高中數(shù)學(xué)競賽系列講座：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1、高中數(shù)學(xué)競賽系列講座：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)、對數(shù)以及指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，是高中代數(shù)非常重要的內(nèi)容。無論在高考及數(shù)學(xué)競 賽中，都具有重要地位。熟練掌握指數(shù)對數(shù)概念及其運算性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)這 一對反函數(shù)的性質(zhì)、圖象及其相互關(guān)系，對學(xué)習(xí)好高中函數(shù)知識，意義重大。一、指數(shù)概念與對數(shù)概念：指數(shù)的概念是由乘方概念推廣而來的。相同因數(shù)相乘aaa(n個)詔導(dǎo)出乘方，這里 的n為正整數(shù)。從初中開始,首先將n推廣為全體整數(shù)；然后把乘方、開方統(tǒng)一起來，推廣為有 理指數(shù)；最后，在實數(shù)范圍內(nèi)建立起指數(shù)概念。歐拉指出：“對數(shù)源出于指數(shù)”。一般地，如果a(aO,al)的b次幕等于N,就是二N, 那么數(shù)b叫

2、做以a為底N的對數(shù)，記作:logaN=b其中a叫做對數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù)。a9=N與b二logaN是一對等價的式子，這里a是給定的不等于1的正常數(shù)。當(dāng)給出b求N時, 是指數(shù)運算，當(dāng)給出 求b時，是對數(shù)運算。指數(shù)運算與對數(shù)運算互逆的運算。二、指數(shù)運算與對數(shù)運算的性質(zhì)指數(shù)運算性質(zhì)主要有3條：a 込產(chǎn),(才)(ab)x=a bs (a0, aHl, b0, bHl )對數(shù)運算法則(性質(zhì))也有3條：logs(MN)=logaM+logaNlogaM/N=logaM-logaNlogar=nlogaM(nR)(a0,al,M0,N0)指數(shù)運算與對數(shù)運算的關(guān)系:負數(shù)和零沒有對數(shù)；1的對數(shù)是零，即logal

3、=0；底的對數(shù)是1,即logaa=l對數(shù)換底公式及其推論：換底公式：logaN二logbN/logba推論 1 ： 1 ogaY二（n/m） logaN1推論2：詢右”三、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)函數(shù)y=as（a0,且dHl）叫做指數(shù)函數(shù)。它的基本情況是：（1）定義域為全體實數(shù)（-8,+8）（2）值域為正實數(shù)（0,+8），從而函數(shù)沒有最大值與最小值，有下界,y0（3）對應(yīng)關(guān)系為一一映射，從而存在反函數(shù)一對數(shù)函數(shù)。（4）單調(diào)性是：當(dāng)。1時為增函數(shù)；當(dāng)0以1時，為減函數(shù)。（5）無奇偶性，是非奇非偶函數(shù)，但y二才與y二a*的圖象關(guān)于y軸對稱,y二才與二公的圖象 關(guān)于x軸對稱；y二才與y=logax的圖象關(guān)

4、于直線y二x對稱。（6）有兩個特殊點：零點（0,1）,不變點（l,a）（7）抽象性質(zhì)：f（x）=ax（a0, a=l）,f （x+y） =f （x） f （y）, f （x-y） =f （x）/f （y）函數(shù)y=logax（a0,且&H1）叫做對數(shù)函數(shù)，它的基本情況是：（1）定義域為正實數(shù)（0,+8）（2）值域為全體實數(shù)（-8,+8）（3）對應(yīng)關(guān)系為一一映射，因而有反函數(shù)一一指數(shù)函數(shù)。（4）單調(diào)性是：當(dāng)al時是增函數(shù)，當(dāng)0Ql時是減函數(shù)。無奇偶性。但y=logax與y=log(l/a)x關(guān)于x軸對稱,y=logax與y=loga(x)圖象關(guān) i* y軸對稱,y=logax與y二h圖象關(guān)于直線y

5、二x對稱。有特殊點(1,0) , (a, 1)抽象運算性質(zhì) f (x) =logax(a0,1),f (x y)二f (x) +f (y),f (x/y) =f (x) -f (y)例.若 f (x)二(a7(ax+ Va),求 f(l/1001) +f (2/1001)+f (3/1001)+-+f(1000/1001)分析：和式中共有1000項，顯然逐項相加是不可取的。需找出f(x)的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律, 注意到 1/1001+1000/1001二2/1001+999/1001二3/1001+998/1001二二 1,而f (x) +f (lx) = (ax/(as+ V a) + (a1

6、_s/(a1_s+ V a) ) = (a=/(a+ V a) + (a/ (a+a Va) = (a7 (a=+ Va) + (Va)/(a + Va) = ( (h+ J a)/ (a + Va)=l規(guī)律找到了，這啟示我們將和式配對結(jié)合后再相 加：原式= f(l/1001)+f (1000/1001) + f(2/1001)+f (999/1001) +-+f(500/1001)+f (501/1001)1=(1 +1+1)5000 個=500說明：觀察比較，發(fā)現(xiàn)規(guī)律f(x)+f(l-x)=l是本例突破口。取滬4就是1986年的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽填空題：設(shè)f(x) = (47(O2),那么和式f

7、 (1/1001) +f (2/1001) +f (3/1001) + +f (1000/1001)的值二。上題中取d二9,則f(x) = (97(9s+3),和式值不變也可改變和式為求f (1/n)+f(2/n)+f(3/n)+f(nl)/n).設(shè)f(x) = (l/(2s+V2),利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法,可求得f(-5)+f(-4)+f(0)+f(5)+f(6)的值為。這就是2003年春季上海高考數(shù)學(xué)第12題。例2. 5叱等于：（）(A) 1/2(B) (1/5)(A) 1/2(B) (1/5)川心(C) 10loc，5 (D) 10los5：解:T5T二(10/2)T二(1

8、0心)/(2心)二(i/5)xiot選(B)說明：這里用到了對數(shù)恒等式：二N(dO,aHl,NAO)這是北京市1997年高中一年級數(shù)學(xué)競賽試題。例3訃算I呢旃-4躬)73+75 =解法1：先運用復(fù)合二次根式化簡的配方法對真數(shù)作變形。73+75 =2 H 2 2 H 2 罷 */5+1 V5-12_$:.3+ 怎- 厲=-=-=-=42.)2 J2:.log2(7iW5 -逛= log2 V2 =-2解法2：利用算術(shù)根基本性質(zhì)對真數(shù)作變形，有J3+圧-申-逅 理后運_ 爐遲十4逛+3_迅_23十-2訴=血/. log- J3-./5) = log 2 = 1/2說明：乘法公式的恰當(dāng)運用化難為易，

9、化繁為簡。例 4.試比較(Ul)/(12：003+1)與(12沖+1)/(12神+1)的大小。解：對于兩個正數(shù)的大小，作商與1比較是常用的方法,記12：0W=a0,則有(1 嚴+1)/(12吟1) 一 (12+1)/(12叫 1) = (a/12) +1)/(a+1) (12a+l)/(a+1)二(a+12)(12a+l)/(12(a+l)2) = (12a:+145a+12)/(12a:+24a+12) 1故得：(12+1) / (計+1) (122003+1)/ (12吶+1)例5.已知=低+ 4,b 為實數(shù))且 f(lglog310)=5,則 f(lglg3)的值是()-5(B) -3(

10、C) 3(D)隨 d,b 的取值而定解：設(shè) lglog310=t,則 Iglg3=lg(l/log310)=-lglog310=-t而 f(t)+f(-t) =a sin. J+ 4) + esin(-1) + b &7 + 4)=(a sin r + b+ 4) + (-(7sin _b Ji + 4) = 2/.f(-t)=8-f(t) =8-5=3說明：由對數(shù)換底公式可推出logab logba=(lgb/lga) (lga/lgb)=l,即 logab=(l/logba),因而lglog310與lg3是一對相反數(shù)。設(shè)/W = ShlX+2五宀中的部分 趾in” 衣=曲)，則g(x)為奇

11、函數(shù),g(t)+g(-t)=0o這種整體處理的思想巧用了奇函數(shù)性 質(zhì)使問題得解，關(guān)鍵在于細致觀察函數(shù)式結(jié)構(gòu)特征及對數(shù)的恒等變形。例 6.已知函數(shù) y二(l(T-l(r)/2)(XWR)求反函數(shù)y=f1(x)判斷函數(shù)y-T(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)分析：(1)求y二(1070/2的反函數(shù)首先用y把x表示出來，然后再對調(diào)x, y即得到 y二廣(x)；判斷函數(shù)y二廣(x)的奇偶性要依據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，看當(dāng)XGR時是否有f (-x) =-f (x)或(f (-X)+f (x) =0)或 f (-x) =f (x)恒成立。解：解：(1)由 y=(10 x-1072) (XER)可得 2y=10 -1

12、0 x,設(shè) 10 -t,上式化為：2y二兩邊乘t,得 2yt=t3-l 整理得：t:-2yt-l=0,解得：心“$ +1由于t二l(T0,故將宀y 阿石“舍去,得到：2卄十1將t二1(T代入上式,即得:1莎十3+1所以函數(shù)y=(10-10-0/2)的反函數(shù)是尸二域譏廠(2) (2) IIIf +了 (x)=gi+)+域只+1)=壇如車 石)a+$ +1)匸恥 41)一 =igi=o/ f-l (-X)二-f(X)所以，函數(shù)嚴域尸b是奇函數(shù)。說明：從本題求解及判斷過程可以得到更一般的結(jié)論：函數(shù)y=(as-ax72) (XeR,a0, aHl)的反函數(shù)是八堆2尸)，它們都是奇函數(shù)。當(dāng)護2, 3,

13、10或e時就構(gòu)造了新的特殊的 題目。進一步還可以研究它們的單調(diào)性，如1992年高考數(shù)學(xué)試題：函數(shù)y二(-尹)/2)的反函 數(shù)是奇函數(shù)，它在(0,+8)上是減函數(shù)；是偶函數(shù)，它在(0,+8)上是減函數(shù)；是奇函數(shù)，它在(0,+8)上是增函數(shù)；是偶函數(shù)，它在(0,+8)上是增函數(shù)。函數(shù)y二(才-八是山y(tǒng)二f (x)二h構(gòu)造而得,全日制普通高級中學(xué)教科書(試驗修訂本。 必修)數(shù)學(xué)第一冊(上)(人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室編著)P107復(fù)習(xí)參考題二B組第6 題：設(shè)y=f(x)是定義在R上的任一函數(shù)，求證：(1) Fl (x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)；(2) F2 (x)二f (x)-f (-x)是奇函

14、數(shù)。而f (x)二Fl(X)+F2(x),它說明，定義在R上的任一函數(shù)都可以表示成一個奇函數(shù)(F2 (x)與 一個偶函數(shù)(Fl(x)的代數(shù)和。從這個命題出發(fā)，由f(x)琦就可以構(gòu)造出諸多奇函數(shù)，比 如,y=(aF/2) ； y二(才-八/(才+巧)二(-1)/(屮+1)等等用自然對數(shù)的底e2. 71828(無理數(shù))作底,作函數(shù) sh(x) = (ex-e-x) /2), ch(x) = (ex+e/2), th(x) = (ex-e/們分別叫做雙曲正弦函數(shù),雙曲余弦函數(shù)，雙曲正切函數(shù),它們具有如下性質(zhì)：ch2 (x) -sh (x)=l;sh (x+y)=sh (x) ch(y) +ch(x)

15、 sh(y);ch(x+y) =ch(x) ch(y) +sh(x) sh(y);th(x+y) = (th(x) +th(y)/(1+th(x) th(y);ch (-x)二ch(x);sh(-x)=-sh(x);th(-x)=th(x).令x=y,則有sh(2x)=2sh (x) ch(x);ch (2x) =ch2 (x) +sh: (x)其中合起來，就是課本其中合起來，就是課本P107的第8題。例 7.已知函數(shù) f (x) =loga(1+x)/(1-x) (a0, aHl)求f(x)的定義域判斷f(x)的奇偶性并給以證明；當(dāng)al時,求使f(x)0的x取值范圍；求它的反函數(shù)廣(x)解：

16、(1)由對數(shù)的定義域知(l+x)/(l-x)0解這個分式不定式，得：(x+1) (x-1) 0, -1x0loga(1+x)/(lx) logal,因為al,所以由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知(l+x)/(l-x)l,考慮由(1)知x0, 去分母，得：l+xlx, x0 故:0 xl,當(dāng)xe (0, 1)時函數(shù)f(x) 0由 y=loga(l+x)/(l-x)得：(l+x)/(l-x)=a7應(yīng)用會比分比定理得：(l+x) + (l-x)/(l+X)-(l-x) = (ay+l)/(a7-l)E|J：(2/2X) = (a7+l)/(a7-l).x=(a7-l)/ (a7+l)交換 x, y 得：y=(a

17、x-l)/(ax+l),它就是函數(shù) f (x)=loga(l+x)/(l-x)的反函數(shù)廣(x)即f1(x) = (a-l)/(a+l)說明：(1)函數(shù) y=loga(1+x)/(1-x)y=(ax-l)/(ax+l)是一對反函數(shù)。取 a二e,函數(shù)y二(-1)/+1)的反函數(shù)的定義域是。這就是89年的高考題目。(2)已知 f (x) =lg(1-x)/(1+x), a, bG (-1, 1)求證：f (a) +f (b) =f (a+b)/(1+ab) (P89 習(xí)題2.8第4題)可以看作該類函數(shù)的性質(zhì)。 y琦與 y=logax； y= (a-a)/2)與八嗨 公 +). y=(as-l)/(a

18、s+l)與y=loga (1+x) / (1-x)這三對互反函數(shù)及其性質(zhì)需要理解記憶。例8. 2”03的十進制表示是個P位數(shù),5沁的十進位表示是個q位數(shù)，則p+q二解：2：003是個P位數(shù)，：.1Qv12Z0Q3W 5訃是個q位數(shù)，r.io,_15:003iol X 得：10曲 (2 X 5)2003 10尺即 10pQ_=10:OO310 2003-p+q-l：p+q二2004例9.已知x2-2x+loga(a3-a)=0有一正根和一負根,求實數(shù)a的范圍。解：方程有一正根一負根的充分必要條件是：loga(a2-a) 0, aHl, a2-a=a(al) 0,可得 al ,從而由 loga(a

19、:-a) 0=logal 得:a2ai-Vs i+ Vsi+ Vsa 7 C7 a-a-l0, b0),求使 y 為負值的 x 的取值范圍 解：(1VI,要使y1,即 a2x+2(ab)x-b2x0-*b (a/b尸+2 (a/b)=-l 0f (a/b)s :+2 (a/b) TAO一(沁“)十 1+敘a+1-f /十1+4妝。他 十l-dx1 當(dāng) dbAO 時，a/bl, *盹2當(dāng)ba0時,00 時，xWR。練習(xí)四設(shè)a, b,c都是正數(shù)，且3二6,那么()(A) (l/c) = (l/a) + (l/b), (B) (2/c) = (2/a) + (l/b), (C) (l/c) = (2/a) + (2/b),(D) (2/c) = (l/a) + (2/b)F(x) = (l+(2/(2x-l) -f(x) (xHO)是偶函數(shù)，且 f(x)不恒等于零，則 f (x)()(A)是奇函數(shù)(B)是偶函數(shù)(C)可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)(D)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)若f(x)=3x+5,則廣(x)的定義域是()(A) (0,+8)(B) (5, +8)(C) (& +8)(D) (一8,+8)求值：6叫5仙已知m, n為正整數(shù),a0, al,且logam+loga(l+(l