法3本節(jié)課的易錯點有兩個：1混淆互斥、對立大事概念致錯2分不清大事間的關系而錯用公式導致解題失誤1摸索辨析1互斥大事不肯定是對立大事 2大事 A、B 互斥,就有 PA1PB 3兩個大事的和大事的概率等于它們各自的概率之和答案1232從裝有 2 個紅球和 2 個黑球的口袋內任取 個大事是 A“ 至少有一個黑球” 與“ 都是黑球”

17、B“ 至少有一個黑球” 與“ 都是紅球”2 個球,那么互斥而不對立的兩C“ 至少 有一個黑球” 與“ 至少有一個紅球”D“ 恰有一個黑球” 與“ 恰有兩個黑球”DA 中的兩個大事是包含關系,不是互斥大事；B 中的兩個大事是對立事件；C 中的兩個大事都包含 “ 一個黑球一個紅球 ” 的大事,不是互斥關系； D 中的兩個大事是互斥而不對立的關系 - 8 - / 9 2022-2022 年人教 B 版數學必修三講義：第 3 章+3.1.4 概率的加法公式及答案3從 4 名男生和 2 名女生中任選 3 人去參與演講競賽,所選 3 人中至少有 1名女生的概率為4 5,那么所選 3 人中都是男生的概率為 _15 設 A3 人中至少有 1 名女生 ,B3 人都為男生 ,就 A,B 為對立事件,所以 PB1PA1 5. 4玻璃盒子里裝有各色球12 個,其中 5 紅球、 4 黑球、