平面向量中的極化恒等式及有關(guān)最值(范圍)問題

1、 PAGE 25 - 平面向量中的極化恒等式及有關(guān)最值(范圍)問題 知識(shí)拓展1.極化恒等式：abeq f(1,4)(ab)2(ab)2.幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的eq f(1,4).2.平行四邊形PMQN，O是對(duì)角線交點(diǎn).則：(1)eq o(PM,sup6()eq o(PN,sup6()eq f(1,4)PQ2NM2(平行四邊形模式)；(2)eq o(PM,sup6()eq o(PN,sup6()PO2eq f(1,4)NM2(三角形模式).3.平面向量中的最值(范圍)問題(1)向量數(shù)量積投影、向量的模、夾角的最值(或范圍)

2、；(2)向量表達(dá)式中字母參數(shù)的最值(或范圍). 題型突破題型一極化恒等式的應(yīng)用【例1】 (1)在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM3，BC10，則eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()_.(2)已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的取值范圍是_.解析(1)因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()AM2eq f(1,4)BC29eq f(1,4)10016.(2)取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在

3、CD上，且OC2OD2，所以CD3，AB2eq r(3).又由極化恒等式得eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()PD2eq f(1,4)AB2PD23，因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時(shí)，PDmax3，當(dāng)P在CO的延長線與圓O的交點(diǎn)處時(shí)，PDmin1，所以eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()2，6.答案(1)16(2)2，6【訓(xùn)練1】 (1)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()的值為_.(2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq f(x2,4)eq f(y2,3)1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上

4、的任意一點(diǎn)，則eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最大值為()A.2 B.3 C.6 D.8解析(1)取AE中點(diǎn)O，設(shè)AEx(0 x1)，則AOeq f(1,2)x，eq o(DE,sup6()eq o(DA,sup6()DO2eq f(1,4)AE212eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x)eq sup12(2)eq f(1,4)x21.(2)如圖，由已知|OF|1，取FO中點(diǎn)E，連接PE，由極化恒等式得eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()|PE|2eq f(1,4)|OF|2|PE|2eq f(1,4)，|PE|eq oal(2

5、,max)eq f(25,4)，eq o(OP,sup6()eq o(FP,sup6()的最大值為6.答案(1)1(2)C題型二平面向量中的最值(范圍)問題類型1利用函數(shù)型【例21】 (1)設(shè)為兩個(gè)非零向量a，b的夾角，已知對(duì)任意實(shí)數(shù)t，|bta|的最小值為1，則()A.若確定，則|a|唯一確定B.若確定，則|b|唯一確定C.若|a|確定，則唯一確定D.若|b|確定，則唯一確定(2)已知m，n是兩個(gè)非零向量，且|m|1，|m2n|3，則|mn|n|的最大值為()A.eq r(5) B.eq r(10) C.4 D.5解析(1)由|bta|的最小值為1知(bta)2的最小值為1，令f(t)(bt

6、a)2，即f(t)b22tabt2a2，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，f(t)的最小值為eq f(4a2b2（2ab）2,4a2)eq f(4a2b2（2|a|b|cos ）2,4a2)1，化簡得b2(1cos2)1，觀察此式可知，當(dāng)確定時(shí)，|b|唯一確定，選B.(2)因?yàn)?m2n)24n24mn19，所以n2mn2，所以(mn)2m22mnn25n2，所以|mn|n|eq r(5|n|2)|n|.令|n|x(0 xeq r(5)，f(x)eq r(5x2)x，則f(x)eq f(2x,2r(5x2)1.由f(x)0，得xeq f(r(10),2)，所以當(dāng)0 x0時(shí)，當(dāng)eq f(r(10),2)xeq r

7、(5)時(shí)，f(x)0(x0)，所以函數(shù)f(x)eq f(2x23r(x21),2x)在0，)上單調(diào)遞增，則當(dāng)tan 0時(shí)，eq f(2tan 23r(tan21),2tan )取得最小值eq f(1,2).綜上所述，的最小值為eq f(1,2).答案(1)42eq r(5)(2)0，1eq f(1,2)類型2利用不等式型【例22】 (1)(2020浙江名校新高考研究聯(lián)盟三聯(lián))已知邊長為1的正方形ABCD，E，F(xiàn)分別是邊BC，DC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()，若xy3，則|eq o(EF,sup

8、6()|的最小值為_.(2)(一題多解)(2019七彩陽光聯(lián)盟三聯(lián))已知平面向量a，b，c滿足|a|b|c|1，ab0，則|2ca|eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)cb)的最小值為()A.eq f(r(17),2) B.2 C.eq f(5,2) D.eq r(5)(3)(2016浙江卷)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若對(duì)任意單位向量e，均有|ae|be|eq r(6)，則ab的最大值是_.解析(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A(1，1)，B(1，0)，C(0，0).設(shè)E(a，0)，F(xiàn)(0，b)，則0a，b1.所以eq o(AE

9、,sup6()(a1，1)，eq o(AF,sup6()(1，b1)，因?yàn)閑q o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()，所以有y2a，x2b.因?yàn)閤y3，所以ab1.所以|eq o(EF,sup6()|eq r(a2b2)eq r(f(（ab）2,2)eq f(r(2),2)，所以|eq o(EF,sup6()|mineq f(r(2),2)，當(dāng)且僅當(dāng)abeq f(1,2)時(shí)取到最小值.(2)法一因?yàn)閨a|b|c|1，且ab.所以通過計(jì)算有|2ca|c2a|，eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)cb)eq

10、 blc|rc|(avs4alco1(cf(1,2)b)，所以|2ca|eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)cb)|c2a|eq blc|rc|(avs4alco1(cf(1,2)b)eq blc|rc|(avs4alco1(2af(1,2)b)eq f(r(17),2)，故選A.法二因?yàn)閨a|b|c|1，且ab，所以可設(shè)a(1，0)，b(0，1)，c(x，y)，則有x2y21，所以|2ca|eq blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)cb)eq r(（2x1）24y2)eq r(f(1,4)x2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)y1)sup12(2)

11、eq r(4x24x14y2)eq r(f(1,4)x2f(1,4)y2y1)eq r(x24x4y2)eq r(x2y2yf(1,4)eq r(（x2）2y2)eq r(x2blc(rc)(avs4alco1(yf(1,2)sup12(2)eq r(22blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)sup12(2)eq f(r(17),2)，故選A.(3)由已知可得eq r(6)|ae|be|aebe|(ab)e|由于上式對(duì)任意單位向量e都成立.eq r(6)|ab|成立.6(ab)2a2b22ab12222ab.即652ab，abeq f(1,2).答案(1)eq f(r(2),2)(2

12、)A(3)eq f(1,2)【訓(xùn)練22】 (1)(2020杭州四中仿真)若非零向量a，b滿足a2(5a4b)b，則cosa，b的最小值為_.(2)(2019浙江名師預(yù)測(cè)卷一)已知向量a，b滿足|b|1，|ab|2|ab|，則|a|2|b|2的取值范圍是()A.eq blcrc(avs4alco1(f(8,9)，8) B.eq blcrc(avs4alco1(f(1,9)，8)C.eq blcrc(avs4alco1(2，f(1,9) D.eq blcrc(avs4alco1(f(1,9)，f(1,9)(3)(2020溫州適應(yīng)性測(cè)試)已知平面向量a，b，c滿足：ab0，|c|1，|ac|bc|5

13、，則|ab|的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.8解析(1)由a2(5a4b)b得abeq f(1,5)(a24b2)eq f(1,5)2eq r(|a|24|b|2)eq f(4,5)|a|b|，則cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(f(4,5)|a|b|,|a|b|)eq f(4,5)，當(dāng)且僅當(dāng)|a|2|b|時(shí)等號(hào)成立，所以cosa，b的最小值為eq f(4,5).(2)因?yàn)閨b|1，所以|(ab)(ab)|2|b|2.兩邊平方得|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)4，又|ab|2|ab|，所以|a|2|b|2eq f(5|ab|24,2)，又因?yàn)閨ab|ab|(

14、ab)(ab)|ab|ab|，即|ab|23|ab|，故eq f(2,3)|ab|2，所以|a|2|b|2eq f(5|ab|24,2)的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(8,9)，8)，故選A.(3)|ab|2|(ac)(bc)|2(ac)22(ac)(bc)(bc)2502(abacbc1)482(ab)c482|ab|cos (其中為ab與c的夾角)，因?yàn)閨ab|ab|，所以|ab|2482|ab|cos ，則由cos 1，1，得482|ab|ab|2482|ab|，解得6|ab|8，即|ab|的最小值為6，此時(shí)向量ab的方向與向量c的方向相反，故選B.答案(1)eq

15、f(4,5)(2)A(3)B類型3利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例23】 (1)如圖是蜂巢結(jié)構(gòu)圖的一部分，正六邊形的邊長均為1，正六邊形的頂點(diǎn)稱為“晶格點(diǎn)”.若A，B，C，D四點(diǎn)均位于圖中的“晶格點(diǎn)”處，且A，B的位置如圖所示，則eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()的最大值為_.(2)已知|a|2，|b|c|1，則(ab)(cb)的最大值為_，最小值為_.解析(1)先建立平面直角坐標(biāo)系如圖，因?yàn)檎呅蔚倪呴L均為1，所以B(0，0)，Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(9,2)，當(dāng)eq o(CD,sup6()在eq o(AB,sup6(

16、)方向上的投影最大時(shí)，eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()最大，此時(shí)取C(0，5)，D(eq r(3)，0)，即(eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()maxeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(9,2)(eq r(3)，5)eq f(3,2)eq f(45,2)24.(2)設(shè)Macabbc，則(ab)(cb)acabbcb21acabbc1M.而(bac)262M，M3eq f(1,2)(bac)2，當(dāng)(bac)20時(shí)，Mmin3，(ab)(cb)min132；當(dāng)b，a，c共線且同向時(shí)，Mmax3eq f(1,2)(121)2

17、5，(ab)(cb)max156.答案(1)24(2)62【訓(xùn)練23】 (1)已知向量a，b，c滿足|b|c|2|a|1，則(ca)(cb)的最大值是_，最小值是_.(2)已知|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OC,sup6()|2，|eq o(OP,sup6()|1，且eq o(OA,sup6()eq o(BO,sup6()，記eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()的最大值為M，最小值為m，則Mm()A.6 B.4 C.2 D

18、.4解析(1)由題意得|a|eq f(1,2)，|b|c|1，則(ca)(cb)|c|2cbcaab|c|2eq f(1,2)(abc)2eq f(1,2)(|a|2|b|2|c|2)eq f(1,8)eq f(1,2)(abc)2，則當(dāng)向量a，b，c同向共線時(shí)，(ca)(cb)取得最大值eq f(1,8)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)11)eq sup12(2)3，當(dāng)abc0時(shí)，(ca)(cb)取得最小值eq f(1,8).(2)因?yàn)閑q o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq

19、o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OP,sup6()(eq o(OB,sup6()eq o(OP,sup6()(eq o(OC,sup6()eq o(OP,sup6()(eq o(OC,sup6()eq o(OP,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()3eq o(OP,sup6()22eq o(OP,sup6()eq o(OC,sup6()4，令3eq o(OP,sup6()eq o(OQ,sup6()，2eq o(OC,sup6()eq o(OM,

20、sup6()，eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PA,sup6()eq o(OP,sup6()eq o(MQ,sup6()4，如圖，設(shè)eq o(OC,sup6()與eq o(OP,sup6()夾角為(0，).因?yàn)閑q o(MQ,sup6()eq o(OQ,sup6()eq o(OM,sup6().所以eq o(MQ,sup6()eq f(o(OP,sup6(),|o(OP,sup6()|)eq o(OP,sup6()(3eq o(OP,sup6()2eq o(OC,sup6()3

21、4cos ，又因?yàn)閏os 1，1，所以eq o(MQ,sup6()在eq o(OP,sup6()方向上的投影d1，7，即M3，m5，所以Mm2，故選C.答案(1)3eq f(1,8)(2)C類型4利用軌跡圖形性質(zhì)(數(shù)形結(jié)合)型【例24】 (1)(一題多解)(2018浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為eq f(,3)，向量b滿足b24eb30，則|ab|的最小值是()A.eq r(3)1 B.eq r(3)1C.2 D.2eq r(3)(2)已知向量|a|3，|b|6，ab9，則|at(ba)|(1t)(ba)eq f(1,3)b|(其中t0，1)的最小值是

22、_.解析(1)法一設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，aeq o(OA,sup6()，beq o(OB,sup6()(x，y)，e(1，0)，由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2，0)為圓心，1為半徑的圓.因?yàn)閍與e的夾角為eq f(,3)，所以不妨令點(diǎn)A在射線yeq r(3)x(x0)上，如圖，數(shù)形結(jié)合可知|ab|min|eq o(CA,sup6()|eq o(CB,sup6()|eq r(3)1.故選A.法二由b24eb30得b24eb3e2(be)(b3e)0.設(shè)beq o(OB,sup6()，eeq o(OE,sup6()，3eeq o(OF,sup6()，所以

23、beeq o(EB,sup6()，b3eeq o(FB,sup6()，所以eq o(EB,sup6()eq o(FB,sup6()0，取EF的中點(diǎn)為C，則B在以C為圓心，EF為直徑的圓上，如圖，設(shè)aeq o(OA,sup6()，作射線OA，使得AOEeq f(,3)，所以|ab|(a2e)(2eb)|a2e|2eb|eq o(CA,sup6()|eq o(BC,sup6()|eq r(3)1.故選A.(2)由cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(1,2)得a，b的夾角為60，又因?yàn)閨a|3，|b|6，所以O(shè)AB為直角三角形，B30.如圖，令aeq o(OA,sup6()，beq o

24、(OB,sup6()，BOA60，eq o(AC,sup6()teq o(AB,sup6()，eq o(DB,sup6()eq f(1,3)eq o(OB,sup6()，則|eq o(OA,sup6()teq o(AB,sup6()|eq o(OC,sup6()|，eq blc|rc|(avs4alco1(1t)o(AB,sup6()f(1,3)o(OB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求|eq o(OC,sup6()|eq o(CD,sup6()|的最小值.作點(diǎn)D關(guān)于線段AB對(duì)稱的點(diǎn)G，連接OG，則OG即為所求的最小值.在RtBDE中，BED

25、90，BD2，B30，則DE1，DG2DE2，在ODG中，OD4，ODG120，DG2，由余弦定理得OGeq r(OD2DG22ODDGcosODG)2eq r(7).答案(1)A(2)2eq r(7)【訓(xùn)練24】 (1)已知|a|b|1，向量c滿足|c(ab)|ab|，則|c|的最大值為_.(2)(一題多解)(2019寧波模擬)已知向量a，b，c滿足|a|1，|b|2，|cb|1，則|ac|的取值范圍為_.解析(1)由|c(ab)|ab|得向量c的終點(diǎn)的軌跡為以向量ab的終點(diǎn)為圓心，|ab|為半徑的圓，則|c|的最大值為|ab|ab|，又因?yàn)閨ab|ab|eq r(2（ab）2（ab）2)e

26、q r(2（|a|22ab|b|2|a|22ab|b|2）)2eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)|ab|ab|，即ab時(shí)等號(hào)成立，所以|c|的最大值為2eq r(2).(2)法一令mac，則問題轉(zhuǎn)化為|m|的取值范圍.由三角不等式有|m|ab|m(ab)|，則|ab|1|m|1|ab|，又|a|b|ab|a|b|，即1|ab|3，故0|m|4，即|ac|的取值范圍為0，4.法二如圖，由已知，作eq o(OB,sup6()b，分別以點(diǎn)O，B為圓心作單位圓，則a的終點(diǎn)A在圓O上，c的終點(diǎn)C在圓B上，則eq o(AC,sup6()c(a)ca，故|ac|eq o(AC,sup6()|表示兩圓上兩點(diǎn)連線的長，因

27、此，由圓的性質(zhì)得0|eq o(AC,sup6()|4，即|ac|的取值范圍為0，4.答案(1)2eq r(2)(2)0，4 補(bǔ)償訓(xùn)練一、選擇題1.(2013浙江卷)在ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0Beq f(1,4)AB，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(P0B,sup6()eq o(P0C,sup6()，則()A.ABC90 B.BAC90C.ABAC D.ACBC解析取BC邊中點(diǎn)D，由極化恒等式得eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(PD,sup6()2eq f(1,4)eq o(BC,sup

28、6()2，eq o(P0B,sup6()eq o(P0C,sup6()eq o(P0D,sup6()2eq f(1,4)eq o(BC,sup6()2，由eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()eq o(P0B,sup6()eq o(P0C,sup6()，得eq o(PD,sup6()2eq o(P0D,sup6()2，即|eq o(PD,sup6()|eq o(P0D,sup6()|，D到AB的最短距離為P0D，eq o(DP0,sup6()eq o(AB,sup6()，設(shè)AB的中點(diǎn)為P，又P0Beq f(1,4)AB，DPCP，CPAB，故ABAC.答案C2.(2020諸暨

29、適應(yīng)性考試)已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的最小值為()A.eq f(1,4) B.eq f(1,3) C.eq f(1,2) D.1解析eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()2eq o(PO,sup6()，(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()2eq o(PO,sup6()eq o(PC,sup6()，取OC中點(diǎn)D，由極化恒等式得eq o(PO,sup6()eq o(PC,sup6

30、()PD2eq f(1,4)OC2PD2eq f(1,4)，又PDeq oal(2,min)0，(eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(PC,sup6()的最小值為eq f(1,2).答案C3.(一題多解)如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，eq o(BF,sup6()2eq o(FO,sup6()，則eq o(FD,sup6()eq o(FE,sup6()()A.eq f(3,4) B.eq f(8,9)C.eq f(1,4) D.eq f(4,9)解析法一eq o(BF,sup6()2eq o(FO,sup6()，圓O的半徑為1，|eq o(FO,sup

31、6()|eq f(1,3)，eq o(FD,sup6()eq o(FE,sup6()(eq o(FO,sup6()eq o(OD,sup6()(eq o(FO,sup6()eq o(OE,sup6()eq o(FO,sup6()2eq o(FO,sup6()(eq o(OE,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(OD,sup6()eq o(OE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq sup12(2)01eq f(8,9).法二OFeq f(1,3)，由極化恒等式得eq o(FD,sup6()eq o(FE,sup6()OF2eq f(1,4)DE2

32、eq f(1,9)1eq f(8,9).答案B4.如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E是線段BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且eq o(AD,sup6()eq o(AE,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AC,sup6()，則eq f(1,x)eq f(4,y)的最小值為()A.eq f(3,2) B.2 C.eq f(5,2) D.eq f(9,2)解析由圖可設(shè)eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()(1)eq o(AC,sup6()，eq o(AE,sup6()eq o(AB,sup6()(1)eq o(AC,sup6()，其中，(0，1)，則eq o(AD,sup6()eq o

33、(AE,sup6()()eq o(AB,sup6()(2)eq o(AC,sup6().由題知，x，y2，所以有xy2，所以eq f(1,x)eq f(4,y)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)(xy)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(y,x)f(4x,y) eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(52r(f(y,x)f(4x,y)eq f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)y2x，即xeq f(2,3)，yeq f(4,3)時(shí)，取等號(hào)，故選D.答案D5.在ABC中，BC2，A45，B為銳角，點(diǎn)O是ABC外接

34、圓的圓心，則eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6()的取值范圍是()A.eq blc(rc(avs4alco1(2，2r(2) B.eq blc(rc(avs4alco1(2r(2)，2)C.eq blcrc(avs4alco1(2r(2)，2r(2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(2，2) 解析依題意得ABC的外接圓半徑Req f(1,2)eq f(BC,sin 45)eq r(2)，|eq o(OA,sup6()|eq r(2)，如圖所示，A在弧A1C上(端點(diǎn)除外)，eq o(OA2,sup6()與eq o(BC,sup6()同向，此時(shí)eq o(OA,sup

35、6()eq o(BC,sup6()有最大值2eq r(2)，又eq o(OA1,sup6()eq o(BC,sup6()2，故eq o(OA,sup6()eq o(BC,sup6()eq blc(rc(avs4alco1(2，2r(2).故選A.答案A6.記maxa，beq blc(avs4alco1(a，ab，,b，ab.)在AOB中，AOB90，P為斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn).設(shè)Mmaxeq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o(OP,sup6()eq o(OB,sup6()，則當(dāng)M取最小值時(shí)，eq f(AP,PB)()A.eq r(f(OA,OB) B.eq f(OA,OB

36、)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(OA,OB)eq sup12(2) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(OA,OB)eq sup12(3)解析M取最小值時(shí)，eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()eq o(OB,sup6()，即eq o(OP,sup6()eq o(AB,sup6()0，亦即OPAB.根據(jù)直角三角形的射影定理可得eq f(|AP|,|PB|)eq f(APPB,PB2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(OP,PB)eq sup12(2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(OA,O

37、B)eq sup12(2)，故選C.答案C7.(2019浙江名師預(yù)測(cè)卷四)已知a，b是單位向量，向量c滿足|cba|ab|，則|c|的最大值為()A.2 B.2eq r(2) C.3 D.3eq r(2)解析由|c(ba)|ab|得向量c的終點(diǎn)的軌跡為以向量ba的終點(diǎn)為圓心，|ab|為半徑的圓，則|c|的最大值為|ab|ba|.又因?yàn)閨ab|ba|eq r(2（ab）2（ba）2)eq r(2（|a|22ab|b|2|b|22ab|a|2）)2eq r(2).當(dāng)且僅當(dāng)|ab|ba|，即ab時(shí)等號(hào)成立，所以|c|的最大值為2eq r(2).答案B8.(2020浙江教育綠色評(píng)價(jià)聯(lián)盟適考)在矩形AB

38、CD中，AB1，AD2，動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上，若eq o(BP,sup6()eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，設(shè)2的最大值為M，最小值為N，則MN的值為()A.eq f(2r(10),5) B.eq f(3r(10),5) C.eq f(4r(10),5) D.eq r(10)解析如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線BC，CD為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(2，0)，A(2，1)，由已知，圓C的方程為x2y2eq f(4,5)，設(shè)Peq blc(rc)(avs4alco1(f(2,r(5)cos ，f(2,r(5)sin )，又eq o(BP,sup6(

39、)eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，則eq blc(avs4alco1( f(2,r(5)cos 22，, f(2,r(5)sin ，)即2eq f(2,r(5)(sin cos )2eq f(2r(2),r(5)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)2，故MNeq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),r(5)2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),r(5)2)eq f(4r(10),5)，故選C.答案C9.(2018天津卷)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若點(diǎn)E為邊C

40、D上的動(dòng)點(diǎn)，則eq o(AE,sup6()eq o(BE,sup6()的最小值為()A.eq f(21,16) B.eq f(3,2)C.eq f(25,16) D.3解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，ABAD1，BAD120，所以A(0，0)，B(1，0)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2).設(shè)C(1，m)，E(x，y)，所以eq o(DC,sup6() eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，mf(r(3),2)，eq o(AD,sup6()eq blc(rc)(avs4a

41、lco1(f(1,2)，f(r(3),2)，因?yàn)锳DCD，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，mf(r(3),2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(r(3),2)0，則eq f(3,2)(eq f(1,2)eq f(r(3),2)eq blc(rc)(avs4alco1(mf(r(3),2)0，解得meq r(3)，即C(1，eq r(3).因?yàn)镋在CD上，所以eq f(r(3),2)yeq r(3)，由kCEkCD，得eq f(r(3)y,1x)eq f(r(3)f(r(3),2),1f(1,2)，即xeq r(3)y2，因?yàn)閑q o(AE,

42、sup6()(x，y)，eq o(BE,sup6()(x1，y)，所以eq o(AE,sup6()eq o(BE,sup6()(x，y)(x1，y)x2xy2(eq r(3)y2)2eq r(3)y2y24y25eq r(3)y6，令f(y)4y25eq r(3)y6，yeq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，r(3).因?yàn)楹瘮?shù)f(y)4y25eq r(3)y6在eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),2)，f(5r(3),8)上單調(diào)遞減，在eq blc(rc(avs4alco1(f(5r(3),8)，r(3)上單調(diào)遞增，所以f(y)min4eq blc(rc)(

43、avs4alco1(f(5r(3),8) 25eq r(3)eq f(5r(3),8)6eq f(21,16).所以eq o(AE,sup6()eq o(BE,sup6()的最小值為eq f(21,16)，故選A.答案A二、填空題10.在ABC中，BC3，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()4，則BC邊上的中線AM的長是_.解析因?yàn)閑q o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,4)(2eq o(AM,sup6()2eq o(BC,sup6()2，eq o(AM,sup6()2eq f(1,4)(4eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6(

44、)eq o(BC,sup6()2)eq f(25,4)，即|eq o(AM,sup6()|eq f(5,2)，所以BC邊上的中線AM的長為eq f(5,2).答案eq f(5,2)11.在面積S2的ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則eq o(PC,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(BC,sup6()2的最小值是_.解析取BC的中點(diǎn)為D，連接PD，則由極化恒等式得eq o(PC,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(BC,sup6()2eq o(PD,sup6()2eq f(o(BC,sup6()2,4)eq o(BC,sup6()2eq o

45、(PD,sup6()2eq f(3,4)eq o(BC,sup6()2eq f(h2,4)eq f(3,4)eq o(BC,sup6()2(其中h為A點(diǎn)向BC邊作的高)，當(dāng)且僅當(dāng)eq o(PD,sup6()eq o(BC,sup6()時(shí)取等號(hào).由上可知eq o(PC,sup6()eq o(PB,sup6()eq o(BC,sup6()2eq f(h2,4)eq f(3,4)eq o(BC,sup6()22eq r(f(h2,4)f(3,4)o(BC,sup6()2)eq r(3)S2eq r(3).答案2eq r(3)12.在RtABC中，CACB2，M，N是斜邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MNeq

46、r(2)，則eq o(CM,sup6()eq o(CN,sup6()的取值范圍是_.解析取MN的中點(diǎn)為P，由極化恒等式得eq o(CM,sup6()eq o(CN,sup6()eq f(1,4)(2eq o(CP,sup6()2eq o(MN,sup6()2eq o(CP,sup6()2eq f(1,2).問題轉(zhuǎn)化為求|eq o(CP,sup6()|的取值范圍，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，|eq o(CP,sup6()|取最小值為eq r(2)，則eq o(CM,sup6()eq o(CN,sup6()的最小值為eq f(3,2)；當(dāng)M與A(或N與B)重合時(shí)，|eq o(CP,sup6()|取最大值為

47、eq f(r(10),2)，則eq o(CM,sup6()eq o(CN,sup6()的最大值為2，所以eq o(CM,sup6()eq o(CN,sup6()的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，2).答案eq blcrc(avs4alco1(f(3,2)，2)13.(2020浙江新高考仿真卷二)在ABC中，A120，BC2eq r(13)，AC2，則AB_；當(dāng)|eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()|取到最小值時(shí)，則_.解析在ABC中，由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A，即(2eq r(13)222AB222ABcos 120，解

48、得AB6，則cos Ceq f(BC2AC2AB2,2BCAC)eq f(（2r(13)）22262,22r(13)2)eq f(5r(13),26)，則|eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()|2|eq o(CB,sup6()|22|eq o(CA,sup6()|22eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()(2eq r(13)222222eq r(13)2eq f(5r(13),26)422052，則當(dāng)eq f(20,24)eq f(5,2)時(shí)，|eq o(CB,sup6()eq o(CA,sup6()|取得最小值.答案6eq f(5,2)14.若非零向量a

49、和b滿足|ab|b|2，則|a|的取值范圍是_，|ab|的取值范圍是_.解析因?yàn)閨ab|b|a|abb|ab|b|4，又a是非零向量，所以|a|的取值范圍是(0，4，因?yàn)閨ab|ab|2|b|(ab)(ab)|ab|ab|，所以4|ab|ab|4，|ab|ab|4，又|ab|2，解得|ab|的取值范圍是2，6.答案(0，4)2，615.(2020杭州三校三聯(lián))如圖，圓O是半徑為1的圓，OAeq f(1,2)，設(shè)B，C為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()的取值范圍是_.解析設(shè)aeq o(OA,sup6()，beq o(OB,sup6()，ceq o(OC

50、,sup6()，則有|a|eq f(1,2)，|b|c|1，則eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()(ca)(cb)|ca|cb|(|c|a|)(|c|b|)eq f(3,2)23，當(dāng)且僅當(dāng)a，b同向共線，且與c反向共線時(shí)，等號(hào)成立，所以eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()的最大值為3.eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()(ca)(cb)1c(ab)ab1|c|ab|ab1|ab|ab1eq r(f(5,4)2ab)ab，令abt，則易得teq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，eq o(AC,sup6()eq o(BC,sup6()(ca)(cb)1eq r(f(5,4)2t)t，設(shè)f(t)1eq r(f(5,4)2t)teq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)tf(1,2)，則f(t)1eq f(1,r(f(5,4)2t).易得當(dāng)teq f(1,8)時(shí)，f(t)1eq