工程力學(xué)第九章

1、第九章剛體的平面運(yùn)動(dòng)第一節(jié) 剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解教學(xué)時(shí)數(shù)： 1 學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、 明確剛體平面運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)2、 把握討論平面運(yùn)動(dòng)的方法3、 能夠正確判定機(jī)構(gòu)中作平面運(yùn)動(dòng)的剛體教學(xué)重點(diǎn)：把握討論平面運(yùn)動(dòng)的方法 教學(xué)難點(diǎn)：把握討論平面運(yùn)動(dòng)的方法 教學(xué)方法： 板書(shū) PowerPoint一平面運(yùn)動(dòng)的概念引例 1：汽車(chē)沿直線行駛時(shí),車(chē)輪的運(yùn)動(dòng)（圖 10.1 ）車(chē)輪的運(yùn)動(dòng) 隨著車(chē)身的平動(dòng) +相對(duì)車(chē)身的轉(zhuǎn)動(dòng)；引例 2曲柄連桿機(jī)構(gòu)的連桿 AB的運(yùn)動(dòng)O B引例 3板擦在黑板上的任意運(yùn)動(dòng)A 1SB 1ABB 2A2上述運(yùn)動(dòng)有何共性？平面運(yùn)動(dòng)定義： 剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)其上任一點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變,也就

2、是說(shuō)剛體內(nèi)的各點(diǎn)都在平行于固定平面的某一平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；2力學(xué)模型簡(jiǎn)化如下列圖, 剛體作平面運(yùn)動(dòng)時(shí),剛體上全部與空間某固定平面距離相等的點(diǎn)所構(gòu)成的平面圖形就保持在它自身所在的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；A 點(diǎn)代表A 1A 2線段的運(yùn)動(dòng)B 點(diǎn)代表線段的運(yùn)動(dòng)B 1B2平面圖形 S 代表剛體運(yùn)動(dòng)結(jié)論：剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以簡(jiǎn)化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)；3、運(yùn)動(dòng)方程yx確定平面圖形 S 在 Oxy 坐標(biāo)系內(nèi)的位置只需確定任一線段 AB 在 Oxy 中的位置確定 AB線段的位置,需確定坐標(biāo) x Ay A , ,A 點(diǎn)稱(chēng)為基點(diǎn)；所以平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程：x A x A t y A y A t （1）A t 上式稱(chēng)為剛體的平面

3、運(yùn)動(dòng)方程；分析運(yùn)動(dòng)方程可知,平面運(yùn)動(dòng)包函了平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)這兩種基本運(yùn)動(dòng)形式,即：平面運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)；4、運(yùn)動(dòng)的分解及分解運(yùn)動(dòng)的特性分析特例分析：在方程（1）中,如C 就“S” 作平動(dòng),如x AC 1就“S” 作定軸轉(zhuǎn)yAC2動(dòng)一般情形下,平面運(yùn)動(dòng)可以看成為由平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成；運(yùn)動(dòng)分解：討論對(duì)象：平面圖形S y相伴 A 作平動(dòng) ,是虛構(gòu)的一坐標(biāo)系） ；靜系：固定平面Oxy ；動(dòng)系：A xy（其中 A 是“ S” 上一點(diǎn),Ax牽連運(yùn)動(dòng)：動(dòng)系A(chǔ)xy隨 A 點(diǎn)平動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)：繞A 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)所以,平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn) A 平動(dòng) +相對(duì)基點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動(dòng)；分解運(yùn)動(dòng)特性：平動(dòng)：隨基點(diǎn)的不同而不同轉(zhuǎn)動(dòng)：相

4、對(duì)不同基點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角位移、角速度和角加速度都是相同的,即轉(zhuǎn)動(dòng)與基點(diǎn)挑選無(wú)關(guān)；證明 1：證明 2：A YY Y MXBA XBO XB A 常量B A B AB A B A其次節(jié) 求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法教學(xué)時(shí)數(shù)： 1 學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1、 能嫻熟地應(yīng)用基點(diǎn)法求平面圖形上任一點(diǎn)的速度；1、課本習(xí)題 9-1、 9-3；2、 速度投影法求平面圖形上任一點(diǎn)的速度；教學(xué)重點(diǎn)：以運(yùn)動(dòng)的分解與合成為動(dòng)身點(diǎn),討論求平面圖形上各點(diǎn)的速度的基點(diǎn)法,以求速度為主,速度投影發(fā)從基點(diǎn)法推導(dǎo)出來(lái)；教學(xué)難點(diǎn)：正確懂得平面運(yùn)動(dòng)分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和饒及點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 教學(xué)方法： 板書(shū) PowerPoint教學(xué)步驟：1

5、基點(diǎn)法（合成法）選基點(diǎn)的意義和相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)平面運(yùn)動(dòng)隨基點(diǎn)平動(dòng)+相對(duì)基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)已知A 點(diǎn)速度v 和角度求圖形上任一點(diǎn)B 的速度；vBAvBvABvAvBABBAv AvAAv AA2 個(gè)求知vBA（1）B 點(diǎn)的速度為：vB式中vAve,其中vBAABvBAAB,式（ 1）只能求量,通常的已知量為v和vBA的方向；BOrBrAAr Br AAB其中 AB 是常量；式（ 1）也可用矢量求導(dǎo)得到,rBrAvBABvA,ABvBA,也即vBvAvBA其中rB,rA2速度投影法將式（ 10.3）向 AB 連線和 AB 連線的正垂向投影,有v B AB v A AB（ 2）v B v A v BAv B v

6、 A（3）AB式（ 2）稱(chēng)為速度投影定理,是剛體不變形的屬性,式（3）中的正垂向投影過(guò) B 點(diǎn)作逆時(shí)針轉(zhuǎn) 90 的射線為正方向,如圖中的 v BA 所指的方向；例 1、如下列圖,在曲柄連桿機(jī)構(gòu)中,已知曲柄 OA 長(zhǎng)為 R,繞 O 軸以 0逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),求45 ,15 時(shí),滑塊 B 的速度 v B 及連桿 AB 的角速度 AB；v Av AO 0 v BABv B圖 10.11解： 1. 分析運(yùn)動(dòng)：OA 桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng), AB 桿作平面運(yùn)動(dòng)2分析速度OA 桿：v AR0,AB 桿：vBvAvBAv BvAvBA只有 2 個(gè)未知量,可求解,由速度合成圖11,有45sin60sin75sin求得vBvAs

7、in600.897R0,vBAvAsin45sin75sin75而ABvBAvAsin150. 2680ABsin75Rsin45另解：用速度投影法：v A30A y /C0 v BO BAB ：圖 10.12設(shè) v方向如圖 10.12 所示AB：v A cos 30 v B cos 15v B v A cos 300 . 897 R 0（負(fù)號(hào)說(shuō)明與假設(shè)相反）cos 15:（ y 軸指向?yàn)檎ヽos 30 sin 15v B v A v B sin 15 v A sin 30 v A cos 15 sin 30 ABAB AB ABv A sin 150 . 268 0 負(fù)號(hào)說(shuō)明 AB是順時(shí)針

8、轉(zhuǎn)向的 AB cos 15問(wèn)題,如求 v C .（C 點(diǎn)是 AB 桿的中點(diǎn)）例 2、在圖所示的平面機(jī)構(gòu)中,已知 OA AC r,O 1 B 2 r,30 ,OA 桿以 0繞O 軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),在圖示位置時(shí),OA 、CB 沿水平方向,O1 B、AC 沿鉛垂方向,試求此瞬時(shí)（1）O1 B 桿的角速度 O1 B；（2）板上 C 點(diǎn)速度 v C .；O1v AO1O 0O 0v A v BA v Av CAC v BC 圖 13.b解： 1.分析運(yùn)動(dòng)OA 桿,O1B桿定軸轉(zhuǎn)動(dòng)ABC 作平面運(yùn)動(dòng)2分析速度OA ：vABrv0vBAABC ：vA由速度合成圖：3v B v A t a n r 03v BA v

9、 A 2 3 r 0 AB vBA 30c o s 3 AB 3O1 B：O 1 B vB 30O 1 B 63求 v C v C v A v CA 其中 v CA AC AB由圖 10.13：v cx v cA 3 r 0 v cy v A r 033vC i j r 03問(wèn)題：如不分析 B 點(diǎn)速度,求出 AB,能否求出 v？例 3、圖 10.14 中給出一種平面鉸接機(jī)構(gòu),已知桿 O1 A 的角速度是 1,桿 O2 B 的角速度是2,轉(zhuǎn)向如圖 10.14 所示；在圖示瞬時(shí),桿 O1 A 鉛直,桿 AC 和 O2 B 水平,而桿 BC 對(duì)鉛直線成偏角 30 ,又 O 2 B l,O 1 A 3

10、 l；試求該瞬時(shí)點(diǎn) C 的速度；B O 2B O2230；2 C v BA C A v Av B vv CB A1 O 1 1 v CA v CO1 圖 10.14b解： 1 分析運(yùn)動(dòng)O1 A、O2 B 桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),AC、BC 桿作平面運(yùn)動(dòng)；O2B2 分析速度3l1（a）O1A：v A：v Bl2AC：vCvAvCABC：vCvBvCB（b）由式（ a）、（b）得：vCl31i12j課堂小結(jié)：總結(jié)以上例題,基點(diǎn)法解題步驟如下：1、 分析構(gòu)件中各剛體的運(yùn)動(dòng),判定各剛體分別作什么樣的運(yùn)動(dòng)；2、 討論作平面運(yùn)動(dòng)的剛體上哪一點(diǎn)的速度大小和方向?yàn)橐阎?；基點(diǎn)就選在該點(diǎn)上,作圖時(shí) 必需說(shuō)明基點(diǎn)的挑選,但在

11、圖中可以不畫(huà)動(dòng)坐標(biāo)軸；3、 畫(huà)速度合成圖,作圖時(shí)要使肯定速度在平行四邊形的對(duì)角線上,并依據(jù)三個(gè)速度所涉及 的六個(gè)要素中分析出四個(gè)要素；4、 依據(jù)基點(diǎn)法公式vBvAvBA的合成公式及利用平行四邊形中的幾何關(guān)系求解未知量；作業(yè)布置：1.課本習(xí)題 9-1、9-3；2. 課本習(xí)題 9-5 第三節(jié) 求平面圖形上各點(diǎn)速度的瞬心法教學(xué)時(shí)數(shù)： 1 學(xué)時(shí)教學(xué)目標(biāo)：能嫻熟地應(yīng)用瞬心法求平面圖形上任一點(diǎn)的速度；教學(xué)重點(diǎn)：以運(yùn)動(dòng)的分解與合成為動(dòng)身點(diǎn),討論求平面圖形上各點(diǎn)的速度瞬心法,從基點(diǎn)法推導(dǎo)出來(lái)；教學(xué)難點(diǎn)：速度瞬心的概念；教學(xué)方法： 板書(shū) PowerPoint教學(xué)步驟：引言：vBvAvBA,如vA0,就vBvBA

12、vBABBv此時(shí)圖形上各點(diǎn)速度分布如圖 10；15 所示速度瞬心： 某瞬時(shí)平面圖形上速度為零的那一點(diǎn)稱(chēng)為該瞬時(shí)平面圖形的瞬時(shí)速度中心,簡(jiǎn)稱(chēng)為速度瞬心,通常用“P” 表示；定理：一般情形下,每瞬時(shí)平面圖形上速度瞬心是唯獨(dú)存在的；Nv PMPv MMv M證明：設(shè)已知平面圖形上任一點(diǎn) M 的速度 v M 和平面圖形的角速度,過(guò) M 點(diǎn)作 MN v M 如圖 10.16 所示, MN 上一點(diǎn) P 的速度為：v P v M v PM v M 與 v PM 方向相反 . vPvMPMv當(dāng)PMvM時(shí),vP0MN 直線上有滿意此條件的當(dāng)0 時(shí),PMM只有一個(gè)確定的值,且只能在點(diǎn),所以定理得證；找瞬心的幾種方

13、法：1）已知兩點(diǎn)速度方向a vvBvBBvAAvAAv BBPb vv且vAvB瞬時(shí)平動(dòng)v的大?。▓D10.19 ）cvAv且vAAB 時(shí),需知v、vAv AvAAv BvBBv B圖10.19 2）已知平面圖形沿某一線或面純滾,接觸點(diǎn)瞬心（圖 10.20）圖 10.20例 1、在平面機(jī)構(gòu)中,直角三角板ABD 的兩直角邊長(zhǎng)為AD5 cm,AB10 cm,A 、B為光滑鉸接,O 、O 為兩固定鉸支座,O1A桿以O(shè) 12rads繞O 軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)O 1A10cm,O 1 O25 cm,圖示瞬時(shí)O 、A、D 在同一鉛垂線上,求該瞬時(shí)D 點(diǎn)的速度和桿的角速度；Dv DADvBv AAO11O2圖10.

14、21b1O1O 2P解： 1分析運(yùn)動(dòng)O1A、O2B桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng),ABD 作平面運(yùn)動(dòng) 2 分析速度O1A：v AO1A120cmsuB 沿水平方向抽出之速度為u,使輪ABD ：ABDvA201radsAP20vDPDABD25cmsvBPBA B D2 O2BA B DO2B：O2BvBO2B例 2、繞線輪半徑為R,其凸沿半徑為r,繞線之線點(diǎn)沿水平線純滾動(dòng)；試求滾輪上1、2、3 點(diǎn)的速度；2213B13AA解： 1 分析運(yùn)動(dòng)2 速度分析vAvBuO 向左滾動(dòng)？（演示不斷轉(zhuǎn)變線頭B 與水平RrRrRrvDRRurv12RR2Ruv3rv22 urR問(wèn)：線頭與水平線夾角為多少度時(shí),輪線夾角拉輪子滾動(dòng)

15、）例 3、平面機(jī)構(gòu)如圖10.23 所示,已知O1Ar,以0勻速轉(zhuǎn)動(dòng),O2BBCl,圖示時(shí)O1A水平,O1B在鉛直方向,、均為已知,求該瞬時(shí),O2B桿的角速度和滑塊C 的速度；O 20O1CO 2vAO2B0O1v BCvC圖10.23b 解： 1 分析運(yùn)動(dòng)O1A、O2B定軸轉(zhuǎn)動(dòng)AB 、BC 桿平面運(yùn)動(dòng) 2分析運(yùn)動(dòng)O1A: v AAr0Bcos0AB ：vBvAvBAAB:vcosvcosvBrcosO2B：OvBr0cos2BO2BlcosBC：CBCvBvBlsinO2BBC2 r0cossinBP BClvCPBCBC2cos第四節(jié) 用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度教學(xué)時(shí)數(shù)： 1 學(xué)時(shí)教學(xué)

16、目標(biāo)：會(huì)應(yīng)用基點(diǎn)法求平面圖形上任一點(diǎn)的加速度教學(xué)重點(diǎn)：以運(yùn)動(dòng)的分解與合成為動(dòng)身點(diǎn),討論求平面圖形上各點(diǎn)的加速度的基點(diǎn)法教學(xué)難點(diǎn)：正確懂得平面運(yùn)動(dòng)分解為隨基點(diǎn)的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 教學(xué)方法： 板書(shū) PowerPoint教學(xué)步驟：平面圖形的角加速度及圖形上各點(diǎn)的加速度分析基點(diǎn)法選基點(diǎn)的意義和相對(duì)基點(diǎn)轉(zhuǎn)設(shè)已知 A 點(diǎn)加速度aA和圖形的角速度,角加速度,求任一點(diǎn) B 的加速度； 平面運(yùn)動(dòng)隨 A 點(diǎn)平動(dòng) +相對(duì) A 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)aBABaAan BAanaA2aBABan BAaAaAan BAAAB 點(diǎn)加速度：aBaAaBA（1）其中a BAAB,方向垂直于AB ,AB,方向由 B 指向 A

17、；BA式（ 1）也只能求解 2 個(gè)未知量；式（ 1）也可用矢量求導(dǎo)的方法得到,參看圖,有 r B r A AB求一次導(dǎo) r B r A AB求二次導(dǎo) r B r A AB AB 其中 r B a B,r A a A,AB a BA AB v BA a BAna B a A a BA a BA例 1 靠在直角墻上的桿 AB 長(zhǎng)為 l 1 m,由鉛垂位置在鉛垂面內(nèi)滑下,如下列圖；當(dāng) 60時(shí),vA 2 3 m s,a A 2 m s 2方向如下列圖；求該瞬時(shí) B 點(diǎn)的加速度及 AB 桿的角加速度；BaBAaBaAPBan BACAv AaAAaA解： 1. 運(yùn)動(dòng)分析2. 分析速度AB 作平面運(yùn)動(dòng),由

18、瞬心法求得60 ：v Al234 rads APsin603分析加速度aBaAaBAan（方向如圖）2 sBA其中aBAAB216ms2AB：aBcos30aAcos60anBAaB1aAcos 60an19 . 63mBAcos 30 x：0aAaBAcos30ancos60BAaBA1aAancos 60cos 30BAa BA11. 55rads2l問(wèn)：如求 AB 中點(diǎn) C 的加速度呢？例 2、半徑為 R 的圓盤(pán)沿直線軌道作純滾動(dòng),如圖 26 所示,設(shè)圖示瞬時(shí)輪心的速度為 v ,加速度為 a ,方向如下列圖；試求該瞬時(shí)輪沿上 A、B、C、D 點(diǎn)的加速度；. a 0 v 0. . . a 0 v 0. O a 0 a BOn.a BOO na AO. a 0 a AO解： 1 分析運(yùn)動(dòng) 輪 O 作純滾動(dòng),圖示時(shí) v A 0,A 點(diǎn)為速度瞬心v00R由于輪運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,輪心 O 到瞬心點(diǎn)距離始終為定長(zhǎng) R,如把、v看成時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系, 上式仍成立, 因而有 t v t 對(duì)此式求導(dǎo)有 d t 1 dv t ar dt R dt Ra0當(dāng) a a 0 時(shí),轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針R2分析加速度aAaOaAOanAO其中a AOR0a 0,anR22 v 0（速度瞬心的加速度不為零）AO0RaBaOaBOan BOnR22 v 0aBOR0a 0,a其中BO0RvBX