金融分析期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型課件

1、金融分析期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型課件金融分析期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型課件定義：一個(gè)隨機(jī)過程 是一族隨機(jī)變量。對(duì)于指標(biāo)集的每一個(gè)t，X（t）就是一個(gè)隨機(jī)變量，常吧t解釋成時(shí)間，稱X(t)為過程在時(shí)刻t的狀態(tài)。若T是一個(gè)可數(shù)集，則稱X為一個(gè)離散時(shí)間的隨機(jī)過程，若T為一個(gè)連續(xù)統(tǒng)，則X為連續(xù)時(shí)間過程。定義：一個(gè)隨機(jī)過程 先考慮一個(gè)確定性的情形。 設(shè)股票價(jià)格以不變的增長(zhǎng)率連續(xù)變化，即每單為時(shí)間股價(jià)增長(zhǎng) 。當(dāng)前股價(jià)為 ，則t時(shí)刻股價(jià)增至為： 先考慮一個(gè)確定性的情形。對(duì)于不確定的情形，通常假設(shè)在上式右邊增加一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)，即 (8.3)這樣股票上的瞬時(shí)回報(bào)率 就受兩種因素的影響。第一項(xiàng)，經(jīng)過時(shí)間dt股票回報(bào)率為 ；第二項(xiàng)為

2、不確定性的，由隨機(jī)變量z的性質(zhì)來刻畫. 對(duì)于不確定的情形，通常假設(shè)在上式右邊增加一個(gè)隨機(jī)項(xiàng)，即隨機(jī)變量z的性質(zhì)具有兩個(gè)特點(diǎn)： 1. z的增量由一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量和時(shí)間長(zhǎng)度的平方根的乘積構(gòu)成，即經(jīng)過時(shí)間 , z增加 , 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，其分布為N(0,1). （ 8.4）2. 對(duì)任何兩個(gè)（小的、不重復(fù)的）時(shí)間區(qū)間 和 ， z的增量是獨(dú)立的，即 和 互相獨(dú)立。 隨機(jī)變量z的性質(zhì)具有兩個(gè)特點(diǎn)： 由（8.4）， 當(dāng) ，（8.4）也可寫為： (8.5) z(t)為一個(gè)維納過程（Wiener）,也稱為 布朗運(yùn)動(dòng)。 （8.3）描述的股票價(jià)格過程稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)。 由（8.4）， 8.1 伊藤引理設(shè)X是某資

3、產(chǎn)的價(jià)格，服從一般的擴(kuò)散過程： (8.6)上述幾何布朗運(yùn)動(dòng)為擴(kuò)散過程的特殊情形： ， 8.1 伊藤引理設(shè)X是某資產(chǎn)的價(jià)格，服從一般的擴(kuò)散過程：， 伊藤引理 設(shè)X是滿足（8.6）的某資產(chǎn)價(jià)格，f(X,t)是在X上的任何一個(gè)衍生證券在時(shí)刻t的價(jià)值，則 (8.7)（證明略） 伊藤引理 設(shè)X是滿足（8.6）的某資產(chǎn)價(jià)格，f(X,t伊藤引理的例子例如 股票的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，考慮函數(shù) 由伊藤引理 （8.8） 如果我們按普通微積分求導(dǎo)法則： ， ， ，伊藤引理的例子例如 股票的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，考慮函數(shù) ，對(duì)（8.8）式兩邊從0到t積分得：對(duì)上式求均值和方差有： 對(duì)（8.8）式兩邊從0到t積分得：

4、 股票價(jià)格的對(duì)數(shù)仍服從正態(tài)分布： 我們也稱股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布（Lognormal Distribution）股票價(jià)格的對(duì)數(shù)仍服從正態(tài)分布： 8.2 二項(xiàng)式模型與連續(xù)模型的關(guān)系設(shè)期權(quán)的生命期為T（年），把T分為n個(gè)小區(qū)間，區(qū)間的長(zhǎng)度為 ，考慮二項(xiàng)式模型。設(shè)V是一個(gè)隨機(jī)變量，它以概率q取u,以概率1-q取d,u ,d分別股票上升和下降因子，則 為股票在k時(shí)刻的價(jià)格。 8.2 二項(xiàng)式模型與連續(xù)模型的關(guān)系設(shè)期權(quán)的生命期為T（年），與連續(xù)模型（股票服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布比較）：當(dāng) 很小時(shí)， 與連續(xù)模型（股票服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布比較）：當(dāng) 很小時(shí)，取q=1/2,則 只要估計(jì)出股票回報(bào)率的波動(dòng)度 ，就可以定出與

5、之相匹配的二項(xiàng)式模型中的u,d,q. 8.3 期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes 方程引理8.1 設(shè)f和g 分別服從過程 ， ， 為瞬時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)利率，為了不存在套利機(jī)會(huì)，下等式必須成立： 8.3 期權(quán)定價(jià)的Black-Scholes 方程引理8.1證明：考慮投資組合： 買 單位的f和賣 單位的g。該組合的價(jià)值為：該組合在瞬時(shí)時(shí)間區(qū)間dt上的價(jià)值改變?yōu)椋喊裠f，dg以及a,b 帶入上式有：則該投資組合的回報(bào)率必須等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，否則就會(huì)存在套利機(jī)會(huì)。即把dV和V代入上式得 證明：考慮投資組合： 買 單位的f和賣下面給出Black-Scholes偏微分方程。 設(shè)股票的價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)： 記

6、 f (S,t)為衍生證券的價(jià)格，由伊藤引理：下面給出Black-Scholes偏微分方程。令則有：將引理8.1應(yīng)用到dS 和d f上，則有 (8.3.8) ， 令， 再把 代入（8.3.8）有 這就是著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)偏微分方程。 再把 代入（8.3.8）有 衍生證券為歐式看漲期權(quán)，記期權(quán)的價(jià)格為C(S,t)，則C比滿足上述方程以及相應(yīng)的邊界條件： （8.3.10） （8.3.11） 衍生證券為歐式看漲期權(quán)，記期權(quán)的價(jià)格為C(S,t)，則C比滿若股票連續(xù)支付紅利，單位時(shí)間內(nèi)支付紅利q，則（8.3.8）改為：相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)偏微分方程變?yōu)椋?若股票連續(xù)支付紅利，單位時(shí)間內(nèi)支

7、付紅利q，則（8.3.8）改利用無風(fēng)險(xiǎn)套利原理得出歐式call的偏微分方程 假設(shè)：1）交易可連續(xù)時(shí)間交易；2）無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)r；3）資產(chǎn)不支付紅利；4）無交易成本和稅；5）資產(chǎn)具有完全可分性；6）允許賣空；7）不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。利用無風(fēng)險(xiǎn)套利原理得出歐式call的偏微分方程 假設(shè)：設(shè)資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)： 這里 為期望回報(bào)率， 為波動(dòng)度， dz為標(biāo)準(zhǔn)維拉過程。 現(xiàn)在考慮一個(gè)投資組合： 持有 單位標(biāo)的資產(chǎn) + 寫一份歐式call 該組合的價(jià)值為： 設(shè)資產(chǎn)的價(jià)格運(yùn)動(dòng)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：由Ito引理；由Ito引理；若令隨機(jī)部分等于零，即令 則該組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合，由無套利原理，為了不存在

8、套利機(jī)會(huì)，該組合必須獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率的回報(bào)，即 若令隨機(jī)部分等于零，即令 其他方法：風(fēng)險(xiǎn)中性理論、自融資動(dòng)態(tài)交易策略等。其他方法：8.4 歐式期權(quán)定價(jià)公式8.4 歐式期權(quán)定價(jià)公式假定股票在到期日之前不支付現(xiàn)金紅利，則歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式如下：假定股票在到期日之前不支付現(xiàn)金紅利，則歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式也可以由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法求得：其中 是依風(fēng)險(xiǎn)中性概率密度計(jì)算而得的數(shù)學(xué)期望，風(fēng)險(xiǎn)中性概率密度為歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式也可以由風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法求得：對(duì)于歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P(S,t)，仍然滿足Black-Scholes方程，以及下屬終端條件和邊界條件： 對(duì)于歐式看跌期權(quán)的價(jià)格P

9、(S,t)，仍然滿足Black-Sc由put-call平價(jià)公式以及call的定價(jià)公式可得put的定價(jià)公式為： 由put-call平價(jià)公式以及call的定價(jià)公式可得put的例8.1 （P153）例8.1 （P153）8.5 比較靜態(tài)分析（在其他參數(shù)不變的條件下，討論期權(quán)價(jià)格關(guān)于某一個(gè)參數(shù)的變化率）記離到期日的時(shí)間為 ，無風(fēng)險(xiǎn)利率為r 8.5 比較靜態(tài)分析（在其他參數(shù)不變的條件下，討論期權(quán)價(jià)格關(guān)1 資產(chǎn)價(jià)格S與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系 由 ，。 即1 資產(chǎn)價(jià)格S與期權(quán)價(jià)格的關(guān)系 由 ，。 即2 關(guān)于資產(chǎn)價(jià)格的彈性即 股價(jià)變動(dòng)1%，期權(quán)的價(jià)格變動(dòng)要超過1%，說明期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)比股票要大。而對(duì)于歐式put來說沒有該

10、結(jié)論?？赡艽笥?，也可能小于1. 2 關(guān)于資產(chǎn)價(jià)格的彈性3 關(guān)于股票價(jià)格的二階導(dǎo)數(shù)（）歐式call和put關(guān)于股票價(jià)格的曲線總是凸的。3 關(guān)于股票價(jià)格的二階導(dǎo)數(shù)（）歐式call和put關(guān)于股票價(jià)4 期權(quán)價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格的關(guān)系即 執(zhí)行價(jià)格越高，執(zhí)行的機(jī)會(huì)就越小，期權(quán)的價(jià)值就越小。由平價(jià)公式：執(zhí)行價(jià)格越高，執(zhí)行的機(jī)會(huì)就越大，歐式看跌期權(quán)的價(jià)值就越大。 4 期權(quán)價(jià)格與執(zhí)行價(jià)格的關(guān)系 5 與離到期日的時(shí)間長(zhǎng)度的關(guān)系 由 Black-Schloes 方程：5 與離到期日的時(shí)間長(zhǎng)度的關(guān)系 離到期的時(shí)間越短，期權(quán)的價(jià)值越小。 離到期的時(shí)間越短，期權(quán)的價(jià)值越小。 由put-call平價(jià)公式： 則，其符號(hào)可正可負(fù)

11、。由put-call平價(jià)公式： 6 波動(dòng)度 越大，期權(quán)的價(jià)值越大。 6 波動(dòng)度 越大，期權(quán)的價(jià)值越大。 由put-call 平價(jià)公式:由put-call 平價(jià)公式:7 無風(fēng)險(xiǎn)利率增加，看漲期權(quán)價(jià)值增加，看跌期權(quán)價(jià)值減少。 7 無風(fēng)險(xiǎn)利率增加，看漲期權(quán)價(jià)值增加，看跌期權(quán)價(jià)值減少。 金融分析期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型課件例 8.3 S=47，X=50，=0.5年，r=10%，=0.40/年。考慮參數(shù)的比較靜態(tài)分析。 C=5.0429例 8.3 S=47，X=50，=0.5年，r=10%，股票價(jià)值上升1元，期權(quán)價(jià)值上升約0.54元。對(duì)于兩個(gè)除執(zhí)行價(jià)格相差1元外，其他都相同的call，執(zhí)行價(jià)格低的call 要

12、比執(zhí)行價(jià)格高的call 貴0.4064元。股票價(jià)值上升1元，期權(quán)價(jià)值上升約0.54元。離到期日越長(zhǎng)，每長(zhǎng)一年，期權(quán)的價(jià)值增加7.3107元，精確的時(shí)間變化對(duì)C的變化為： 7.3107/365=0.02元/天 即 離到期日長(zhǎng)1天，期權(quán)的價(jià)值高0.02元。 股票的期望回報(bào)的波動(dòng)度每增加一單位，期權(quán)價(jià)值增加愛3.197元，即波動(dòng)度從0.4增加到1.4，則C將增加13.197元，如果波動(dòng)度從0.4增加到0.5，C的值將增加1.3197元。離到期日越長(zhǎng)，每長(zhǎng)一年，期權(quán)的價(jià)值增加7.3107元，精確的利率每增加1%，期權(quán)的價(jià)值將增加0.10159元。金融分析期權(quán)定價(jià)的連續(xù)模型課件8.6 有連續(xù)紅利支付的股

13、票上的歐式期權(quán)討論紅利是確定性的。 設(shè)股票每單位時(shí)間每一元股價(jià)分紅為q，或者在t時(shí)間內(nèi)，股價(jià)為S紅利為qSt,這里q為常數(shù)。在dt時(shí)間內(nèi)，由于股票分紅qSdt,則股價(jià)必下降qSdt，從而股價(jià)運(yùn)動(dòng)過程可改為：8.6 有連續(xù)紅利支付的股票上的歐式期權(quán)討論紅利是確定性的。 在該股票上的期權(quán)的偏微分方程前面已經(jīng)給出：做變量代換 ，令 代入上式得關(guān)于 的Black-Scholes方程： 在該股票上的期權(quán)的偏微分方程前面已經(jīng)給出：和前面無紅利支付歐式call定價(jià)公式比較得： 和前面無紅利支付歐式call定價(jià)公式比較得： 還原至C（S，t），有分紅股票的歐式call的價(jià)格為：類似地，有確定性連續(xù)紅利支付股票

14、上看跌期權(quán)價(jià)格為： 還原至C（S，t），有分紅股票的歐式call的價(jià)格為： 8.7 通貨期權(quán)通貨期權(quán)(currency option)的持有者在指定的未來時(shí)間，可以有權(quán)以事先指定的匯率交換另一種通貨。這個(gè)指定的匯率K（1美元兌換K元人民幣）就是期權(quán)的執(zhí)行價(jià)。S表示匯率（1美元兌換S元人民幣）， rd為美元的無風(fēng)險(xiǎn)利率，rk為人民幣的無風(fēng)險(xiǎn)利率（即rf）。 8.7 通貨期權(quán)通貨期權(quán)(currency option)現(xiàn)在有兩種衍生證券，一種是在匯率上的歐式看漲期權(quán)C，它的價(jià)格是匯率S和時(shí)間t的函數(shù)C(S，t)。設(shè)匯率S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) dS = Sdt + Sdz。由伊藤引理，期權(quán)的漂移率和波動(dòng)率

15、是分別為：現(xiàn)在有兩種衍生證券，一種是在匯率上的歐式看漲期權(quán)C，它的價(jià)格另一種衍生證券是 ，其中 是美國(guó)的國(guó)庫券，假設(shè)它是無風(fēng)險(xiǎn)的，依下式增長(zhǎng)：對(duì) 求微分，得 把 和dS代入上式，得另一種衍生證券是 ，其中 是美國(guó)的國(guó)庫對(duì)期權(quán)C和 使用引理8.1，則有：把和代入上式，整理后得對(duì)期權(quán)C和 使用引理8.1，則有：把它和有連續(xù)紅利股票的看漲期權(quán)方程相比較，立刻看出兩者完全一樣。因此只要令 ， 及X= K，就立即得到在通貨上的歐式看漲期權(quán)的定價(jià)公式：把它和有連續(xù)紅利股票的看漲期權(quán)方程相比較，立刻看出兩者完全一8.8 在期貨合約上的期權(quán)在期貨合約上的期權(quán)(option on futures)是指期權(quán)的標(biāo)的

16、資產(chǎn)是一份期貨合約。期貨看漲期權(quán)被執(zhí)行時(shí)，期權(quán)的持有者可從寫期權(quán)方獲得一份看漲期貨合約，加上執(zhí)行時(shí)的期貨價(jià)格超過看漲期貨合約中指定的交割價(jià)這一部分的現(xiàn)金。 8.8 在期貨合約上的期權(quán)在期貨合約上的期權(quán)(option 在期貨上的期權(quán)的價(jià)格V當(dāng)然依賴期貨的價(jià)格F和時(shí)間t，即V=V(F，t)。 由(5.1) 知期貨價(jià)格F和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S有如下關(guān)系：從而 在期貨上的期權(quán)的價(jià)格V當(dāng)然依賴期貨的價(jià)格F和時(shí)間t，即V=VW(S，t) 僅是S和t的函數(shù)，在假設(shè)S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)之下，W(S，t) 必須滿足Black-Scholes偏微分方程：由于 ， ，W(S，t) 僅是S和t的函數(shù)，在假設(shè)S服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)

17、之下整理得這正好是有連續(xù)紅利的歐式看漲期權(quán)方程(8.25)的特殊情形，此時(shí)q = rf ，得到在期貨上的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格公式： 整理得類似地，在期貨上的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為類似地，在期貨上的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格為8.9 期權(quán)和公司證券的關(guān)系把期權(quán)的概念應(yīng)用到公司的證券（如股票、債券等）上，這些證券都有期權(quán)的特征，從而有助于對(duì)公司證券的理解。8.9 期權(quán)和公司證券的關(guān)系把期權(quán)的概念應(yīng)用到公司的證券（如一、 股票和純貼現(xiàn)債券考慮一個(gè)其資本由股票和純貼現(xiàn)債券組成的公司，純貼現(xiàn)債券是在到期日之前不支付利息，而在到期日支付債券面值FV的證券。在t = 0，公司價(jià)值為:其中S0是t = 0時(shí)公司發(fā)行的股票

18、的總價(jià)值，B0是t = 0時(shí)公司發(fā)行的純貼現(xiàn)債券的總價(jià)值。 一、 股票和純貼現(xiàn)債券考慮一個(gè)其資本由股票和純貼現(xiàn)債券組成的在t = T時(shí)，股票的價(jià)值將為（公司的股票就好象一個(gè)歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)是公司的價(jià)值V，執(zhí)行價(jià)格是公司的債券的面值，到期日是債券的到期日。）債權(quán)人在t=T時(shí)的支付為（債權(quán)人已成功的收購(gòu)了整個(gè)公司，但同時(shí)寫了一個(gè)執(zhí)行價(jià)為FV的歐式看漲期權(quán)給股東） 在t = T時(shí)，股票的價(jià)值將為 有風(fēng)險(xiǎn)的純貼現(xiàn)債券B也滿足Black-Scholes方程 ：終端條件為： B(V，0) = min(V，F(xiàn)V) = V max (0，V FV )。有風(fēng)險(xiǎn)的純貼現(xiàn)債券B也滿足Black-Schole

19、s方程 ：利用call的定價(jià)公式，就可以推得在開始時(shí)刻有風(fēng)險(xiǎn)的純貼現(xiàn)債券B的價(jià)值：， 利用call的定價(jià)公式，就可以推得在開始時(shí)刻有風(fēng)險(xiǎn)的純貼現(xiàn)債1. 公司價(jià)值V的增加，減少了違約的概率，從而增加了風(fēng)險(xiǎn)債券B的價(jià)值。2. 債券的到期日越長(zhǎng)，或無風(fēng)險(xiǎn)利率r越高，降低了承諾支付的現(xiàn)值FVe-r，從而減少了債券的價(jià)值。3. 增加承諾的支付值FV，就增加債券的價(jià)值。4. 公司的波動(dòng)度越高，違約(ST FV ) 的概率越大，從而減少了債券的價(jià)值。 1. 公司價(jià)值V的增加，減少了違約的概率，從而增加了風(fēng)險(xiǎn)債券如果把債券支付改寫為：債權(quán)人可以得到一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的支付FV，但寫了一個(gè)歐式看跌期權(quán)給股東。 如果把債

20、券支付改寫為： 二 貸款擔(dān)保（loan guarantee）貸款擔(dān)保是在公司價(jià)值VT小于承諾支付FV時(shí)，由擔(dān)保者支付不足部分(FV VT)，如果公司價(jià)值VT FV，則擔(dān)保者支付為零。 FV VT FV G O 二 貸款擔(dān)保（loan guarantee）貸款擔(dān)保是在公司貸款擔(dān)保就相當(dāng)于一個(gè)在公司價(jià)值V上的歐式put：執(zhí)行價(jià)為債券的面值FV。 ， 貸款擔(dān)保就相當(dāng)于一個(gè)在公司價(jià)值V上的歐式put：執(zhí)行價(jià)為債券公司的價(jià)值成了標(biāo)的資產(chǎn)，故上式的S應(yīng)由V代替，債券的承諾支付成了執(zhí)行價(jià)，故上式的X應(yīng)由FV代替。再由第一小節(jié)分析知，公司的股票相當(dāng)于call，故上式的C應(yīng)由公司的股票S代替。最后由(8.47)知，貸款擔(dān)保相當(dāng)于一個(gè)put，故上式的P應(yīng)由G代替。 putcall 平價(jià)關(guān)系 ：由 V = S + B， 公司的價(jià)值成了標(biāo)的資產(chǎn)，故上式的S應(yīng)由V代替，債券的承諾支付 三 優(yōu)先（senior）債券和后償（subordinated）債券設(shè)這兩種債券都是純貼現(xiàn)債券，到期日都是t = T。分別記優(yōu)先債券和后償債券的面值為FVs和FVj?，F(xiàn)從債權(quán)人的角度分析后償債