知識講解-數(shù)學(xué)歸納法(提高)(理)1218-

1、PAGE數(shù)學(xué)歸結(jié)法編稿：趙雷審稿：李霞【進修目標(biāo)】1了解數(shù)學(xué)歸結(jié)法的道理及實用范疇控制數(shù)學(xué)歸結(jié)法證題的思緒跟特色。2能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與正整數(shù)有關(guān)的命題。【要點梳理】常識點一、數(shù)學(xué)歸結(jié)法的道理數(shù)學(xué)歸結(jié)法界說:關(guān)于某些與天然數(shù)n有關(guān)的命題經(jīng)常采納上面的辦法來證實它的準(zhǔn)確性：先證實當(dāng)n取第一個值n0時命題成破；而后假定當(dāng)n=k(kN*，kn0)時命題成破，證實當(dāng)n=k+1時命題也成破這種證實辦法就叫做數(shù)學(xué)歸結(jié)法要點解釋：即先驗證使論斷有意思的最小的正整數(shù)n0，假如當(dāng)n=n0時，命題成破，再假定當(dāng)n=k(kn0，kN*)時，命題成破.(這時命題能否成破不是斷定的)，依照那個假定，如能推出當(dāng)n=k

2、+1時，命題也成破，那么就能夠遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，命題都成破.數(shù)學(xué)歸結(jié)法的道理：數(shù)學(xué)歸結(jié)法是專門證實與正整數(shù)集有關(guān)的命題的一種辦法，它是一種完整歸結(jié)法。它的證實共分兩步：證實了第一步，就取得了遞推的根底。但僅靠這一步還不克不及闡明論斷的廣泛性.在第一步中，調(diào)查論斷成破的最小正整數(shù)就充足了，不須要再調(diào)查幾多個正整數(shù)，即便命題對這幾多個正整數(shù)都成破，也不克不及保障命題對其余正整數(shù)也成破；證實了第二步，就取得了遞推的依照。但不第一步就掉掉了遞推的根底.只要把第一步跟第二步聯(lián)合在一同，才干取得廣泛性的論斷。此中第一步是命題成破的根底，稱為“歸結(jié)根底或稱專門性，第二步是遞推

3、的證據(jù)，處置的是延續(xù)性咨詢題又稱通報性咨詢題。3.數(shù)學(xué)歸結(jié)法的功用跟實用范疇1.數(shù)學(xué)歸結(jié)法存在證實的功用，它將無量的歸結(jié)進程依照歸結(jié)正義轉(zhuǎn)化為有限的專門歸結(jié)直截了當(dāng)驗證跟歸結(jié)推理相聯(lián)合進程.2.數(shù)學(xué)歸結(jié)法普通被用于證實某些與正整數(shù)n取有限多個值有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。然而，并不克不及龐雜地說所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都可應(yīng)用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實。常識點二、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸結(jié)法的步調(diào)與技能1用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步調(diào)：(1)證實：當(dāng)n取第一個值n0論斷準(zhǔn)確；(2)假定當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時論斷準(zhǔn)確，證實當(dāng)n=k+1時論斷也準(zhǔn)確由(1)，(2)可知，命題關(guān)于從n0開場的所有正整數(shù)n都準(zhǔn)確2用

4、數(shù)學(xué)歸結(jié)法證題的本卷須知1弄錯肇端n0n0不必定恒為1，也能夠n0=2或3即終點咨詢題2對項數(shù)預(yù)算過錯特不是當(dāng)尋尋n=k與n=k+1的關(guān)聯(lián)時，項數(shù)的變更易呈現(xiàn)過錯即跨度咨詢題3不應(yīng)用歸結(jié)假定歸結(jié)假定是必需求用的，假定是起橋梁感化的，橋梁斷了就過不去了，全部證實進程也就不準(zhǔn)確了即偽證咨詢題4要害步調(diào)模糊不清“假定n=k時論斷成破，應(yīng)用此假定證實n=k+1時論斷也成破是數(shù)學(xué)歸結(jié)法的要害一步，也是證實咨詢題最主要的環(huán)節(jié)，推導(dǎo)的進程中要把步調(diào)寫完好，別的要留意證實進程的謹(jǐn)嚴(yán)性、規(guī)范性即規(guī)范咨詢題3.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證題的要害：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸結(jié)法由n=k到n=k+l的證實是證實的難點，打破難點的要害是控制由n=

5、k到n=k+1的推證辦法在應(yīng)用歸結(jié)假定時，應(yīng)剖析由n=k到n=k+1的差別與聯(lián)絡(luò)，應(yīng)用拆、添、并、放、縮等手腕，或從歸結(jié)假定動身，或從n=k+1時不離出n=k時的式子，再進展部分調(diào)劑；也能夠思索二者的聯(lián)合點，以便順?biāo)爝^渡常識點三、用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證題的范例：1.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與正整數(shù)有關(guān)的恒等式；關(guān)于證實恒等的咨詢題，在由證等式也成破時，應(yīng)實時把論斷跟推導(dǎo)進程比照，也確實是咱們平日所說的雙方湊的辦法，以減小盤算的龐雜水平，從而發(fā)覺所要證實的式子，使咨詢題的證實有目標(biāo)性2.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與正整數(shù)有關(guān)的整除性咨詢題；用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實整除咨詢題時，由到時，起首要從要證的式子中拼集出假定成破的式子，而

6、后證實殘余的式子也能被某式數(shù)整除，這是數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實咨詢題的一年夜技能。3.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與正整數(shù)有關(guān)的幾多何咨詢題；數(shù)學(xué)歸結(jié)法在高測驗題中常與數(shù)列、破體幾多何、剖析幾多多么知知趣聯(lián)合來調(diào)查，關(guān)于此類咨詢題處置的要害每每在于捉住對咨詢題的所分別規(guī)范，比方在破體幾多何中要捉住線段、破體、空間的個數(shù)與交點、交線間的關(guān)聯(lián)等4.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與正整數(shù)有關(guān)的不等式.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實一些與n有關(guān)的不等式時，推導(dǎo)“nk1時成破，偶然要進展一些龐雜的放縮，偶然還要用到一些其余的證實不等式的辦法，如比擬法、綜正當(dāng)、剖析法、反證法等等5.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與數(shù)列有關(guān)的命題.由有限個專門事例進展歸結(jié)、猜測、，從而

7、得出普通性的論斷，而后加以證實是迷信研討的主要思維辦法在研討與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題中，此思維辦法尤其主要【典范例題】范例一、對數(shù)學(xué)歸結(jié)法的兩個步調(diào)的看法例1.對所有nN*，試比擬2n與n2的巨細(xì)【思緒點撥】在證實與正整數(shù)有關(guān)的命題時，要緊著重調(diào)查“終點能否為1那個易誤點。【剖析】當(dāng)n=1時，2112，即2nn2；當(dāng)n=2時，22=22，即2n=n2；當(dāng)n=3時，2332，即2nn2；當(dāng)n=4時，24=42，即2n=n2；當(dāng)n=5時，2552，即2nn2；當(dāng)n=6時，2662，即2nn2；猜測：當(dāng)n5，2nn2上面用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實猜測成破1當(dāng)n=5時，由上可知猜測成破2假定當(dāng)n=kk5時，命題成

8、破，即2nn2那么當(dāng)n=k+1時，2k+1=22k2k2=k2+k2k2+(2k+1)=(k+1)2，即當(dāng)n=k+1時，猜測成破依照1、2可知，當(dāng)n5時，2nn2都成破因而n=2或4時，2n=n2；n=3時，2nn2；n=1或n5時，2nn2【總結(jié)升華】本例是先用歸結(jié)推理設(shè)出猜測，再用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實猜測在用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實時，要留意2n與n2的巨細(xì)關(guān)聯(lián)只要在n5時才波動上去，故終點n=5另一個易錯點在假定n=k時要帶下限度前提k5觸類旁通：【變式】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實：“凸多邊形的對角線的條數(shù)是時，n的第一個取值n0該當(dāng)是_【謎底】3【高清講堂：數(shù)學(xué)歸結(jié)法401473例題3】例2.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實

9、等式：【思緒點撥】此題是一個與正整數(shù)n取有限多個值有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，故可思索用數(shù)學(xué)歸結(jié)法進展證實.【剖析】(1)事先，1=123，論斷成破.(2)假定時論斷成破，即事先，那么闡明事先論斷也成破.綜合上述，可知論斷對所有都成破.【總結(jié)升華】在應(yīng)用歸結(jié)假定論證n=k+1時等式也成破時，應(yīng)留意剖析n=k跟n=k+1時兩個等式的差別。觸類旁通：【變式1】曾經(jīng)明白n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實時，假定已假定n=k且為偶數(shù)時命題為真，那么還需證實A.n=k+1時命題成破B.n=k+2時命題成破C.n=2k+2時命題成破D.n=2k+2時命題成破【謎底】因n是正偶數(shù)，故只要證等式對所有偶數(shù)都成破，因k的下一個偶

10、數(shù)是k+2，應(yīng)選B【高清講堂：數(shù)學(xué)歸結(jié)法401473例題12】【變式2】用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實“1+nnN*，n1時，由n=kk1不等式成破，推證n=k+1時，左邊應(yīng)添加的項數(shù)是A2k1B2k1C2kD2k+1【謎底】C。左邊的特色：分母逐步添加1，末項為;由n=k，末項為到n=k+1，末項為=，應(yīng)添加的項數(shù)為2k【變式3】2016汕頭模仿改編用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實：n+1n+2n+n=132n1nN*【謎底】1當(dāng)n=1時，左邊=1+1=2，左邊=211=2，等式成破2假定n=k時，k+1k+2k+k=2k132n1成破那么當(dāng)n=k+1時，左邊=因而當(dāng)n=k+1時等式成破依照1、2可知，等式對恣意的nN*

11、都成破范例二、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實等式例3用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實：當(dāng)n2，nN*時，【剖析】1當(dāng)n=2時，左邊，左邊，n=2時等式成破2假定當(dāng)n=kn2，nN*時等式成破，即那么當(dāng)n=k+1時，當(dāng)n=k+1時，等式也成破依照1跟2知，對恣意n2，nN*等式都成破【總結(jié)升華】數(shù)學(xué)歸結(jié)法經(jīng)常用來證實與非零天然數(shù)有關(guān)的命題；在證實進程中，應(yīng)用歸結(jié)假定，只要經(jīng)過歸結(jié)假定的應(yīng)用，才到達由n=k的狀況遞推到n=k+1的狀況，保障了命題的通報性；用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實時，要留意從時的情況到時的情況是怎么樣過渡的，即要證實時等式成破，應(yīng)怎樣應(yīng)用時等式成破這一假定.顯然，分清等式雙方的形成狀況是處置這一咨詢題的要害；觸類旁通

12、：【變式】用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實：12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)()【謎底】(1)當(dāng)n=1時，左12223，右-1(21+1)=-3，命題成破.(2)假定n=k()時命題成破刻12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)那么當(dāng)n=k+1時，左邊12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2-(2k2+5k+3)-(k+1)(2k+3)-(k+1)2(k+1)+1當(dāng)n=k+1時命題成破.綜上由(1)(2)命題對都成破.例4.對恣意正偶數(shù)n，求證：【思緒點撥】

13、留意由n=k到n=k+1時，等式的雙方會添加幾多項，添加怎么樣的項【剖析】1當(dāng)n=2時，等式左邊，等式左邊，左邊=左邊，等式成破2假定n=2kkN*時等式成破，即成破當(dāng)n=2k+2kN*時，對n=2k+2nN*等式成破由1、2知，對所有正偶數(shù)n=2kkN*等式成破【總結(jié)升華】1此題為用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實咨詢題的一種新題型，傳統(tǒng)咨詢題基本上論證對延續(xù)的正整數(shù)成破，而這里釀成對延續(xù)的正偶數(shù)成破歸結(jié)假定為n=2k，與它延續(xù)的是n=2k+2，相稱于由n=k到n=k+1，應(yīng)留意領(lǐng)會數(shù)學(xué)歸結(jié)法的這種變形應(yīng)用，并把它用活2此題亦可假定n=kk為正偶數(shù)時等式成破，證實n=k+2時等式成破觸類旁通：【變式】用數(shù)學(xué)歸

14、結(jié)法證實：對恣意的nN*,1-+-+-=+.【謎底】1當(dāng)n=1時，左邊=1-=左邊，等式成破.2假定當(dāng)n=k(k1,kN*)時，等式成破，即1-+-+-=+.那么當(dāng)n=k+1時,1-+-+-+-=+-=+(-)=+,即當(dāng)n=k+1時，等式也成破，因而由12知對恣意的nN*等式成破.范例三、用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實不等式例5.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實不等式：【剖析】當(dāng)n=1時，左式，右式，左式右式，因而論斷成破假定n=k時論斷成破，即，那么當(dāng)n=k+1時，要證當(dāng)n=k+1時論斷成破，只要證，即證由均值不等式知，成破，故成破，因而，當(dāng)n=k+l時，論斷成破由可知，對恣意的nN*，不等式成破【總結(jié)升華】1數(shù)學(xué)歸結(jié)法

15、證實命題，格局謹(jǐn)嚴(yán)，必需嚴(yán)厲按步調(diào)進展；2歸結(jié)遞推是證實的難點，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)進展變形；3由k推導(dǎo)到k+1時，偶然能夠“套用別的證實辦法，如：比擬法、剖析法、放縮法等，表示出數(shù)學(xué)歸結(jié)法“靈敏的一面觸類旁通：【高清講堂：數(shù)學(xué)歸結(jié)法401473例題4】【變式1】用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實不等式【謎底】1當(dāng)n=1時，左=，右=2，不等式成破2假定當(dāng)n=k時等式成破，即那么當(dāng)n=k+1時，不等式也成破綜合12，等式對所有正整數(shù)都成破【變式2】曾經(jīng)明白，求證：n1時，.【謎底】1)n=2時，左式=,右式=，左式右式，不等式成破，n=3時，左式=,右式=，左式-右式=，左式右式，不等式成破.2)假定n=k(,k3)時

16、不等式成破，即，當(dāng)n=k+1時，即n=k+1時，不等式也成破.由12可知，n1,nN時，都有.【變式3】設(shè)數(shù)列an滿意a1=2，an+1=an+n=1，2，.證實an對所有正整數(shù)n都成破；【謎底】證法一：當(dāng)n=1時，a1=2，不等式成破.假定n=k時，ak成破，當(dāng)n=k+1時，ak+12=ak2+22k+3+2k+1+1，當(dāng)n=k+1時，ak+1成破.綜上，由數(shù)學(xué)歸結(jié)法可知，an對所有正整數(shù)成破.證法二：當(dāng)n=1時，a1=2=論斷成破.假定n=k時論斷成破，即ak，當(dāng)n=k+1時，由函數(shù)fx=x+x1的枯燥遞增性跟歸結(jié)假定有ak+1=ak+=.當(dāng)n=k+1時，論斷成破.因而，an對所有正整數(shù)n

17、均成破.范例三：用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與數(shù)列有關(guān)的命題例6.曾經(jīng)明白數(shù)列中，.()求的值；()揣測數(shù)列的通項公式，并證實.【思緒點撥】不雅看、歸結(jié)、猜測、證實，是經(jīng)常應(yīng)用的綜合性數(shù)學(xué)辦法；不雅看是處置咨詢題的前提前提，公道的試驗跟歸結(jié)，提出公道的猜測，而后證實.【剖析】()，即+，即+，()猜測.證實如下：1事先，論斷成破.假定時成破，即.即由得=，闡明事先，論斷也成破.綜合上述，可知對所有nN，都有【總結(jié)升華】用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實與遞推關(guān)聯(lián)有關(guān)的命題時依歸結(jié)假定證實時命題也成破時，除了用上假定外，必定還得用上遞推關(guān)聯(lián)，否那么假定也沒法用.這是用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實遞推關(guān)聯(lián)時值得留意的地點.觸類旁通：【變式1

18、】在數(shù)列an中,a1=1,Sn是它的前n項跟,當(dāng)n2時,(1)求的值,并揣測an的通項公式.(2)用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實所得的論斷.【謎底】1S2=a1a2=1a2,2(1a2)2=2a2(1a2)a2,解得.這時S2=,S3=S2a3=a3,2(a3)2=2a3(a3)a3,解得.這時S3=,S4=S3a4=a4,2(a4)2=2a4(a4)a4,解得.由,，猜測：n2時,數(shù)列an的通項公式是上面用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實：1)當(dāng)n=1，n=2時論斷成破.2)假定當(dāng)n=k(k2)時論斷成破,即,這時Sk=a1a2ak=,當(dāng)n=k1時,由得得,n=k1時論斷成破.由1)、2)可知對nN時論斷都成破.范例四：用

19、數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實整除性咨詢題例7.能否存在正整數(shù)m，使得fn=2n+73n+9對恣意天然數(shù)n都能被m整除?假定存在，求出最年夜的m值，并證實你的論斷;假定不存在，請闡明來由.【思緒點撥】，證實一個多項式或指數(shù)冪方式能被某數(shù)或某式子整除，也屬于與正整數(shù)n有關(guān)的命題常用數(shù)學(xué)歸結(jié)法【剖析】3436，由此猜測m=36.上面用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實：1當(dāng)n=1時，顯然成破.2假定n=k時，fk能被36整除，即fk=2k+73k+9能被36整除;當(dāng)n=k+1時，2k+1+73k+1+9=32k+73k+9+183k11，因為3k11是2的倍數(shù)，故183k11能被36整除.這確實是說，當(dāng)n=k+1時，fn也能被36整

20、除.由12可知對所有正整數(shù)n都有fn=2n+73n+9能被36整除，m的最年夜值為36.【總結(jié)升華】用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實整除咨詢題時，要害是把n=k+1時的式子分紅兩部分，此中一部分應(yīng)用歸結(jié)假定，另一部分經(jīng)過變形處置，斷定其能被某數(shù)某式整除.觸類旁通：【變式1】春淮安校級期末當(dāng)n為正奇數(shù)時，求證xn+yn被x+y整除，當(dāng)?shù)诙郊俣╪=2k1時命題為真，進而需驗證_，命題為真。解：當(dāng)n為正奇數(shù)時，求證xn+yn被x+y整除【謎底】當(dāng)n為正奇數(shù)時，求證xn+yn被x+y整除用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實時候，第二步假定n=2k1時命題為真，進而需求驗證n=2k+1。故謎底為2k+1。【變式2】用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實(nN)能被14整除.【謎底】(1)當(dāng)n=0時，能被14整除命題成破(2)假定n=kk0時命題成破，即k0能被14整除那么當(dāng)n=k+1時，能被14整除，56能被14整除能被14整除即當(dāng)n=k+1時命題也成破，綜上由(1)(2)得，命題對nN成破.范例五：用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實幾多何咨詢題例8.用數(shù)學(xué)歸結(jié)法證實：凸n邊形的對角線的條數(shù)是n(n3)n3，nN*【剖析】1當(dāng)n=3時，n(n3)=0，這確實是說，三角形不對角線，故論斷準(zhǔn)確2假定n=kk