高等數(shù)學(xué)北大版23無(wú)窮小量與微分課件

1、高等數(shù)學(xué)北大版23無(wú)窮小量與微分課件高等數(shù)學(xué)北大版23無(wú)窮小量與微分課件定義.若若若若若或設(shè) 是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量,記作則稱 是比 高階的無(wú)窮小量,記作則稱 是比 低階的無(wú)窮小量;則稱 與 為同階無(wú)窮小量;則稱 是關(guān)于 的 k 階無(wú)窮小量;則稱 是 的等價(jià)無(wú)窮小量,定義.若若若若若或設(shè) 是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小例 1例 2 當(dāng)時(shí)， 例 4時(shí)，當(dāng)是 的三階無(wú)窮小量.因?yàn)樗?時(shí)，當(dāng)是 的三階無(wú)窮小量.故時(shí)是關(guān)于 x 的二階無(wú)窮小量,且例 3例 1例 2 當(dāng)時(shí)， 例設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小, 且 是 的高階無(wú)窮小 是 的低階無(wú)窮小 是 的同階無(wú)窮小 是 的等價(jià)無(wú)窮小

2、 是 的 k 階無(wú)窮小無(wú)窮小的比較小結(jié)設(shè) , 對(duì)同一自變量的變化過(guò)程為無(wú)窮小, 且 是 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系若為無(wú)窮大量,為無(wú)窮小量;若為無(wú)窮小量, 且則則(自證)當(dāng) 時(shí)，為無(wú)窮大量.據(jù)此結(jié)論 , 關(guān)于無(wú)窮大量的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為 無(wú)窮小量來(lái)討論.說(shuō)明:無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系若為無(wú)窮大量,為無(wú)窮小量;若為無(wú)窮小2. 微分的概念我們考察量這時(shí)，當(dāng) 時(shí) 也是無(wú)窮小量.于是得到2. 微分的概念我們考察量這時(shí)，當(dāng) 時(shí) 可以寫(xiě)成 由此可見(jiàn)，當(dāng) 很小時(shí)， 可以用 近似地代替. 以上是在 在 點(diǎn)可導(dǎo)的條件下進(jìn)行討論的 .如果不考慮可導(dǎo)這個(gè)條件，即，當(dāng) 在 點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，函數(shù)值的改變量何時(shí) 在 處的改變量可以寫(xiě)

3、成 其中 為常數(shù). 根據(jù)前面的討論，當(dāng) 在 點(diǎn)可導(dǎo)時(shí)，上式成立，且可以寫(xiě)成 由此可見(jiàn)，當(dāng) 很小時(shí)， 可以用 反過(guò)來(lái)，假定上式成立，上式兩邊同除以 ，并令取極限，得 可見(jiàn)，函數(shù) 在 可導(dǎo)，且反過(guò)來(lái)，假定上式成立，上式兩邊同除以 ，并令取極限，得定義:的微分,若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù)而 稱為記作即 函數(shù)在點(diǎn) 可微的充要條件是即在點(diǎn)可微,微分是函數(shù)改變量的線性主要部分.定義:的微分,若函數(shù)在點(diǎn) 的增量可表示為( A 為微分概念的意義：關(guān)于 的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為因此，當(dāng) 很小時(shí)，因此微分概念的意義：關(guān)于 的線性主部高階無(wú)窮小時(shí)為因此，例 6例 7導(dǎo)數(shù)也叫作微商微分之商例 6例 7導(dǎo)數(shù)也叫作微商微分之商微分的求法基本初等函數(shù)的微分公式微分的求法基本初等函數(shù)的微分公式函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法