中考數(shù)學(xué)幾何模型專題突破18講精講

1、中考解題策略之特殊角的妙用“12345模型”幾何圖形中經(jīng)常會出現(xiàn)一些特殊角，熟悉的有30、45、60等等，特殊角往往伴隨著固有屬性運(yùn)用于題目中，也是解題思路來源之一。比如看到30角我們會想到 ，45角總是跟等腰直角三角形說不清道不明，60甚至能牽出一只等邊三角形。關(guān)于特殊角，除了用角度表示，諸如15角的倍數(shù)，還可以用三角函數(shù)表示，只要最終的結(jié)果是：（1）好看；（2）好用，就可以將其歸為特殊角。一、從一道北京中考題說起2019北京中考第12題如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則PAB+PBA=_（點(diǎn)A、B、P是網(wǎng)格線交點(diǎn)）解法有很多，這里就根據(jù)現(xiàn)有的方格紙來構(gòu)造一下：PAB+PBA=BPQ=45這里的

2、PAB和PBA便是今天要說的特殊角，除了它們的和為45之外，用三角函數(shù)的觀點(diǎn)來看，tanPAB=1/2，tanPBA=1/3，這個正切值可以說很好看了。二、什么是“12345模型”？對于這里的數(shù)據(jù)，為了便于記憶，通常稱為“12345”模型。上文所舉的北京中考題已經(jīng)足夠說明這個結(jié)論，考慮到使用這個結(jié)論的多樣性，以下用3種方法給出證明：法一：方格紙中的構(gòu)造小學(xué)的時候我們可能就遇到過這樣一個題目：求1+2=_考慮1和2的正切值，這不正是剛剛所說的和嗎？構(gòu)造等角，將和組合到一起：根據(jù)這里的等腰直角ABC，可得1+2=45此外，模型還可變式為： 法二：熟悉的勾三股四弦五如圖，AC=4，BC=3，AB=5

3、，這個三角形我們再熟悉不過了。在這里：分別延長CB、CA可構(gòu)造構(gòu)造即可得此處我們還可得：法三：構(gòu)造矩形即便是處在分散的位置，也可以構(gòu)造別致的構(gòu)圖。此處我們還可得：題型1：已知45+尋、已知45+尋三、如何發(fā)掘題目中的“12345”模型？做題從來都不是靠題目告訴我什么，而是根據(jù)已知的信息，思考這里需要什么根據(jù)解析式可知：即可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出解析式。【分析】PAO=，APC=45，OPC=，OP=6，OA=12,m=12【2017無錫中考第18題】在如圖的正方形方格紙上，每個小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，AB與CD相交于O，則tanBOD的值等于_取點(diǎn)E如圖所示，則O

4、AE=，OEA=45，BOD=+45，tanBOD=3題型2：發(fā)掘潛在的2、2題型3：正方形中的角度構(gòu)造幾何變換之對稱折疊對稱，我們熟知的三大幾何變換之一，幾何題中往往都有它的身影，我們知道它很重要，但有時候可能并不清晰，關(guān)于對稱我們要了解什么本節(jié)課從基本性質(zhì)說起，到一些常見圖形的隱含結(jié)論，再到對稱的構(gòu)造 一、從性質(zhì)說起關(guān)于對稱的性質(zhì)，大概可以有以下三點(diǎn)，由于對稱前后的圖形是全等的，所以（1）對應(yīng)角相等；（2）對應(yīng)邊相等；（3）對稱點(diǎn)連線被對稱軸垂直且平分以上由對稱必然可以得到，選取恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)幫助解題，不僅要了解知識點(diǎn)，也要了解與其相關(guān)配套的條件與問題性質(zhì)一：對應(yīng)角相等 性質(zhì)二、對應(yīng)邊相等但凡

5、涉及到對稱，基本上都會用到對應(yīng)邊相等，很多內(nèi)容很難割裂分開，或許按知識點(diǎn)作題目分類值得商榷，但此處只需強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)：對應(yīng)邊相等在某些問題中是解題關(guān)鍵 性質(zhì)三：對稱點(diǎn)連線被對稱軸垂直且平分連接對稱點(diǎn)連線可得垂直，由垂直，或可得直角三角形，或可得三垂直全等或相似，或可用三角函數(shù)，但終可求線段長【小結(jié)】以上3個題均是從中點(diǎn)處折疊，連接對稱點(diǎn)，可得直角三角形 二、矩形的對稱涉及對稱的問題，以矩形對稱最多，變化形式多樣比如，可以按對角線折疊，對稱點(diǎn)可以落在矩形邊上，可以落在矩形內(nèi)部，也可以落在矩形外部，無論如何變化，解題工具無非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對稱下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)

6、鍵旋轉(zhuǎn)，是三大幾何變換中考察最多、難度最大的那個，平移、對稱從圖像觀察角度來說直接顯然，對應(yīng)的結(jié)論也很容易用到而旋轉(zhuǎn)，變換得到的圖形相對復(fù)雜些，有時候解題的突破口隱藏得更深，導(dǎo)致無從下手本篇將從基本的性質(zhì)開始，到一些常見的模型，最后說說關(guān)于構(gòu)造旋轉(zhuǎn)能給我們帶來什么，全方位了解旋轉(zhuǎn)在中考題中的考察一、旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)如下圖，將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度得到ADE性質(zhì)一：對應(yīng)邊相等結(jié)論：AB=AD，AC=AE補(bǔ)充：當(dāng)然還可以得到BC=DE，但這并沒有什么用，因?yàn)锽C與DE并沒有特殊位置關(guān)系性質(zhì)二：對應(yīng)角相等結(jié)論：B=D，C=E，BAC=DAE補(bǔ)充：如果不是特殊角，此性質(zhì)并沒有什么用，但由性質(zhì)二可以推性

7、質(zhì)三性質(zhì)三：旋轉(zhuǎn)角都相等結(jié)論：BAD =CAE =BFD補(bǔ)充：BAD =CAE易證，BAD=BFD 可用“8字”模型證明：BAD +B =BFD +D，且B=D，BAD =BFD且第三組對應(yīng)邊往往用得最多【分析】已知角度，必可求出DEC的度數(shù)，且應(yīng)該是個特殊角由題意得：EAC=70，AEC=ACE=55，又EAD=CAB=55，CAD=15，ACE+CAD=ADE+DEC，DEC=45，tanDEC=1半角模型1. 90+45模型如圖，在正方形ABCD中，E、F分別在BC、CD上，且EAF=45連接EF【兩個基本結(jié)論】結(jié)論1：EF=BE+DF證明：延長CD至點(diǎn)G使得DG=BE【截長】 易證：A

8、BEADG（SAS） AE=AG，GAF=45 易證：AFEAFG（SAS） EF=GF綜上：EF=GF=GD+DF=BE+DF若E、F分別在CB、DC延長線上時，結(jié)論變?yōu)椋篍F=DF-BE證明：在DC上取點(diǎn)G使得DG=BE【補(bǔ)短】易證：ABEADG（SAS） AE=AG，GAF=45易證：AEFAGF（SAS） EF=GF綜上：EF=GF=DF-DG=DF-BE【小結(jié)】截長、補(bǔ)短只是形式，關(guān)鍵點(diǎn)在于已知半角的情況下，構(gòu)造相應(yīng)的另一個半角此處通過旋轉(zhuǎn)，想要將一個圖形毫無違和地旋轉(zhuǎn)到另一位置，需要：鄰邊相等，對角互補(bǔ)正方形可滿足一切你所想【思考】對于以上9個結(jié)論，在正方形中，有哪些作為條件能推出

9、EAF=45的？【小結(jié)】從結(jié)論5開始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作為題型出現(xiàn)，了解下圖形的更多性質(zhì)有時候能幫上大忙在這里除了給的EAF=45外，正方形對角線也會形成其他45角，多組相等角總能撞出些火花2. 120+60模型（1）如圖，ABC是等邊三角形，BD=CD且BDC=120，E、F在直線AB、AC上且EDF=60結(jié)論：EF=BE+CF（2）若點(diǎn)F在AC的延長線上，EF、BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系？【分析】半角模型根據(jù)半角模型結(jié)論可知EF=AE+CF，EDF的周長等于DA+DC=4，故EDF的周長為4從全等到相似在手拉手模型中，我們可以看成是兩個相似的等腰三角形作共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，由等腰

10、條件可得一組全等三角形若ABC與ADE非等腰，則可得到旋轉(zhuǎn)型相似，取直角三角形為例如圖，RtABCRtADE，連接BD、CE，可得：ADBAEC，（利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）且旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)角都相等依然成立，如下右圖，BAD=EAC=EFB三垂直模型同樣作為模型，但“三垂直”的定位和“手拉手”并不相同，“手拉手”本身可以作為問題，而“三垂直”更多地作為一種方法來運(yùn)用，因而我們要了解的側(cè)重點(diǎn)也會有所調(diào)整，依然三個問題：（1）三垂直模型的構(gòu)成；（2）什么條件下考慮構(gòu)造三垂直（3）構(gòu)造三垂直能帶來什么；問題二：什么條件下考慮構(gòu)造三垂直？根據(jù)問題一的分析已經(jīng)很明顯了，可以沒有等腰，但需要有直角，

11、當(dāng)然如果是等腰直角那就再好不過了那看到有直角就考慮構(gòu)造三垂直？當(dāng)然也不是，起碼問題得和直角相關(guān)，并且這個直角是斜著的問題三：構(gòu)造三垂直能帶來什么？這其實(shí)本身不應(yīng)該是一個問題，而是對前文的思考三垂直是如何幫助我們解決問題的？構(gòu)造三垂直全等，一方面可以得到相等線段，在幾何圖形中作等量代換另外在坐標(biāo)系中構(gòu)造三垂直全等，可實(shí)現(xiàn)“化斜為直”，用水平或豎直線段刻畫圖中的點(diǎn)與線，會更方便計(jì)算更多內(nèi)容見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感中物理手拉手模型不知是哪一年，手拉手模型橫空出世，從此江湖上都是它的傳說，那關(guān)于手拉手，我們需要了解什么？我覺得有三點(diǎn)：（1）構(gòu)成模型的必要條件；（2）條件與結(jié)論如何設(shè)計(jì)；（3）如何構(gòu)造手

12、拉手問題一：構(gòu)成手拉手的必要條件當(dāng)對一個幾何圖形記憶并不深刻的時候，可以嘗試用文字取總結(jié)要點(diǎn)，比如手拉手：四點(diǎn)共線，兩兩相等，夾角相等條件：如圖，OA=OB，OC=OD（四線共點(diǎn)，兩兩相等），AOB=COD（夾角相等）結(jié)論：OACOBD（SAS）證明無需贅述，關(guān)于條件中的OA=OB，OC=OD，有時候會直接以特殊幾何圖形的形式給出，比如我們都很熟悉的等邊三角形和正方形構(gòu)造旋轉(zhuǎn)-托勒密定理的應(yīng)用相似模型大合集1“A”字型2“X”字型3雙“A”型與雙“X”型4.反“A”字型5.反“X”字型6雙垂直模型7射影定理8一線三等角模型9三角形內(nèi)接正方形10.三平行模型11線束定理正方形與對稱、旋轉(zhuǎn) 正方形

13、是一種既簡單又復(fù)雜的圖形，其圖形本身很基本、簡單，因而在此基礎(chǔ)上可以作很多復(fù)雜的變形與構(gòu)造，我們所知的幾何內(nèi)容，一個都不缺本專題以近兩年中考題為例，簡單了解關(guān)于正方形在中考題中的應(yīng)用一、正方形與對稱正方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，關(guān)于對稱可以考察對稱的基本性質(zhì)，也可以有關(guān)于構(gòu)造對稱，而涉及到計(jì)算的，無非就是勾股或者三角函數(shù)當(dāng)半角遇到三垂直在旋轉(zhuǎn)專題中關(guān)于“半角模型”與“三垂直模型”知識點(diǎn)已經(jīng)有所介紹，學(xué)習(xí)模型，大概有這樣的不同階段：1、認(rèn)識模型了解模型的基本條件及基本結(jié)論；2、理解模型理解模型的構(gòu)造，靈活變換條件與結(jié)論，以及條件的弱化和結(jié)論的拓展；3、構(gòu)造模型結(jié)合已知條件與相關(guān)模型，添加輔助線構(gòu)造模型解決問題以幾個題目來練習(xí)