高考圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題

1、 高考圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題 圓錐曲線定點(diǎn)定值問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，也是歷年高考的重要內(nèi)容之一.本文結(jié)合教學(xué)工作的實(shí)際情況，針對(duì)圓錐曲線的定點(diǎn)和定值問(wèn)題進(jìn)行研究.關(guān)鍵詞: 圓錐曲線; 定點(diǎn); 定值在我們的印象中,圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題的計(jì)算繁瑣,求解的思路難找,很多同學(xué)在解答圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題時(shí),經(jīng)常會(huì)無(wú)法順利求得問(wèn)題的答案. 其實(shí)解答圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問(wèn)題主要有2種方法: 第一，先猜后證，即特殊化法，先根據(jù)特殊位置或特殊數(shù)值求出定點(diǎn)或定值，再證明這個(gè)點(diǎn)或值與變量無(wú)關(guān);第二，直接推理計(jì)算，在推理計(jì)算過(guò)程中消去變量得到定點(diǎn)或定值，此法解題的關(guān)鍵在于找到問(wèn)題中的

2、結(jié)論與題設(shè)之間的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，再利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后通過(guò)消元得到結(jié)果。例1（2020年全國(guó)I卷）已知A、B分別為橢圓E：（a1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【分析】， ，即可求得，：，問(wèn)題得解.（2）這是一個(gè)求定點(diǎn)的問(wèn)題.根據(jù)題意可得,設(shè)點(diǎn) P C，D 是直線 AP BP 方程即可得到 C，D 程，判斷直線 CD 是否過(guò)定點(diǎn).【解析】(1)由題設(shè)得A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)則eq o(AG,sup7()(a,1)，eq o(GB,sup7()(

3、a，1)由eq o(AG,sup7()eq o(GB,sup7()8，得a218，即a3.所以E的方程為eq f(x2,9)y21.(2)證明：設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(6，t)若t0，設(shè)直線CD的方程為xmyn，由題意可知3n3.由于直線PA的方程為yeq f(t,9)(x3)，所以y1eq f(t,9)(x13)直線PB的方程為yeq f(t,3)(x3)，所以y2eq f(t,3)(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于eq f(xoal(2,2),9)yeq oal(2,2)1，故yeq oal(2,2)eq f(x23x23,9)，可得27y1y2(x13)(

4、x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20.將xmyn代入eq f(x2,9)y21，得(m29)y22mnyn290.所以y1y2eq f(2mn,m29)，y1y2eq f(n29,m29).代入式得(27m2)(n29)2m(n3)mn(n3)2(m29)0.解得n3(舍去)或neq f(3,2).故直線CD的方程為xmyeq f(3,2)，即直線CD過(guò)定點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0).若t0，則直線CD的方程為y0，過(guò)點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0).綜上，直線CD過(guò)定點(diǎn)eq blc(rc)(avs4

5、alco1(f(3,2)，0).求解定點(diǎn)問(wèn)題，常常需要設(shè)出問(wèn)題中定點(diǎn)的坐標(biāo)或者定點(diǎn)相關(guān)的量，根據(jù)題目中的條件與所求目標(biāo)之間的關(guān)系，然后通過(guò)解方程等求得定點(diǎn)的坐標(biāo). 二、定值問(wèn)題例2（2020年北京卷）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且（）求橢圓C的方程：（）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)求的值【分析】()由題意得到關(guān)于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；()首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點(diǎn)P,Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.【解析】()設(shè)橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.()當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識(shí)得，所以當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線，由題意，直線l不過(guò)和點(diǎn)，所以設(shè)，聯(lián)立得由題意知，所以且由題意知直線的斜率存在當(dāng)時(shí)，同理，所以因?yàn)?，所以在求解定值?wèn)題時(shí)，我們運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法，即引入?yún)⒆兞?，用它?lái)表示有關(guān)量，進(jìn)而看能否把變量消去“先猜后證”法是解決這類問(wèn)題的有效方法，也就是先由特殊情形探