題型分類突破理科Y版模塊一

1、模塊一函數(shù)與導數(shù)考查角度1函數(shù)的性質(zhì)及其應用(見學生用書P5)分類透析1函數(shù)性質(zhì)的判斷例1 (1)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在(0,1)上單調(diào)遞增的是().A.y=|log3x|B.y=x3C.y=e|x|D.y=cos|x|(2)(2020年河北張家口模擬)已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),f(x+1)為奇函數(shù),并且當x1,2時,f(x)=1-|x-2|,則下列選項正確的是().A.f(x)在(-3,-2)上為減函數(shù),且f(x)0B.f(x)在(-3,-2)上為減函數(shù),且f(x)0D.f(x)在(-3,-2)上為增函數(shù),且f(x)0,所以f(x)在(-3,-2)上為增函數(shù),且f(x)0.小結(jié) 函數(shù)的

2、單調(diào)性常通過借助導數(shù)法和基本函數(shù)的單調(diào)性進行判斷;奇偶性的判斷一般用定義法和圖象法;周期性的判斷往往靠定義來推導,三角函數(shù)的周期性直接利用公式來判斷.分類透析2利用函數(shù)的性質(zhì)求值(或解不等式)例2 (1)函數(shù)y=f(x)對任意xR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,f(1)=4,則f(2016)+f(2017)+f(2018)的值為.(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在1,+)上單調(diào)遞減,且f(x+1)是偶函數(shù),不等式f(m+2)f(x-1)對任意的x-1,0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是().A.-3,1B.-4,2C.(-,-31,+)D.(-

3、,-42,+)答案 (1)4(2)A解析 (1)因為函數(shù)y=f(x-1)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱,所以函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,所以f(x)是R上的奇函數(shù).又f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.所以f(2017)=f(5044+1)=f(1)=4,所以f(2016)+f(2018)=-f(2014)+f(2014+4)=-f(2014)+f(2014)=0,所以f(2016)+f(2017)+f(2018)=4.(2)因為f(x+1)是偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,

4、又因為f(x)在1,+)上單調(diào)遞減,所以由f(m+2)f(x-1)得|(m+2)-1|(x-1)-1|,即|m+1|x-2|在x-1,0上恒成立,所以|m+1|x-2|min,所以|m+1|2,解得-3m1.小結(jié) 求值的關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性、對稱性以及函數(shù)的周期性將自變量轉(zhuǎn)化到指定區(qū)間內(nèi),然后代入函數(shù)解析式求值;解不等式主要是利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系求解.分類透析3利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小例3 (1)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且在0,1上是減函數(shù),則有().A.f32f-1B.f14f-1C.f32f14D.f-14f3(

5、2)已知a=3525,b=2535,c=2A.abcB.cbaC.cabD.bca答案 (1)C(2)D解析 (1)由題設(shè)知f(x)=-f(x-2)=f(2-x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于坐標原點對稱,由于函數(shù)f(x)在0,1上是減函數(shù),所以f(x)在-1,0上也是減函數(shù).綜上,函數(shù)f(x)在-1,1上是減函數(shù).又f32=f2-32=f12,-14所以f12f1425,所以b25小結(jié) 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小的常見兩種解決方法:先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決;利用指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì),并借助中間量,進行比較.分類透

6、析4分段函數(shù)的應用例4 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=cosx,x0,f(2)設(shè)f(x)=(x-a)2,x0,x+1x+a,x0,若fA.-1,2B.-1,0C.1,2D.0,2答案 (1)-92(2)解析 (1)由f(x)的解析式可知,f-103=f-73-1=f-43-2=f-13-3=f23-4,而f23=cos (2)因為當x0時,f(x)=(x-a)2,f(0)是f(x)的最小值,所以a0.當x0時,f(x)=x+1x+a2+a,當且僅當x=1時等號成立,要滿足f(0)是f(x)的最小值,則2+af(0)=a2,即a2-a-20,解得-1a2,所以實數(shù)a的取值范圍是0,2.故選小結(jié) 求分段函

7、數(shù)的函數(shù)值時,要先確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間,然后代入該區(qū)間對應的解析式求值;分段函數(shù)的最值分段求,取其最大或最小者.(見學生用書P6)1.(2020年全國卷,理T12改編)若2a+log2a=8b+3log8b,則().A.a3bB.ab3D.ab3答案 B解析 2a+log2a=8b+3log8b=23b+log2b.因為23b+log2b23b+log23b,所以2a+log2a23b+log23b,令f(x)=2x+log2x,易知f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增,且f(a)f(3b),故a3-x-3-y,則().A.ln|x-y|0B.ln|x-y|0D.ln(x-y+1)3-x-

8、3-y,得2x-3-x2y-3-y.令f(t)=2t-3-t,y=2x為R上的增函數(shù),y=-3-x為R上的增函數(shù),f(t)為R上的增函數(shù),xy,x-y0,x-y+11,ln(x-y+1)0,則C正確,D錯誤.|x-y|與1的大小關(guān)系不確定,A,B不正確.故選C.4.(2020年全國卷,理T4改編)Logistic模型是常用數(shù)學模型之一,可應用于流行病學領(lǐng)城.有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K為最大確診病例數(shù).當t*為63時,已初步遏制疫情,則I(t*)約為().(e-2.3A.0.

9、91KB.0.93KC.0.94KD.0.95K 答案 A解析 I(t)=K1+I(t*)=K1+e-0.23(t*-53)=K1+5.(2020年全國卷,理T12改編)設(shè)a=log35,b=log85,c=log83,則().A.cbaB.bacC.bcaD.calog33=1,c=log83b=log85bc.6. (2020年全國新高考卷,T6改編)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化

10、規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),某地在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)僅僅9天的時間就增加為原來的32倍,據(jù)此可以估計該地世代間隔T是().(ln 20.69)A.3天B.4天C.5天D.6天答案 D解析 由題意可得er(t+9)=32ert,所以e9r=32,所以r=19ln 32=59ln 20.又因為R0=1+rT,即3.28=1+0.38T,解得T=6,所以可以估計該地世代間隔T是6天.7.(2020年全國新高考卷,T8改編)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足f(x-1

11、)ln(x2-x-1)0的x的取值范圍是().A.(-,1)1+B.-,1-5C.-,1-522D.-,1-522答案 D解析 因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,且f(2)=0,所以f(x)在(0,+)上也是單調(diào)遞減的,且f(-2)=0,f(0)=0,所以當x(-,-2)(0,2)時,f(x)0,當x(-2,0)(2,+)時,f(x)0.由f(x-1)ln(x2-x-1)0可得f(x所以x或-2解得x-1或2x3或-1x0,b0,且ab=1,則下列結(jié)論不成立的是().A.1a+1b2B.2a+2bC.a5+b52D.(a-1)(b-1)0答案 B解析 由均值不等式可得1a+

12、1b21ab=2,故2a+2b22a2b=22a+b222ab=4,當且僅當a=b=a5+b5=a5+1a52a51a5因為a+b2ab=2,所以(a-1)(b-1)=2-(a+b)0,故D正確.(見學生用書P6)1.(2020年呂梁模擬)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在其定義域上單調(diào)遞增的是().A.f(x)=x+1B.f(x)=ex-e-xC.f(x)=xsin xD.f(x)=ln(1-x)-ln(1+x)答案 B解析 f(x)=xsin x為偶函數(shù),排除C;f(x)=x+1x在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增,排除A;f(x)=ln(1-x)-ln(1+x)在(-1,1)內(nèi)為減

13、函數(shù),排除D.故選2.(2020年濟南一中月考)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx是定義在a-1,2a上的偶函數(shù),那么a+b的值是().A.-13B.13C.12答案 B解析 由題意得b=0,且2a=-(a-1),解得a=13,則a+b=13.(2020年北京模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=2x的圖象關(guān)于x軸對稱,則f(x)=().A.-2xB.2-xC.-log2xD.log2x答案 A解析 設(shè)點(x,y)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點,則點(x,-y)在函數(shù)y=2x的圖象上,所以-y=2x,即y=-2x,所以f(x)=-2x.4.(2020年福建三明模擬)若x1e,1,a=ln x,b=

14、12lnx,c=eln x,則a,b,cA.cbaB.bcaC.abcD.bac答案 B解析 x1e,1,a=ln x1,c=eln x=x5.(2020年山東臨沂模擬)已知函數(shù)f(x)=(3a-1)x+4a,x1,ax,A.(0,1)B.0,C.16,1答案 C解析 由分段函數(shù)為減函數(shù)可知3a-10,0a1,(3a-1)+4a6.(2020年云南曲靖模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-ax,x0,axA.-1B.1C.0D.1答案 A解析 由題意,得f(-x)=-f(x),則f(-1)=-f(1),即1+a=-a-1,得a=-1.7.(2020年河北邯鄲模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2x,x0,x

15、2-2x,x0,若f(-a)+f(a)A.-1,0)B.0,1C.-1,1D.-2,2 答案 C解析 通過作圖可發(fā)現(xiàn)f(x)為偶函數(shù),所以f(-a)=f(a),所解不等式變?yōu)閒(a)f(1),再由圖象可得|a|1,即-1a1.8.(2020年廣西南寧模擬)已知0ba1,則ab,ba,aa,bb中最大的是().A.baB.aaC.abD.bb答案 C解析 0baaa,bbba.又y=xb在(0,+)上單調(diào)遞增,abbb.綜上,ab最大.9.(2020年甘肅省第二次診斷考試)定義在R上的函數(shù)f(x)在(-,1上單調(diào)遞減,且f(x+1)是偶函數(shù),則使f(2x-1)f(3)成立的x的取值范圍是().A

16、.(1,+)B.(-,0)(2,+)C.(0,1)D.(-,0)答案 B解析 因為函數(shù)f(x)在(-,1上單調(diào)遞減,且f(x+1)是偶函數(shù),所以y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,且f(x)在1,+)上單調(diào)遞增,所以若f(2x-1)f(3),則需滿足2x-13,解得x2.10.(2020年大連模擬)已知函數(shù)f(x)對任意xR滿足f(x+2)=f(-x),f(x+1)=f(x)f(x+2),且f(x)0,若f(1)=4,則f(2019)+f(2020)=().A.34B.2C.52答案 A解析 因為f(x+1)=f(x)f(x+2),所以f(x+2)=f(x+1)f(x+3),又f(x)0,故

17、f(x+3)=1f(x),即f(x+6)所以函數(shù)f(x)的周期為6.由已知可得,當x=0時,f(2)=f(0),f(1)=f(0)f(2),又f(x)0,所以f(2)=f(0)=2,并且f(3)=12,f(4)=1所以f(2019)+f(2020)=f(3)+f(4)=12+14=11.(2020年遼寧模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足對任意的x1,x20,+)且x1x2,有f(x2)-f(x1)(x2-x1)0,則().A.f(0.3-1)f(2-0.3)f(log20.2)B.f(log20.2)f(2-0.3)f(0.3-1)C.f(log20.2)f(0.3-1)f(2-0.3)D.

18、f(0.3-1)f(log20.2)f(2-0.3)答案 D解析 因為對任意的x1,x20,+),有f(x2)-f(x1)(x2-x1)3,02-0.320=1,2=log24log25log28=3,函數(shù)f(x)在0,+)上單調(diào)遞減所以有f(0.3-1)f(log25)f(2-0.3)成立,即f(0.3-1)f(log20.2)0時,f(x)=3-2x,則不等式f(x)0的解集為.答案 -,-32解析 根據(jù)題意,f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=3-2x,則其圖象如圖所示.則不等式f(x)0的解集為-,-3215.(2020年貴州模擬)函數(shù)f(x)=2x1+2x+1(x答案

19、1解析 f(x)=2x1+2x+1=x0,-x0,02-x1,22+2-x3,則13f(x)1,若存在x1,x2R且x1x2,使得f(x1)答案 (-,3)解析 當a21,即a3a-7,解得a3,所以2ab)的大致圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=ax+b的大致圖象是().答案 (1)A(2)A解析 (1)f(x)=x2(ex-e-x),f(-x)=(-x)2(e-x-ex)=-x2(ex-e-x)=-f(x),f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,故排除B,D.當x+時,f(x)+,故排除C.故選A.(2)由函數(shù)f(x)的大致圖象可知3a4,-1b0,所以g(x)的圖象是由y=ax(3a4)的圖

20、象向下平移-b(0-b1)個單位長度得到的,其大致圖象應為選項A中的圖象,故選A.小結(jié) (1)抓住函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性),定性分析.(2)抓住函數(shù)的特征,定量計算,利用特征點、特殊值的計算來分析解決問題.(3)函數(shù)模型法:由題目提供的圖象特征,聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型,利用這個函數(shù)模型來分析解決問題.分類透析2利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例2 (1)已知函數(shù)f(x)=2xx-1,則下列結(jié)論正確的是(A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱B.函數(shù)f(x)在(-,1)上單調(diào)遞增C.函數(shù)f(x)的圖象上至少存在兩點A,B,使得直線AB與x軸平行D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱(

21、2)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,規(guī)定:當|f(x)|g(x)時,h(x)=|f(x)|;當|f(x)|g(x)時,h(x)=-g(x).則h(x)().A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,無最小值C.有最小值-1,無最大值D.有最大值-1,無最小值答案 (1)A(2)C解析 (1)因為y=2xx-1=2(x-1)+2x-1=2x-1+2,所以該函數(shù)圖象可以由y=2x的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移2個單位長度得到,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,2)中心對稱,A正確,D錯誤;易知函數(shù)f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,故B錯誤;易知函數(shù)f(x)的圖象是由y=2x的圖象

22、平移得到的,所以不存在兩點A,B使得直線(2)如圖,畫出y=|f(x)|=|2x-1|與y=g(x)=1-x2的圖象,它們交于A,B兩點.由題意,在A,B兩側(cè),|f(x)|g(x),故h(x)=|f(x)|;在A,B之間,|f(x)|yzB.xzyC.zxyD.zyx答案 (1)-1,+)(2)D解析 (1)如圖,畫出函數(shù)f(x)=|x+a|與g(x)=x-1的圖象,觀察圖象可知,當且僅當-a1,即a-1時,不等式f(x)g(x)恒成立,因此a的取值范圍是-1,+).(2)設(shè)ln x=ey=1z=k,k0,則x=ek,y=ln k,z=1k,畫出函數(shù)圖象,如圖所示,當k=x1時,zxy;當k=

23、x2時,xzy;當k=x3時,xyz.故選小結(jié) 利用函數(shù)圖象的直觀性求解相關(guān)問題,關(guān)鍵在于準確作出函數(shù)圖象,根據(jù)函數(shù)解析式的特征和圖象的直觀性確定函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),特別是函數(shù)圖象的對稱性,然后解決相關(guān)問題.(見學生用書P9)1.(2020年全國卷,理T16改編)關(guān)于函數(shù)f(x)=cos x+1cosxf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;f(x)的圖象關(guān)于原點對稱;f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號是.答案 解析 因為函數(shù)f(x)的定義域為xx2+k,kZ,定義域關(guān)于原點對稱,f(-x)=cos(-x)+1cos(-x)=cos x+1cosx=f(x),所以函數(shù)f

24、(x因為f2-x=cos2-x+1cos2-x=sin x+1sinx,f2+x=cos2+x+1cos2+x當-x-2時,cos x0,則f(x)=cos x+1cosx00時,f(x)0,3.(2019年全國卷,理T12改編)已知函數(shù)f(x)滿足:定義域為R;對任意xR,有f(x+2)=2f(x);當x-1,1時,f(x)=1-x2.若函數(shù)g(x)=ex,x0,lnx,x0,則函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象在區(qū)間A.7B.8C.9D.10答案 D解析 在同一坐標系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=g(x)的圖象,如圖所示.當x0時,函數(shù)y=f(x)與y=ex的圖象有6個

25、交點;當x0時,函數(shù)y=f(x)與y=ln x的圖象有4個交點.故選D.(見學生用書P9)1.(2020年山西太原第三次模擬)函數(shù)f(x)=x2-1|x|答案 D解析 由題意,函數(shù)f(x)=x2-1|x|,可得f(-x)=(-x即f(-x)=f(x),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,排除B,C;當x0時,f(x)=x2-1x=x-1x,則f(x)=1+所以函數(shù)f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,排除A,故選D.2.(2020年寧夏六盤山調(diào)研)函數(shù)y=ax-1a(a0,且a1)的圖象可能是()答案 D解析 a0,1a0,函數(shù)y=ax的圖象需向下平移1a個單位長度,函數(shù)圖象不過點(0,1

26、),排除A;當a1時,01a1,排除B;當0a1,排除C3.(2020年安徽淮北模擬)函數(shù)f(x)=x+1|x+1|loga|x|(0a0時,f(x)=e|x|x0,D6.(2020年山東濟南模擬)已知函數(shù)f(x)=-x2+2x-1,x1,|x-1|,x1,若f(a2-4)A.(-4,1)B.(-,-4)(1,+)C.(-1,4)D.(-,-1)(4,+)答案 D解析 f(x)=-=-畫出函數(shù)f(x)的圖象,如圖所示,根據(jù)圖象知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,由f(a2-4)f(3a),可知a2-43a,解得a4或a-1.故選D.7.(2020年湖南湘潭第三次模擬)函數(shù)y=(|x|-1)ln|x|

27、的圖象大致為().答案 C解析 易知函數(shù)y=(|x|-1)ln|x|為偶函數(shù),排除A選項;當0 x1時,ln |x|0,|x|-10,排除B選項;當x1時,y=(x-1)ln x,y=ln x+x-1x0,所以函數(shù)y=(|x|-1)ln |x|在(1,+)上單調(diào)遞增,排除D選項.8.(2020年大連模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導,其導數(shù)為f(x),且函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值,則函數(shù)y=xf(x)的圖象可能是().答案 D解析 由題意,在x=-1左側(cè)(靠近-1的左邊),f(x)0,故xf(x)0;在x=-1右側(cè)(靠近-1的右邊),f(x)0.故選D.9.(2020年錦州模擬)函數(shù)f(x

28、)=21+ex-1sin x的大致圖象是答案 C解析 f(x)=21+ex-1sin f(-x)=21+1ex=-2exex+1-1sin=-2-2ex+1-1sin x=2ex所以f(x)為偶函數(shù),故排除B,D.f(1)=21+e-1sin 1010.(2020年河北邯鄲模擬)當x(1,2)時,不等式(x-1)21.如圖,在同一坐標系內(nèi)作出y=(x-1)2,x(1,2)及y=loga x,x(1,2)的圖象.若y=loga x的圖象過點(2,1),則loga 2=1,所以a=2.根據(jù)題意,函數(shù)y=loga x,x(1,2)的圖象恒在y=(x-1)2,x(1,2)的上方.結(jié)合圖象,可得實數(shù)a的

29、取值范圍是(1,2.11.(2020年山東濱州模擬)函數(shù)y=x2ln|x|答案 D解析 令f(x)=x2ln|x|x|,則f(-x所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,故B不正確;當x0時,f(x)=x2lnxx=xln x,f(x)=1+由f(x)0,得x1e,由f(x)0,得0 x0且a1)的圖象恒過定點P,且點P在函數(shù)g(x)=x的圖象上,則=.答案 2解析 令2x-3=1,得x=2,此時f(2)=4,函數(shù)f(x)=4+loga(2x-3)(a0且a1)的圖象恒過定點(2,4),即P的坐標為(2,4),又點P在函數(shù)g(x)=x的圖象上,2=4,=2.13.(2020年河北邯鄲期末

30、)若函數(shù)f(x)=ax+b,x0,2ln(-x),x1)恰有3個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(1,2B.(2,4C.(4,16D.(4,256答案 (1)log213,解析 (1)令F(x)=0,即g(x)-f(x)-m=0,所以m=g(x)-f(x)=log2(2x-1)-log2(2x+1)=log2 2x-12x+1因為1x2,所以32x+15.所以2522x+123,13所以log2 13log21-22x+1log2 35,即log2 13所以實數(shù)m的取值范圍是log(2)函數(shù)g(x)=f(x)-logax(a1)恰有3個零點,即函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=logax(a1)的

31、圖象有3個交點,由圖可知loga212,小結(jié) 求參數(shù)的方法:(1)分離參數(shù)法,先將參數(shù)分離,將原問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題,再加以解決;(2)數(shù)形結(jié)合法,將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,將參數(shù)轉(zhuǎn)化為有幾何意義的變量.分類透析3利用數(shù)形結(jié)合研究多個零點(或方程的根)之間的關(guān)系例3 (1)已知函數(shù)f(x)=|2x+1|,x1,若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),且x1+x(2)已知函數(shù)f(x)=lgx,x1,-lg(2-x),x1,g(x)=x3,則方程f(x)=gA.1B.2C.3D.4答案 (1)1(2)C解析 (1)作出f(x)的圖象,如圖所示,可令x1

32、x2x3,則由圖知點(x1,0),(x2,0)關(guān)于直線x=-12對稱,x1+x2=-1.又1x1+x2+x38,2x30,x+1,x0,若函數(shù)y=f(x)-a答案 -1,0)(0,1解析 由題意,作出函數(shù)f(x)=|lnx|,x0,x+1,x0的圖象如圖所示.因為函數(shù)y=f(x)-a2有三個零點,所以關(guān)于x的方程f(x)-a2=0有三個不相等的實數(shù)根,即函數(shù)f(x)的圖象與直線y=a2有三個交點.由圖象可得0a21,解得-12.(2018年天津卷,理T14改編)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-5x+6,x0,4x+4,x0,答案 11解析 因為方程f(x)=x+a有三個不同的實數(shù)根,所以y=a和y=f(

33、x)-x的圖象有三個交點.又a=f(x)-x=x2-6x+6,x0,3x+4,x0,在同一直角坐標系中畫出函數(shù)y=a和y=f(x)-x的圖象,如圖所示.設(shè)三個交點分別為x1,x2,x3,且滿足x1x2x3.結(jié)合圖象可知-3a4,故3x1+4(-3,4),即x1-73,0.根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性得到x2+x3.(2019年江蘇卷,T14改編)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),f(x)=-x2+1,-1x1,-|x-2|+1,10,得a8+215或a8-215,分析可知0a1,即a16.綜上所述,16a8-215,故選(見學生用書P12)1.(2020年河北保定檢測)函數(shù)f

34、(x)=x-412x的零點所在的區(qū)間是(A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案 B解析 函數(shù)f(x)=x-412x在R上單調(diào)遞增且其圖象連續(xù)不間斷.又f(1)=1-20,所以f(1)f(2)0.故函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,22.(2020年河南許昌期末)函數(shù)f(x)=x2-ax+1在區(qū)間12,3上有零點,則實數(shù)a的取值范圍是(A.(2,+)B.2,+)C.2,52答案 D解析 由題意知關(guān)于x的方程ax=x2+1在12,3上有解,即a=x+1x在12,3上有解,設(shè)t=x+1x,x12,3,則t3.(2020年甘肅天水模擬)函數(shù)f(x)=x3-x2-4x的一個零點所

35、在的區(qū)間為().A.(-2,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案 A解析 f(x)=x3-x2-4x=x(x2-x-4),令g(x)=x2-x-4,則g(-2)=2,g(-1)=-2,g(0)=-4,g(1)=-4,g(2)=-2.又函數(shù)g(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且g(-2)g(0)=2(-4)=-8b,cd.若f(x)=2020+(x-a)(x-b)的零點為c,d,則下列不等式正確的是().A.acdbB.abcdC.cdabD.cabd答案 A解析 根據(jù)題意,設(shè)g(x)=(x-a)(x-b),則f(x)=g(x)+2020,令g(x)=0,則x=a或x=b,則函數(shù)

36、g(x)的圖象與x軸的交點為(a,0)和(b,0),如圖.令f(x)=2020+(x-a)(x-b)=0,即g(x)=-2020,因為f(x)=2020+(x-a)(x-b)的零點為c,d,所以g(x)的圖象與直線y=-2020的交點為(c,-2020)和(d,-2020),則有acdb.5.(2020年甘肅高三第二次診斷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x0時,f(x)=lg x,則函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為().A.4B.3C.2D.1答案 B解析 由奇函數(shù)的定義可知,當定義域為R時,f(0)=0.當x0時,f(x)=lg x,由f(x)=lg x單調(diào)遞增且f(1)=lg 1=0可知,當

37、x0時,f(x)有1個零點,根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知,當x0),y=ln x(x0)的圖象,如圖所示.由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為2.7.(2020年湖北武漢模擬)函數(shù)f(x)=ex|ln x|-2的零點個數(shù)為().A.1B.2C.3D.4答案 B解析 函數(shù)f(x)=ex|ln x|-2的零點個數(shù)可以轉(zhuǎn)化為方程|ln x|=2ex在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=|ln x|,y=2ex的圖象,如圖所示,根據(jù)圖象可得有兩個交點,8.(2020年山東德州期末)已知函數(shù)f(x)=2x+x+1,g(x)=log2x+x+1,h(x)=log2x-1的零點依次為a,b,c,則().A.abc

38、B.acbC.bcaD.bac答案 A解析 令函數(shù)f(x)=2x+x+1=0,可知x0,即a0;令g(x)=log2x+x+1=0,則0 x1,即0b1;令h(x)=log2x-1=0,可知x=2,即c=2.顯然abc.9.(2020年廣東梅州質(zhì)檢)在平面直角坐標系xOy中,如果相異兩點A(a,b),B(-a,-b)都在函數(shù)y=f(x)的圖象上,那么稱A,B為函數(shù)f(x)的一對關(guān)于原點成中心對稱的點對(A,B與B,A為同一對).函數(shù)f(x)=sin2x,xA.1對B.2對C.3對D.4對答案 C解析 若f(x)=sin2則y=log6x的圖象與y=sin 2x,x0關(guān)于原點對稱的圖象有交點畫出

39、y=log6x,y=-sin-2x,x0的圖象由圖象可知,兩函數(shù)圖象有3個交點,從而f(x)的圖象上關(guān)于原點成中心對稱的點對有3對.10.(2020年福建寧德模擬)已知函數(shù)f(x)=log2x,0 xa,x2-2x+1,xa,若存在實數(shù)mA.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(0,1)(1,2)答案 D解析 畫出函數(shù)y=log2x和函數(shù)y=x2-2x+1的圖象,如圖所示:兩個函數(shù)圖象有兩個交點,坐標為(1,0)和(2,1),存在實數(shù)m,使得方程f(x)-m=0有兩個不相等的實數(shù)根,觀察圖象可知,當0a1時,符合題意;當1a0)的最小值為8,則實數(shù)a所在的區(qū)間是().A.(5,6)B.(

40、7,8)C.(8,9)D.(9,10)答案 A解析 f(x)在0,+)上是增函數(shù),在(-,0)上是減函數(shù),f(x)min=f(0)=a+log2a=8.令g(a)=a+log2a-8,a0.則g(5)=log25-30,又g(a)在(0,+)上是增函數(shù),實數(shù)a所在的區(qū)間為(5,6).12.(2020年河北邢臺模擬)函數(shù)f(x)=|lg x2|+x2-2|x|的零點個數(shù)為().A.2B.3C.4D.6答案 C解析 設(shè)g(x)=|lg x2|,h(x)=-x2+2|x|(x0),顯然g(x),h(x)都是定義在(-,0)(0,+)的偶函數(shù).當x0時,g(x)=|2lg x|,h(x)=-x2+2x

41、,畫出兩函數(shù)的圖象,如圖所示.故當x0時,兩個函數(shù)的圖象一共有2個交點,根據(jù)對稱性可得,當x0時,兩個函數(shù)的圖象也有2個交點,所以g(x)=|lg x2|與h(x)=-x2+2|x|(x0)的圖象一共有4個交點,即函數(shù)f(x)=|lg x2|+x2-2|x|的零點的個數(shù)為4.13.(2020年廣西玉林模擬)函數(shù)f(x)=3x-7+ln x的零點位于區(qū)間(n,n+1)(nN)內(nèi),則n=.答案 2解析 由于f(1)=-40,f(2)=ln 2-10,即f(2)f(3)0,所以f(x)在(2,3)內(nèi)存在零點,又f(x)在(0,+)上為增函數(shù),所以f(x)在定義域內(nèi)有且只有一個零點.故n=2.14.(

42、2020年山東濟南質(zhì)檢)若x1是方程xex=1的解,x2是方程xln x=1的解,則x1x2等于.答案 1解析 x1,x2分別是函數(shù)y=ex,函數(shù)y=ln x與函數(shù)y=1x的圖象的交點A,B的橫坐標,所以Ax1,1x1,Bx2,1x2,而這兩點關(guān)于直線15.(2020年貴州五校調(diào)研)若方程log12(a-2x)=2+x有解,則a的最小值為答案 1解析 若方程log12(a-2x)=2+x有解,則122+x=a-2x有解,即1412x+2x=a有解.因為141考查角度4導數(shù)的簡單應用(見學生用書P13)分類透析1導數(shù)的幾何意義例1 (1)(2020年安徽皖南八校三模)已知f(x)=2f(-x)+

43、x2+3x,則函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1)處的切線方程為().A.y=-x+1B.y=x+1C.y=-x-1D.y=x-1(2)曲線y=ln(2x-1)上的點到直線2x-y+8=0的最短距離是.答案 (1)A(2) 25解析 (1)f(x)=2f(-x)+x2+3x,f(-x)=2f(x)+x2-3x.f(x)=x-x2,f(1)=0,f(x)=1-2x,f(1)=-1.f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y=-x+1.(2)設(shè)M(x0,ln(2x0-1)為曲線上的任意一點,則當曲線在點M處的切線與直線2x-y+8=0平行時,點M到直線的距離即為曲線y=ln(2x-1)上的點到直線

44、2x-y+8=0的最短距離.y=22x-1,22x0-1=2,解得x0=1,M(1,0).記點M到直線2x-y+8=0的距離為d,小結(jié) (1)求切點坐標,其思路是先求函數(shù)的導數(shù),然后讓導數(shù)值等于切線的斜率,從而得出切線方程并求出切點坐標;(2)求曲線上一點到直線的距離的最值,一般用“平移法”作直線的平行線直至和曲線相切,切點即為滿足條件的點.分類透析2利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性例2 (1)(2020年北京模擬)已知函數(shù)f(x)=sin 2x+4cos x-ax在R上單調(diào)遞減,則實數(shù)a的取值范圍是().A.0,3B.3,+)C.(3,+)D.0,+)(2)已知f(x)是定義在(0,+)內(nèi)的函數(shù),其

45、導函數(shù)為f(x),且不等式xf(x)2f(x)恒成立,則().A.4f(1)f(2)C.f(1)4f(2)答案 (1)B(2)B解析 (1)f(x)=2cos 2x-4sin x-a=2(1-2sin2x)-4sin x-a=-4sin2x-4sin x+2-a=-(2sin x+1)2+3-a.由題設(shè),f(x)0在R上恒成立.因此a3-(2sin x+1)2恒成立,則a3.(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)x則g(x)=x2f(x)-2所以函數(shù)g(x)在(0,+)上為減函數(shù),因此g(1)g(2),即f(1)12f(2)22,所以4f(1小結(jié) (1)已知函數(shù)的單調(diào)性,求參數(shù)的取值范圍, 一般可用不

46、等式恒成立的理論求解,應注意參數(shù)的取值是f(x)不恒等于0的參數(shù)的范圍.如果能分離參數(shù),那么盡可能分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系.(2)利用導數(shù)比較大小或解不等式,其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù),先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進而根據(jù)單調(diào)性比較大小或解不等式.分類透析3利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和最值例3 (1)(2020年廣東肇慶模擬)已知x=1是f(x)=x2-(a+3)x+2a+3ex的極小值點,則實數(shù)a的取值范圍是().A.(1,+)B.(-1,+)C.(-,-1)D.(-,1)(2)(2020年安徽淮北二模)已知函數(shù)f(x)=eln(x-2),g(x)=x,若f(x1)=g

47、(x2),則x1-x2的最小值為().A.1B.2C.eD.3答案 (1)D(2)B解析 (1)f(x)=x2-(a+1)x+aex=(x-a)(x-1)ex.設(shè)g(x)=(x-1)(x-a).當a=1時,g(x)0,f(x)0,f(x)沒有極值.當a1時,若xa或x0,f(x)0;若1xa,則g(x)0,f(x)0.所以x=1是函數(shù)f(x)的極大值點,不合題意.當a1或x0,f(x)0;若ax1,則g(x)0,f(x)0.所以x=1是f(x)的極小值點,滿足題意.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-,1).(2)設(shè)f(x1)=g(x2)=t,則f(x1)=eln(x1-2)=t,x1=ete+2

48、,g(x2)=x2=t,x1-x2=et令F(t)=ete+2則F(t)=1eete-1,F(t)在R上是增函數(shù),且F(e所以當t(-,e)時,F(t)0,F(t)單調(diào)遞增,所以當t=e時,F(x)取得極小值,也是最小值,最小值為F(e)=2.小結(jié) (1)已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要點:列式,根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解;驗證,因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值,不僅要研究其極值情況,還要研究其單調(diào)性,并通過單調(diào)性和極值情況,畫出函數(shù)的大致圖象,然后借助圖象

49、觀察得到函數(shù)的最值.(見學生用書P13)1.(2020年全國卷,理T6改編)函數(shù)f(x)=x4-2x3+1的圖象在點(0,f(0)處的切線方程為().A.y=-1B.y=1C.x=1D.x=-1答案 B解析 f(0)=1,f(x)=4x3-6x2,f(0)=0,故切線方程為y=1.2.(2019年全國卷,理T6改編)設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x+b-1,則a+b=().A.3B.32C.4D.答案 C解析 因為曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x+b-1,所以切線斜率為2,且b-1=0,即b=1.因為y=a-1x+1,所以y|x

50、=0=a-10+1=a-1=2,解得a=3,所以a+b=4,3.(2019年全國卷,理T13改編)曲線f(x)=sin x-1ex+2在點(0,f(0)處的切線方程為答案 2x-y+1=0解析 由f(x)=sin x-1ex+2,得f(x)=cos x+f(0)=1,f(0)=2,則曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程為y=2x+1,即2x-y+1=0. 4.(2017年全國卷,理T11改編)已知函數(shù)f(x)=aex-ln x-1,設(shè)x=1是f(x)的極值點,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.答案 (0,1)解析 由題意可得f(x)=aex-1x.因為x=1是f(x)的極值點,所以f(1)

51、=ae-1=0,解得a=1e,即f(x)=ex-1-1x.因為f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,且f(1)=0,所以由f(x)0,可得0 x1,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,(見學生用書P14)1.(2020年深圳鹽田模擬)在R上可導的函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則關(guān)于x的不等式xf(x)0,使xf(x)0的范圍為(-,-1);在(-1,1)上,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)0,使xf(x)0的范圍為(0,1).綜上,關(guān)于x的不等式xf(x)0),若對任意兩個不相等的正實數(shù)x1,x2,都有f(x1)-f(x2)xA.(0,1B.(1,+)C.(0,1)D.1,+)答案 D解析 對任意兩個不相

52、等的正實數(shù)x1,x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x22恒成立,則當x0時,f(x)2恒成立,即f(x)=ax+x2在(0,+7.(2020年河南安陽調(diào)研)若關(guān)于x的不等式x3-3x+3+a0對任意的x-2,3恒成立,則實數(shù)a的最大值為().A.1B.-1C.-5D.-21答案 D解析 若關(guān)于x的不等式x3-3x+3+a0對任意的x-2,3恒成立,則a-x3+3x-3對任意的x-2,3恒成立,令f(x)=-x3+3x-3,x-2,3,則f(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1).令f(x)0,解得-1x1;令f(x)0,解得-2x-1或1x3.故f(x)在-2,-1)上單調(diào)遞減,在(

53、-1,1)上單調(diào)遞增,在(1,3上單調(diào)遞減,而f(-1)=-5,f(3)=-21,故a-21,故實數(shù)a的最大值是-21.8.(2020年河北唐山二模)若曲線y=2x在x=t處的切線為y=ax,則t所在的區(qū)間為().A.0,12C.1,32答案 C解析 y=2xln 2,則y|x=t=2tln 2,所以曲線y=2x在x=t處的切線為y=(2tln 2)(x-t)+2t,即y=(2tln 2)x-2ttln 2+2t,又曲線y=2x在x=t處的切線為y=ax,則2tln2=a,-22e22,1log2e0,函數(shù)g(x)=exln x在(0,+)上單調(diào)遞增,故正確;對于,f(x)=x2+1,則g(x

54、)=exf(x)=ex(x2+1),g(x)=ex(x2+1)+2xex=ex(x+1)20在實數(shù)集R上恒成立,g(x)=exf(x)在定義域R上是增函數(shù),正確;對于,f(x)=sin x,則g(x)=exsin x,g(x)=ex(sin x+cos x)=2exsinx+4,顯然g(x)0不恒成立,故g(x)在定義域內(nèi)不單調(diào),對于,f(x)=x3,則g(x)=exf(x)=exx3,g(x)=exx3+3exx2=ex(x3+3x2)=exx2(x+3),當x-3時,g(x)0,其中f(x)為f(x)的導數(shù),設(shè)a=f(0),b=2f(ln 2),c=ef(1),則a,b,c的大小關(guān)系是()

55、.A.cbaB.abcC.cabD.bca答案 A解析 函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù),且滿足f(x)+f(x)0,設(shè)F(x)=f(x)ex,則F(x)=f(x)+f(x)ex0,故函數(shù)F(x)是單調(diào)遞增函數(shù),則F(1)F(ln 2)F(0),即ef(1)2f(ln 2)f(0),則cba.故選A.11.(2020年河南模擬)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ln x,則曲線f(x)在x=1處的切線方程為.答案 x+y-1=0解析 f(x)=(x-2)ln x,f(x)=ln x+x-2f(1)=-1,f(1)=0,故切線方程為y=-(x-1),即x+y-1=0.12.(2020年廣西南寧一模)若函

56、數(shù)y=2x3+1與y=3x2-b的圖象在一個公共點處的切線相同,則實數(shù)b=.答案 0或-1解析 設(shè)公共切點的橫坐標為x0,y=2x3+1的導函數(shù)為y=6x2,y=3x2-b的導函數(shù)為y=6x,由圖象在一個公共點處的切線相同,可得6x02=6x0且1+2x03=3x02-b,解得x0=0,b=-1或x0=1,b=0.故13.(2020年云南玉溪模擬)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x00,則實數(shù)a的取值范圍為.答案 4解析 令f(x)=0,即ax3-2x2+1=0,可得a=2x-1令g(x)=2x-1則g(x)=-2x2+3x可得當x62時,g(x)當-62

57、x0或0 x469時,f(x)存在唯一的零點x0,且x0考查角度5利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題(見學生用書P15)分類透析1利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題例1 (2020年廣西南寧模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2aln x(a0).(1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解析 (1)當a=1時,f(x)=x2-4x+2ln x,f(x)=2x-4+2xf(1)=-3,f(1)=0,故f(x)的圖象在x=1處的切線方程為y+3=0.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=2x-2(a+1)+2ax=若a0,則

58、當x(0,1)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.若0a0,f(x)單調(diào)遞增;當x(a,1)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.若a=1,則f(x)=2(x-1)2x0恒成立,f(x)在(0若a1,則當x(0,1)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增;當x(1,a)時,f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.綜上,當a0時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+)上單調(diào)遞增;當0a1時,函數(shù)f(x)在(1,a)上單調(diào)遞減,在(a,+),(0,1)上單調(diào)遞增.小結(jié) 對于含參函數(shù)f(x)的單調(diào)性的判斷,要在定義域內(nèi)對f(x)的符號進行討論,解不等式f(x)0和f(x)0和f(x)0)(1)求函數(shù)f(x)的單

59、調(diào)區(qū)間和極值.(2)是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在1,e上的最小值為0?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.解析 (1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為x|x0,f(x)=ax-1x2(a0,x由f(x)0得x1a,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是1由f(x)0得x1a,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是0,所以當x=1a時,函數(shù)f(x)有極小值,極小值為f1a=aln 1a+a=a-a(2)不存在.理由如下:由(1)可知,當x0,1a時,函數(shù)f(x)當x1a,+時,函數(shù)f(x)當01a1,即a1時,函數(shù)f(x)在1,e上單調(diào)遞增故函數(shù)f(x)在1,e上的最小值為f(1)=aln 1+1

60、=1,顯然10,故不滿足條件.當11ae,即1ea1時,函數(shù)f(x)在1,1a上單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)在1,e上的最小值為f1a=aln 1a+a=a-aln a=a(1-ln a)=0,即ln a=1,解得a=e,而1eae,即0a0,不等式f(x)g(x)成立,求實數(shù)a的取值范圍.解析 (1)f(x)=1x+x+a=x2+ax+1令f(x)=0,即x2+ax+1=0,其中=a2-4.當a2-40,即-2a2時,x2+ax+10恒成立.f(x)0,則f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,函數(shù)f(x)無極值點.當a2-40,即a2時,由x2+ax+1=0,得x1=-a-a2-42,x2=-a若a2