觀測(cè)平差教案

1、測(cè)量平差教案 PAGE 1第一章緒論第一節(jié) 觀測(cè)誤差一、觀測(cè)值中為什么存在觀測(cè)誤差？觀測(cè)條件對(duì)觀測(cè)成果產(chǎn)生影響，不可避免產(chǎn)生觀測(cè)誤差。有觀測(cè)就有誤差的結(jié)論。判斷：有觀測(cè)就有誤差。因?yàn)檎嬷挡豢傻?，所以真誤差不可得。只要測(cè)量方法得當(dāng)，測(cè)量條件足夠好， 誤差是可以避免的。多余觀測(cè)值可以控制和減小測(cè)量誤差。測(cè)量誤差可能由多項(xiàng)誤差源組合產(chǎn)生，誤差不可避免指測(cè)量中的每一項(xiàng)誤差都無(wú)法避免。選擇：觀測(cè)條件是指：觀測(cè)者、觀測(cè)儀器和外界條件。（被觀測(cè)量的真值大小） 二、觀測(cè)誤差的計(jì)算給出觀測(cè)誤差計(jì)算的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式。判斷：觀測(cè)誤差=觀測(cè)值-觀測(cè)值對(duì)應(yīng)觀測(cè)量的真值；改正數(shù)=觀測(cè)值-觀測(cè)值對(duì)應(yīng)觀測(cè)量的估計(jì)值；

2、觀測(cè)誤差改正數(shù)；因?yàn)橛^測(cè)量的估計(jì)值近似于觀測(cè)量的真值，所以觀測(cè)誤差接近于改正數(shù)。三、觀測(cè)誤差的分類及其處理1、分類給出誤差分類的表達(dá)式，粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的定義。結(jié)合測(cè)角、測(cè)距和水準(zhǔn)測(cè)量的全過(guò)程， 讓學(xué)生分析哪些因素引起的誤差屬于粗差，那些哪些因素引起的誤差屬于系統(tǒng)誤差，那些哪些因素引起的誤差屬于偶然誤差。2、處理總結(jié)粗差、系統(tǒng)誤差和偶然誤差的處理方法，讓學(xué)生舉例說(shuō)明測(cè)量上哪些操作是為了消除系統(tǒng)誤差影響的，那些計(jì)算改正為了消除系統(tǒng)誤差影響的。判斷：粗差是一種觀測(cè)誤差；粗差屬于觀測(cè)錯(cuò)誤，粗差可以避免；粗差屬于觀測(cè)誤差，因?yàn)檎`差不可避免，所以粗差不能避免；觀測(cè)誤差分為偶然誤差、系統(tǒng)誤差和粗差

3、。選擇：水準(zhǔn)測(cè)量中哪些誤差屬于系統(tǒng)誤差(讀數(shù)誤差、i 角測(cè)量誤差、尺墊使用不當(dāng)導(dǎo)致的測(cè)量誤差、水準(zhǔn)尺刻化誤差、因地球曲率導(dǎo)致的測(cè)量誤差、因水準(zhǔn)器未按規(guī)定整平帶來(lái)的誤差、儀器對(duì)中誤差)水平角測(cè)量中哪些誤差屬于偶然誤差（讀數(shù)誤差、儀器整平誤差、2C 誤差、目鏡視差、儀器對(duì)中誤差）距離測(cè)量中屬于粗差的是（定線誤差、垂曲誤差、讀數(shù)誤差、拉力誤差、溫度測(cè)量誤差、零尺端誤判）問(wèn)答：舉例說(shuō)明 3 項(xiàng)垂直角測(cè)量中的偶然誤差；偶然誤差的特性是什么？系統(tǒng)誤差的特性是什么？測(cè)量平差教案 PAGE 4四、測(cè)量平差的任務(wù)根據(jù)一系列含有觀測(cè)誤差的觀測(cè)值求待定量的最佳估值。第二節(jié)測(cè)量平差學(xué)科的研究對(duì)象研究對(duì)象為含有觀測(cè)誤差

4、的各類觀測(cè)值。舉例說(shuō)明。第三節(jié)測(cè)量平差的簡(jiǎn)史和發(fā)展一、測(cè)量平差理論的發(fā)展、經(jīng)典平差理論的發(fā)展主要介紹高斯創(chuàng)立最小二乘原理和馬爾可夫創(chuàng)立高斯-馬爾可夫平差模型的歷史背景和過(guò)程。、近代平差理論的發(fā)展主要介紹二十世紀(jì)四十年代以后出現(xiàn)的近代平差理論，結(jié)合導(dǎo)線網(wǎng)平差和我國(guó)南極考察、建站，重點(diǎn)介紹方差分量估計(jì)和秩虧網(wǎng)平差的理論、方法及其用途。二、平差計(jì)算方法的發(fā)展、手算階段 、半自動(dòng)平差階段、全自動(dòng)平差階段第四節(jié)測(cè)量平差的任務(wù)和內(nèi)容一、任務(wù)講授測(cè)量平差的基本理論和基本方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究測(cè)量平差打下深入的基礎(chǔ)。二、內(nèi)容課本各章的內(nèi)容。小結(jié)：本節(jié)介紹了觀測(cè)條件的定義，觀測(cè)條件與觀測(cè)誤差的關(guān)系，觀測(cè)誤差的

5、定義、處理，以及測(cè)量平差的發(fā)展概況。第二章誤差分布與精度指標(biāo)第一節(jié) 正態(tài)分布一、一維正態(tài)分布繪一維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)分布參數(shù)的含義。二、n 維正態(tài)分布講解繪 n 維正態(tài)分布圖，列出分布函數(shù)，講解，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)分布參數(shù)的含義。第二節(jié)偶然誤差的規(guī)律性一、偶然誤差分布1、描述誤差分布的三種方法列表法（通過(guò)實(shí)例列表講解）繪圖法（通過(guò)實(shí)例繪圖講解）密度函數(shù)法（通過(guò)實(shí)例繪圖講解）二、偶然誤差的分布特性(1) 在一定的觀測(cè)條件下，誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值。（界限性）(2) 絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率要大。（小誤差占優(yōu)性）(3) 絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。（

6、對(duì)稱性）三、兩個(gè)重要概念由偶然誤差的界限性，可以依據(jù)觀測(cè)條件來(lái)確定誤差限值(2) 由偶然誤差的對(duì)稱性知觀測(cè)量的期望值就是其真值。小結(jié)：偶然誤差有其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，研究偶然誤差的分布規(guī)律是為了更好的研究偶然誤差的處理問(wèn)題。第三節(jié)衡量精度的指標(biāo)；第四節(jié)精度、準(zhǔn)確度與精確度；第五節(jié)測(cè)量不確定度一、精密度指標(biāo)（一）觀測(cè)量的精密度指標(biāo)1、觀測(cè)條件與精密度配合誤差分布曲線講解精密度的定義和觀測(cè)條件與精密度的關(guān)系。2、幾種常用的精密度指標(biāo)（1）方差與標(biāo)準(zhǔn)差推導(dǎo)相應(yīng)公式，給出其估值公式，講解應(yīng)用實(shí)例極限誤差分析誤差出現(xiàn)在某一范圍內(nèi)的概率的大小，給出極限誤差定義公式相對(duì)誤差給出相對(duì)精度的定義，用實(shí)例講解其應(yīng)用范圍。平

7、均誤差與或然誤差給出平均誤差和或然誤差的定義，講解其在國(guó)際上應(yīng)用的范圍和地區(qū)，以及其與中誤差的關(guān)系。（二）觀測(cè)向量的精度指標(biāo)1、n 維隨機(jī)向量的方差陣導(dǎo)出 n 維隨機(jī)向量的方差陣表達(dá)形式，指出該陣是對(duì)稱矩陣，并講解矩陣中各元素的含義，同時(shí)給出當(dāng) n 維隨機(jī)向量中各隨機(jī)變量不相關(guān)時(shí)的矩陣形式。2、兩隨機(jī)向量的互協(xié)方差陣導(dǎo)出兩個(gè)隨機(jī)向量互協(xié)方差陣表達(dá)形式，并講解矩陣中各元素的含義，同時(shí)給出當(dāng)維隨機(jī)向量不相關(guān)時(shí)的矩陣形式。二、準(zhǔn)確度和精確度指標(biāo)分別給出準(zhǔn)確度和精確度的定義，及其數(shù)值指標(biāo)，繪圖講解其幾何意義。三、測(cè)量不確定度給出測(cè)量數(shù)據(jù)的不確定性、不確定度的概念，可測(cè)不確定度的計(jì)算方法，不可測(cè)不確定度

8、的估計(jì)方法。小結(jié)：精度指標(biāo)分為精密度指標(biāo)、準(zhǔn)確度指標(biāo)和精確度指標(biāo)三種，觀測(cè)成果的質(zhì)量應(yīng)用精確度指標(biāo)衡量，精密度指標(biāo)中的方差、極限誤差、相對(duì)誤差幾個(gè)指標(biāo)應(yīng)重點(diǎn)掌握。第三章協(xié)方差傳播律及權(quán)第一節(jié)數(shù)學(xué)期望的傳播律E(C) C;E(CX ) CE ( X );E( X1 X 2 X n ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n );當(dāng) Xi 相互獨(dú)立時(shí)（i=1,2, ,n）,E( X1 , X 2 , X n ) E( X1 )E( X 2 )E( X n )第二節(jié)協(xié)方差傳播律協(xié)方差傳播律是觀測(cè)值(向量)與其函數(shù)(向量)之間精度傳遞的規(guī)律。誤差的傳遞1、線性函數(shù)誤差的傳遞Y f1 x1 f

9、2 x2 . f n xn f 01Y f1 xf 2 x . f n x2n推導(dǎo)上述公式，講解式中符號(hào)的含義2、非線性函數(shù)誤差的傳遞2nY f x1x2.xn 1Y f1 xf 2 x . f n x測(cè)量平差教案 PAGE 9推導(dǎo)上述公式，講解式中符號(hào)的含義3、函數(shù)向量誤差的傳遞Y=FX+F0 Y=F(X) Y=FX講解式中符號(hào)的含義，強(qiáng)調(diào)矩陣表達(dá)式與純量表達(dá)式之間的相互表式二、協(xié)方差的傳遞1、基本公式函數(shù)向量其誤差向量為則隨機(jī)向量與其函數(shù)向量間的方差傳遞公式為DYY=F(X)Z=K(X)Y=FX Z=KXX F D FT DZ K DXKT T DYZDZYF DX K T K DX F

10、證明第一、第三式，并說(shuō)明同理可證二、四式。2 獨(dú)立觀測(cè)量函數(shù)的方差傳遞YX11221n 2 F D FT f 2 2 f 2 2 . f 2 2講解式中符號(hào)的含義，說(shuō)明公式應(yīng)用的條件，強(qiáng)調(diào)公式的重要性。3、分塊向量函數(shù)向量的方差傳遞 X Z t,1 t r,1 Y r,1 X DDXY D t , tt , rDDZYXX r , tr , r證明上式，對(duì)陣中元素加以說(shuō)明，給出兩向量不相關(guān)時(shí)該矩陣的形式。通過(guò)五個(gè)典型例題的講解說(shuō)明方差-協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用方法和計(jì)算中需注意的問(wèn)題。小結(jié)：協(xié)方差傳播律是觀測(cè)值(向量)與其函數(shù)(向量)之間精度傳遞的規(guī)律，用其解決觀測(cè)值函數(shù)（向量）的精度評(píng)定問(wèn)題。本

11、節(jié)重點(diǎn)是利用協(xié)方差傳播律解題的方法和步驟，以及只有一個(gè)觀測(cè)值函數(shù)，且觀測(cè)值之間不相關(guān)時(shí)的協(xié)方差傳播公式的應(yīng)用。第三節(jié) 協(xié)方差傳播律的應(yīng)用1、水準(zhǔn)測(cè)量的精度繪制具有 N 個(gè)測(cè)站的水準(zhǔn)高差示意圖，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出高差中誤差計(jì)算公式： h N站進(jìn)一步導(dǎo)出 S 公里觀測(cè)高差的中誤差計(jì)算公式：h Skm舉例說(shuō)明公式的應(yīng)用。2、同精度獨(dú)立觀測(cè)值的算數(shù)平均值的精度由算術(shù)平均值公式，應(yīng)用協(xié)方差傳播公式導(dǎo)出其中誤差計(jì)算公式N x 舉例說(shuō)明公式的應(yīng)用。3、若干獨(dú)立誤差的聯(lián)合影響 z 1 2 n 2 2 2 2Z12n即觀測(cè)結(jié)果的方差，等于各獨(dú)立誤差所對(duì)應(yīng)的方差之和。4、平面控制點(diǎn)的點(diǎn)位精度繪支導(dǎo)線略圖，求未

12、知點(diǎn)點(diǎn)位中誤差，用兩種方法求解。解法一：、列函數(shù)式線性化應(yīng)用協(xié)方差傳播公式計(jì)算坐標(biāo)方差計(jì)算點(diǎn)位方差解法二：利用縱向方差和橫向方差進(jìn)行計(jì)算。小結(jié)：本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容為水準(zhǔn)測(cè)量高差和同精度獨(dú)立觀測(cè)算數(shù)平均值的精度計(jì)算問(wèn)題，應(yīng)熟記計(jì)算公式，能熟練應(yīng)用公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。第四節(jié) 權(quán)與定權(quán)的常用方法一、權(quán)的定義權(quán)是衡量各觀測(cè)值在平差結(jié)果中應(yīng)起作用大小的數(shù)值。 02Pi 2 ii 1,2,., n0Pi 為觀測(cè)值 Li 的權(quán)， 2 是可以任意選定的比例常數(shù)。觀測(cè)值的權(quán)與觀測(cè)值的方差成反比。二、單位權(quán)方差權(quán)的作用是衡量觀測(cè)值的相對(duì)精度，稱其為相對(duì)精度指標(biāo)。確定一組權(quán)時(shí)，只能用同一個(gè)0， 令i=0，則得:20Pi

13、2i220 10上式說(shuō)明 2 是單位權(quán)(權(quán)為 1)觀測(cè)值的方差，簡(jiǎn)稱為單位權(quán)方差。凡是方差等于 2 的觀測(cè)值，其權(quán)000必等于 1。權(quán)為 1 的觀測(cè)值，稱為單位權(quán)觀測(cè)值。無(wú)論 2 取何值，權(quán)之間的比例關(guān)系不變。舉例（例1、例2）講解。三、測(cè)量中常用的定權(quán)方法1、水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)、用測(cè)站數(shù)定權(quán)（山地、起伏較大的丘陵）利用用測(cè)站數(shù)計(jì)算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用測(cè)站數(shù)定權(quán)的公式。CPh N解釋式中符號(hào)的含義。、用路線長(zhǎng)度定權(quán)（平地）利用用路線長(zhǎng)度計(jì)算高差中誤差的公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用路線長(zhǎng)度定權(quán)的公式。CPh S解釋式中符號(hào)的含義。舉例（例3、例4、例5）講解。 2、距離量測(cè)的權(quán)距離長(zhǎng)度可通

14、過(guò)鋼尺丈量或測(cè)距儀測(cè)距得到。下面分別討論兩種情況下的定權(quán)方法。鋼尺量距的權(quán)解釋式中符號(hào)的含義。CPS S測(cè)距儀測(cè)距的權(quán)20PS 2S S 標(biāo)稱S 106標(biāo)稱解釋式中符號(hào)的含義。3、等精度觀測(cè)算術(shù)平均值的權(quán)利用等精度獨(dú)立觀測(cè)值算術(shù)平均值的方差計(jì)算公式和權(quán)的定義式導(dǎo)出利用觀測(cè)次數(shù)定權(quán)的公式nSP C說(shuō)明公式中符號(hào)的含義。小結(jié)：權(quán)是用來(lái)衡量觀測(cè)成果的相對(duì)精度的，單位權(quán)方差可以根據(jù)計(jì)算方便任意選定，但觀測(cè)值之間的比例關(guān)系不變。水準(zhǔn)測(cè)量的權(quán)與測(cè)站數(shù)或路線長(zhǎng)度成反比；鋼尺量測(cè)的權(quán)與距離長(zhǎng)度成反比，光電測(cè)距的權(quán)用定義式計(jì)算，其中測(cè)距方差由固定誤差和比例誤差兩項(xiàng)組成；等精度算術(shù)平均值的權(quán)與觀測(cè)次數(shù)成正比。應(yīng)熟

15、記定權(quán)公式，明確公式中各符號(hào)的含義，掌握利用公式解題的方法。第五節(jié) 協(xié)因數(shù)和協(xié)因數(shù)傳播律i一、協(xié)因數(shù)定義協(xié)因數(shù)權(quán)可表示為2Q 0iii2 1/ pi 1,2,.,n方差和標(biāo)準(zhǔn)差可表式為Pi 1 QiiQii i 0ii i 02 二、協(xié)因數(shù)陣1、n 維隨機(jī)向量 X 的協(xié)因數(shù)陣定義互協(xié)因數(shù)：2 Q ,2Qij ij 0利用方差協(xié)方差與協(xié)因數(shù)弧協(xié)因數(shù)的關(guān)系導(dǎo)出協(xié)因數(shù)陣Q QQ.Q Q 1 D11 12Q.221n 2 nX2X0對(duì)稱. Q nn 上式矩陣中，Qij Qji 。當(dāng)Qij=0(ij)時(shí)，則 Xi 和Xj 互不相關(guān)。2、分塊向量的協(xié)因數(shù)陣Z X Y QQ XQ XY XQYXQY 式中，

16、QX、QY 分別為 X、Y 向量的自協(xié)因數(shù)陣，而 QXY、QYX 分別為 X 向量關(guān)于 Y 向量的互協(xié)因數(shù)陣，QXY 與QYX 互為轉(zhuǎn)置。當(dāng) QXY 等于零時(shí)，表示 X、Y 互不相關(guān)。三、權(quán)陣QQ.Q 1 PP. P QQ 11121n 11121n P Q1 Q21.222n P21P22.P2n . .QQn1m2. Qnn Pn1Pn2.Pnn 觀測(cè)值的權(quán)一般要通過(guò)對(duì)權(quán)陣求逆得到協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的倒數(shù)關(guān)系求權(quán)。當(dāng)權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)， Pi Pii 。舉例（例1、例2）講解、分析四協(xié)因數(shù)傳播律將協(xié)方差傳播公式乘以1 ，并顧及QY 201 DY20， QX 1，即可得到觀測(cè)向量 X 與

17、其函數(shù)向量D2X0Y、Z 之間的協(xié)因數(shù)傳播公式。列出相應(yīng)公式，以及只有一個(gè)函數(shù)，且觀測(cè)值之間不相關(guān)時(shí)的協(xié)因數(shù)傳播公式。舉例（例3、例4）講解、分析小結(jié)：權(quán)與協(xié)因數(shù)互為倒數(shù)關(guān)系，權(quán)陣與協(xié)因數(shù)陣互為逆陣關(guān)系，一般情況下給了觀測(cè)值的權(quán)陣求觀測(cè)值的權(quán)要先求權(quán)陣的逆陣得到其協(xié)因數(shù)陣，再利用權(quán)與協(xié)因數(shù)的關(guān)系求權(quán)；協(xié)因數(shù)傳播律與協(xié)方差傳播律公式相仿，只記住其中一套公式，再記住協(xié)因數(shù)陣與協(xié)方差陣的關(guān)系即可。第六節(jié) 由真誤差計(jì)算中誤差及其實(shí)際應(yīng)用一、利用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的基本公式P n利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用不同精度的真誤差計(jì)算單位權(quán)中誤差的基本公式0測(cè)量平差教案 PAGE 11二、由真誤差計(jì)算

18、中誤差的實(shí)際應(yīng)用1、由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差WW 3n利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出由三角形閉合差計(jì)算測(cè)角中誤差的公式 說(shuō)明公式的不嚴(yán)密性。2、利用雙觀測(cè)列之差求中誤差求單位權(quán)中誤差P dd2n利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出利用雙觀測(cè)列之差求單位權(quán)中誤差的公式不等精度觀測(cè)等精度觀測(cè)0 dd2n0 說(shuō)明公式中符號(hào)的含義。1Pi求雙觀測(cè)列單次觀測(cè)的中誤差 Li Li 0求雙觀測(cè)列平均值的中誤差利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出相應(yīng)公式不等精度觀測(cè) Li12Pi 0等精度觀測(cè)2L1_ 0i水準(zhǔn)測(cè)量雙觀測(cè)平差應(yīng)用例題小結(jié)：本節(jié)重點(diǎn)是利用雙觀測(cè)之差計(jì)算中誤差的公式及其應(yīng)用，該公式在測(cè)量中應(yīng)用廣泛，應(yīng)重點(diǎn)掌握。第七節(jié)系統(tǒng)誤差的傳播一、

19、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差與綜合誤差的方差1、觀測(cè)值的系統(tǒng)誤差偏差導(dǎo)出偏差表達(dá)公式2、觀測(cè)值的綜合誤差方差可靠性如果系統(tǒng)誤差部分是偶然中誤差部分的三分之一或更小時(shí)，則可將系統(tǒng)誤差的影響忽略不計(jì)。二、系統(tǒng)誤差的傳播導(dǎo)出傳播公式三、系統(tǒng)誤差與偶然誤差的聯(lián)合傳播導(dǎo)出傳播公式小結(jié)：了解系統(tǒng)誤差的傳播規(guī)律。第四章 平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理第一節(jié)測(cè)量平差概述一、測(cè)量控制網(wǎng)簡(jiǎn)介高程控制網(wǎng)(水準(zhǔn)網(wǎng)或三角高程網(wǎng)) 包括閉合水準(zhǔn)網(wǎng)和符合水準(zhǔn)網(wǎng)。繪出三組不同網(wǎng)形的水準(zhǔn)網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知高程點(diǎn)，未知高程點(diǎn)和觀測(cè)高差。平面控制網(wǎng)三角網(wǎng)根據(jù)觀測(cè)量的不同,三角網(wǎng)分為測(cè)角三角網(wǎng)、測(cè)邊三角網(wǎng)和邊角同測(cè)三角網(wǎng)。1)測(cè)角三角網(wǎng)包括獨(dú)立三角

20、網(wǎng)和符合三角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的三角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)和觀測(cè)角度。2)測(cè)邊三角網(wǎng)包括獨(dú)立測(cè)邊網(wǎng)和符合測(cè)邊網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的測(cè)邊網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)和觀測(cè)邊長(zhǎng)。邊角三角網(wǎng)包括獨(dú)立邊角網(wǎng)和符合邊角網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)。測(cè)量平差教案 PAGE 16導(dǎo)線網(wǎng)包括獨(dú)立導(dǎo)線網(wǎng)和符合導(dǎo)線網(wǎng)。繪出一組不同網(wǎng)形的邊角網(wǎng)。網(wǎng)中元素：已知點(diǎn)，未知點(diǎn)，觀測(cè)角度和邊長(zhǎng)。還有三維網(wǎng)、GPS 控制網(wǎng)、航測(cè)控制網(wǎng)、工程專用網(wǎng)等將在后續(xù)相應(yīng)課程中介紹。二、必要起算數(shù)據(jù)確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數(shù)據(jù)水準(zhǔn)網(wǎng)（三角高程網(wǎng)）：一個(gè)已知點(diǎn)高程測(cè)站平差

21、：一個(gè)已知方位測(cè)角網(wǎng)：一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位，一個(gè)相鄰已知邊長(zhǎng)或兩個(gè)相鄰點(diǎn)坐標(biāo)。測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：一個(gè)已知點(diǎn)坐標(biāo)，一個(gè)相鄰已知方位。各種控制網(wǎng)中少于等于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為獨(dú)立網(wǎng)，多于必要起算數(shù)據(jù)的控制網(wǎng)成為非獨(dú)立網(wǎng)或附合網(wǎng)。三、必要觀測(cè)及其數(shù)目的確定確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進(jìn)行的觀測(cè)稱為必要觀測(cè)，其符號(hào)用符號(hào) t 表示。高程網(wǎng)：t=p-q-1測(cè)站平差：t=p-q-1必要起算數(shù)據(jù)測(cè)角網(wǎng)：t=2p-q-4測(cè)邊網(wǎng)和邊角網(wǎng)：t=2p-q-3P:總點(diǎn)數(shù)或總方向數(shù)（測(cè)站平差）；q：多余起算數(shù)據(jù)數(shù)必要起算數(shù)據(jù)之外的起算數(shù)據(jù)四、多余觀測(cè)及其數(shù)目的確定必要觀測(cè)之外的觀測(cè)稱為多余觀測(cè)，其

22、數(shù)目用符號(hào) r 表示多余觀測(cè)數(shù)觀測(cè)總數(shù)必要觀測(cè)數(shù)（r=n-t）五、必要觀測(cè)和多余觀測(cè)數(shù)目計(jì)算練習(xí)計(jì)算圖 3-1 至圖 3-7 的必要觀測(cè)數(shù)和多余觀測(cè)數(shù)。小結(jié)：本節(jié)介紹了測(cè)量控制網(wǎng)的類型，和各類控制網(wǎng)中應(yīng)具備的必要起算元素，必要觀測(cè)元素，應(yīng)重點(diǎn)掌握必要觀測(cè)元素?cái)?shù)和多余觀測(cè)元素?cái)?shù)的計(jì)算。第二節(jié)函數(shù)模型1、條件平差法2、間接（參數(shù)）平差法F L 0r ,1L F X 3、附有參數(shù)的條件平差法n,1 t ,1 4、附有限制條件的間接（參數(shù)）平差法 F L, X0c,1 L F X n,1 u ,1 用簡(jiǎn)單控制網(wǎng)圖形舉例說(shuō)明。 X 0 s,1第三節(jié)函數(shù)模型的線性化設(shè)FLXF , 用泰勒公式導(dǎo)出 F 的線

23、性形式為c,1 n,1 u ,1 F F L, X 0 A Bx根據(jù)上述函數(shù)模型線性化過(guò)程，可將各種平差方法的函數(shù)模型線性化1、 條件平差法A W 0式中A 2、間接平差法，W FFLLL Bx l式中B 3、附有參數(shù)的條件平差法， lL FXX 0F X 0 ，A Bx W 0式中W F L, X 0 ，4、附有限制條件的間接平差法 Bx l cx Wx 0式中c s,u，Wx XX 0 X 0第四節(jié)測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型1、各種平差方法的隨機(jī)模型D 2 Q 2 P 12、各種平差方法的數(shù)學(xué)模型n,n0 n,n0 n,n各種平差方法函數(shù)模型的線性形式分別與平差的隨機(jī)模型聯(lián)立，即為相應(yīng)平差方法的數(shù)

24、學(xué)模型。小結(jié)：本次課所講的各種平差方法的函數(shù)模型均能建立各觀測(cè)值之間的函數(shù)關(guān)系式，正確建立這種關(guān)系式，是正確求得觀測(cè)值最可靠結(jié)果的前提。第五節(jié) 參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理一、引例已知平面三角形三內(nèi)角應(yīng)滿足或L1L2 1800 0L31 2 3 W 0式中W 1800 L L L111上方程中有三個(gè)未知數(shù)，是相容方程，只能在某一準(zhǔn)則下求得式中未知數(shù)的估值。二、最小二乘準(zhǔn)則: T D1 min顧及方差陣與權(quán)陣的關(guān)系，并用的估值 V 代替又可得 V T PV min觀測(cè)量真值向量的估值公式為：L L V式中 L 稱為觀測(cè)向量的“最或然值”向量或“觀測(cè)值的平差值”向量；V 稱為改正數(shù)向量。三、最小二乘估計(jì)

25、根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則進(jìn)行的估計(jì)稱為最小二乘估計(jì)，按此準(zhǔn)則求得一組估值的過(guò)程，稱為最小二乘平差， 由此而得到的一組估值是滿足方程的唯一解。如果方差陣 D 和權(quán)陣 P 是非對(duì)角陣，則表示觀測(cè)值是相關(guān)的，按此準(zhǔn)則進(jìn)行的平差即稱為相關(guān)觀測(cè)平差。如果是對(duì)角陣，則表示觀測(cè)值是彼此不相關(guān)的，此時(shí)稱為獨(dú)立觀測(cè)平差。n當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān)，即 P 為對(duì)角陣時(shí)，則有 V T PV P V 2 P V 2 P V 2 . P V 2 mini 1ii1122nnn當(dāng)觀測(cè)值不相關(guān), 并為等精度,即 P=I 時(shí), 則有: V T V V 2 V 2 V 2 .V 2 mini12ni 1小結(jié)：最小二乘原理是測(cè)量平差的基本原理，按

26、最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測(cè)量及其函數(shù)的結(jié)果是最可靠的結(jié)果，后續(xù)所講所有平差方法均按此準(zhǔn)則求解。第五章條件平差第一節(jié)條件平差原理一、條件方程和改正數(shù)條件方程列出用觀測(cè)值真值和真誤差表示的條件平差函數(shù)模型導(dǎo)出用按最小二乘準(zhǔn)則求得的觀測(cè)值平差值和觀測(cè)值改正數(shù)表示的條件平差的函數(shù)模型F Lr ,1 0 條件方程r ,1AV W 0 改正數(shù)條件方程r ,n n,1r ,1W F L改正數(shù)條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式舉例（單三角形函數(shù)模型的建立）二、條件方程的純量表達(dá)式和矩陣表達(dá)式r個(gè)條件方程的純量表達(dá)式：F L , L2 , Ln 011F L , L2 , Ln 021 Fr L , L2 , Ln 0

27、線性化后得改正數(shù)條件方程11122a v a v anvn wa 0b v b v b v w 0 1 12 2n nbr v r v rnvn wr 0 1 12 2其中11wa F L , L2 , Ln w F L , L , L b212n wr Fr L , L2 , Ln 1令aa2an w v 1bb1b w 1v A 12n , W 2 ,V 2 r ,1 n,1 rrr w v 12n r n 則改正數(shù)條件方程及其閉合差計(jì)算的矩陣表達(dá)式分別為AV W 0W F L三、基礎(chǔ)方程按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為 K kar ,1kb krT ，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù) V

28、 T PV 2K T AV W ， 對(duì)其求導(dǎo)整理得改正數(shù)V 的計(jì)算公式V P 1 AT K QA T K 改正數(shù)方程當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，改正數(shù)方程的純量形式為pivi 1 ai ka bikb ri kr ,i 1,2, n改正數(shù)條件方程與改正數(shù)方程聯(lián)立，稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。此時(shí)，方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。四、基礎(chǔ)方程的解將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程，得AQA T K W 0 ，令aaN AQA T AP 1 AT ，得Naa K W 0 聯(lián)系數(shù)法方程aaaa秩 RN R AQA T RA r , 即 N是個(gè)r階的滿秩方陣，由此解出aaK N 1W當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，法方程的純

29、量形式為papbpraaa k ab k ar k w 0ab k bb k br k w 0papbprbrpapbprar k br k rr kw 0解出K，將其代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù)V，在按 L L V 可求得平差值。五、條件平差步驟及示例測(cè)量平差教案 PAGE 19用具有兩個(gè)條件的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記條件方程，改正數(shù)條件方程，改正數(shù)條件方程閉合差計(jì)算式，法方程，改正數(shù)方程的表達(dá)形式，掌握用條件平差法平差的方法、步驟。第二節(jié)條件方程一、水準(zhǔn)網(wǎng)（同5.1中所述,略） 二、測(cè)角網(wǎng)單三角形（同5.1中所述，略）中心多邊形以中心三邊形為例，畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)

30、條件方程的一般表達(dá)式。重點(diǎn)講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例（中心三邊形實(shí)例）列條件方程和改正數(shù)條件方程。3、大地四邊形畫出示意圖，列出其條件方程和改正數(shù)條件方程的表達(dá)式。重點(diǎn)講解極條件的列立方法和規(guī)律。舉例上圖中，若以對(duì)角線交點(diǎn)為極列極條件，其極條件閉合差超限，說(shuō)明角度觀測(cè)存在問(wèn)題，如何返工？先讓讓學(xué)生回答，然后教師講解。三、測(cè)邊網(wǎng)1.中心多邊形畫出測(cè)邊中心三邊形示意圖。列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系導(dǎo)出以邊改正數(shù)表示的條件方程2.大地四邊形畫出測(cè)邊大地四邊形示意圖。列出以反算角表示的條件方程和改正數(shù)條件方程建立反算角改正數(shù)與邊改正數(shù)之間的關(guān)系導(dǎo)

31、出以邊改正數(shù)表示的條件方程四、邊角網(wǎng)如圖，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6應(yīng)列出6個(gè)條件方程條件分析：內(nèi)角和條件2個(gè)正弦條件2 個(gè)固定角條件1 個(gè)規(guī)定邊條件1 個(gè)邊角網(wǎng)條件方程列立例題講解分析。小結(jié)：條件方程列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)列的條件數(shù)目，保證方程之間不相關(guān)，其次應(yīng)能分析條件類型，最后應(yīng)掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出條件方程。第三節(jié)精度評(píng)定一、單位權(quán)方差估值計(jì)算0 2V T PVrV T PV 的計(jì)算：1、V T PVP V 2 P V 2 P V 2 權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)1 12 2n naa2、V T PV (QA T K )T P(QA T K ) K T AQ

32、PQA T K K T N K3、V T PV V T P(QA T K ) V T AT K W T K二、協(xié)因數(shù)陣設(shè)Z T LTW TK TV TLT列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中表中 L 與V、W、K的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明 L 與V、W、K統(tǒng)計(jì)不相關(guān)證明：表中QVV 、QLL 的計(jì)算表達(dá)式。三、觀測(cè)值平差值的精度評(píng)定D 2QLL0LL四、平差值函數(shù)的精度評(píng)定 1平差值函數(shù)表達(dá)式及其協(xié)因數(shù)計(jì)算列出平差值函數(shù)表達(dá)式f（L ，L ，, L ）12n按泰勒公式展開(kāi)，并按協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)的計(jì)算公式Q f

33、 T Qf AQf T N 1 AQfaafi（i=1,2,n）為偏導(dǎo)數(shù)值。2權(quán)函數(shù)式d f dL f dL f dL L 1 L 2 L n1 LL2 LLn LL122f1dL f dL fndLn 權(quán)函數(shù)式3平差值函數(shù)的方差D 2Q0 小結(jié):本節(jié)主要介紹了利用改正數(shù)計(jì)算單位權(quán)中誤差的公式，各種平差量協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計(jì)算，平差值函數(shù)式和權(quán)函數(shù)式的列立方法，平差值函數(shù)協(xié)因數(shù)和互協(xié)因數(shù)及方差協(xié)方差的計(jì)算方法，應(yīng)重點(diǎn)掌握。第六章 附有參數(shù)的條件平差一、概述測(cè)量平差教案 PAGE 21設(shè) X ABD，又可列出 1 個(gè)極條件和一個(gè)固定邊條件sin sin sin 極條件為（以 A 點(diǎn)為

34、極）：L5L7XL6 1sin L9 X sin L6 L8 sin L5sin sin 固定邊條件為（由 AC 邊推算到 AB 邊）： SAB SACL2 sin L3L6L8Xsin 或Ssin sin ACL2L6 L8 1SAB sin L3 sin X由于選了一個(gè)參數(shù)，增加了一個(gè)條件，一般情況下，若選了 u 個(gè)參數(shù)，則條件方程的數(shù)目為 c=r+u. 從以上 5 個(gè)方程出發(fā)進(jìn)行平差，就是附有參數(shù)的條件平差方法。二、基礎(chǔ)方程觀測(cè)量 L 和 X 的最佳估值 L L V ， X X 0 x ，用奇表示的附有參數(shù)的條件平差函數(shù)模型為F L, X 0 條件方程r ,1r ,1或AV B x W

35、0 改正數(shù)條件方程c,n n,1 c,u u ,1c,1W F L, X 0改正數(shù)條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為 K kar ,1kb krT ，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù) V T PV 2K T AV Bx W ，將 對(duì)V 和 x 分別求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，導(dǎo)出改正數(shù)V 的計(jì)算公式V P 1 AT K QA T K 改正數(shù)方程附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程為：AV B x W 0c,n n,1 c,u u ,1c,1V P 1 AT K QA T KBT K 0方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解aa將改正數(shù)方程代入改正數(shù)條件方程

36、，并令 N AQA T AP 1 AT ，則得法方程N(yùn)aa K Bx W 0BT K 0法方程秩 RN R AQA T RA c ，即 N是個(gè) c 階的滿秩方陣，顧及 N BT N 1 B由法方程aaaabbaa，可解出x N 1BT N 1W ,bbaaaaV QA T N 1 W Bx，四、精度評(píng)定（一）、單位權(quán)方差估值計(jì)算0 2V T PVV T PVrc - uV T PV 的計(jì)算：1、V T PVP V 2 P V 2 P V 2 權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)1 12 2n n2、V T PV (QA T K )T PV K T AV K TW K T Bx W T K3、V T PV W T K

37、 W T N 1W W T N 1 Bx W T N 1W BT N 1WT xaaaaaaaa（二）、協(xié)因數(shù)陣設(shè)Z T LTW TX TK TV TLT列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中證明：表中Q XX 、QVV 的計(jì)算表達(dá)式。（三）、觀測(cè)值平差值的精度評(píng)定D 2QLL0LLDXX 2Q0XX（四）、平差值函數(shù)的精度評(píng)定設(shè) L,X對(duì)其全微分，得權(quán)函數(shù)式：測(cè)量平差教案 PAGE 27d dL dX F T dL F T dXLXx式中F T LLL 12n F T xxxx 12n 按協(xié)因數(shù)傳播律得 的協(xié)因數(shù)為：Q

38、F TF T QLLQLX F x QQF F T QF F T QXLFXX F T Qx F F T QF 的中誤差為：LLLX xxXLxXX x 0Q小結(jié)：掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。第七章間接平差第一節(jié)間接平差原理一、平差值方程與誤差方程觀測(cè)量 L 和 X 的最佳故值 L L V ， X X 0 x ，用平差值和改正數(shù)表示間接平差的函數(shù)模型為L(zhǎng) F X 平差值方程（觀測(cè)方程）n,1r ,1V B x l 誤差方程n,1n,t t ,1 n,1l L F X 0 誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式以測(cè)角單三角形為例，列出平差值方程和誤差方程。二、方程的純量表達(dá)式與矩陣表達(dá)式

39、設(shè)有n個(gè)條件方程：1112L F X , X , X n L2 F2 X1 , X 2 , X n 12n Ln FnX , X , X線性化后得誤差方程為v a xb x t xt l 11 1v a x1 2b x1 t x1l 22 12 22 t2 vn an x1其中bn x2 tn xt ln l L F X 0 , X 0 , X 0 11112tl L F X 0 , X 0 , X 0 22212t l L F X 0 , X 0 , X 0 nnn12t 令abt111lv abt l v 11B 222 , l 2 ,V 2 abt l v 則誤差方程的矩陣表達(dá)式為 nn

40、n n n V Bx l誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式的矩陣表達(dá)式為l L F X 0三、基礎(chǔ)方程誤差方程中未知數(shù)個(gè)數(shù)（n+t）大于方程個(gè)數(shù)n，方程有無(wú)窮多組解。根據(jù)最小二程原理可求得滿足方程的唯一一組解。求VTPV的自由極值得基礎(chǔ)方程四、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程第一式代入第二式，令 NVBx lBT PV0bbBT PB ， WBT Pl ，得法方程N(yùn)bb x W0法方程解上方程得：bbxN 1W當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，法方程的純量形式為paax1 pabx2 patxt palpabx1 pbbx2 pbtxt pbl patx1 pbtx2 pttxt ptl 五、按間接平差法求平差值的計(jì)算步驟及

41、示例用水準(zhǔn)網(wǎng)例題講解平差的方法步驟。小結(jié)：本節(jié)應(yīng)熟記觀測(cè)方程，誤差方程，誤差方程常數(shù)項(xiàng)計(jì)算式，法方程的表達(dá)形式，掌握用間接平差法平差的方法、步驟。第二節(jié)誤差方程一、參數(shù)個(gè)數(shù)的確定與選取參數(shù)個(gè)數(shù)：等于必要觀測(cè)數(shù)t ；參數(shù)選取：水準(zhǔn)網(wǎng)一般選擇未知點(diǎn)高程為參數(shù)，也可選擇觀測(cè)高差為參數(shù)；平面控制網(wǎng)一般選擇未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，也可選擇觀測(cè)角度等為參數(shù)。參數(shù)選擇要求：足數(shù)；參數(shù)間線性無(wú)關(guān)。二、平差值方程及誤差方程的列立1、觀測(cè)高差平差值方程及誤差方程的列立例1，以具有兩個(gè)未知點(diǎn)的符合水準(zhǔn)網(wǎng)為例講解2、觀測(cè)方向平差值方程及其誤差方程的列立設(shè)X X jYjX KYjTK計(jì)算參數(shù)近似值X0 X 0000 TYXY

42、jkk平差值方程：L jk Z j jk Z j arctgY YkjX k X j Z j 0 z j jk 0 JKjkjkjjjkJK LV Z 0 z 0 JK V jk z j l jk 其中jkjjkjk l Z 0 0 L 常數(shù)項(xiàng)計(jì)算式kj 0 arctgY 0 Y 0jk jkX 0 X 0 jkYj jkX k jkYkkjxyxyJK Xj j X X 0j X X 0k X X 0kX X 0 0YJKx0 X JKy0SYJKx 0SX JKySS0 2jJK0 2jJK0 2kJK0 2kJKjk sin 0 x cos 0jky sin 0jkx cos 0jkkk

43、yS0jS0jS0S0JKJKJKJK則觀測(cè)方向的誤差方程為： 0 00 00 0v zYJK xX JKyYJK xX JKy lSjkj或0 2jJKSJK0 2j2kSJK2kjkSJKjkjjkjjkjjk kjk kjkv z ax by ax by lajk、bjk稱j、k方向的方向系數(shù)，對(duì)于任一方向jm有：jmjjmjjmjjm kjm kjmv z ax by ax by l坐標(biāo)近似值的計(jì)算：可用支導(dǎo)線法、前方交會(huì)法等方法計(jì)算。定向角近似值的計(jì)算：Z 0 0 L ,i 1,2, njijijijjZ 0 0 L n j誤差方程列立規(guī)律：符號(hào)；系數(shù)；特殊情況； T TJKKJ單位

44、：坐標(biāo)改正數(shù)為厘米時(shí)系數(shù)除100，.。3、觀測(cè)角度平差值方程及其誤差方程的列立平差值方程：誤差方程：00L ijhjkJKJKjhjkJhJKVi liijhjkil 0 0 L例2，以固定角內(nèi)插一點(diǎn)得測(cè)角網(wǎng)為例講解方程列立及求平差值的方法、步驟。4、觀測(cè)邊長(zhǎng)平差值方程及其誤差方程的列立j設(shè)： X XYjX kYTk平差值方程：X X2kjYY2kjiSi Vs isi S 0 其中siSiX j X X 0 x jy j SiYjX X 0X X 0 xkSiYkykX X 0SiX k0 X JKxYJKy0X JKxYJKy00jkkS 0S 0jS 0S 0jkjkjkjk誤差方程：V

45、 0X JKx00YJKy X JKxYJKy lSS0Si0jjk0j0k0kijkjkjkSS cosT jk 0 x j sin T jk 0 y j cosT jk 0 xk sin T jk 0 yk li常數(shù)項(xiàng)：iiiil S S 0 S X 0 X 0 2 y 0 y 0 2 單 位 cm 或 dmkjkj例3，以中心三邊形內(nèi)差一點(diǎn)的測(cè)邊網(wǎng)為例講解求未知點(diǎn)坐標(biāo)的方法、步驟。小結(jié)：觀測(cè)方程和誤差方程的列立，首先應(yīng)能正確確定應(yīng)選參數(shù)數(shù)目，保證所選參數(shù)之間線形無(wú)關(guān)， 其次應(yīng)能掌握各類方程的列立規(guī)律，正確列出相應(yīng)觀測(cè)方程和誤差方程。第三節(jié) 精度評(píng)定一、單位權(quán)方差估值計(jì)算0 2V T PV

46、rV T PV 的計(jì)算：1122nnV T PVP V 2 P V 2 P V 2 權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)V T PV Bx l T PV xT BT PV l T PV l T PBx l 顧及BT PV0 l T Pl l T PBx l T Pl BT Pl T x3、在線性方程組解算表中計(jì)算二、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣 設(shè)： L E0 xN 1BT PN 1BT PZ bbL bbF( X 0 )V BN 1BT P E BN 1BT P E bbbb L BN 1 BT P BN 1BT P E bbbb按協(xié)因數(shù)傳播導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)

47、因數(shù)陣表中L 與V和 x 與V的互協(xié)因數(shù)陣為零，說(shuō)明 L 與V、 x 與V統(tǒng)計(jì)不相關(guān)證明表中Qxx ， QVV ， QLL 的計(jì)算表達(dá)式。三、參數(shù)的精度評(píng)定設(shè)所求量（如未知點(diǎn)高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù)Xi，i=1，2，t，則測(cè)量平差教案 PAGE 30 2 2Q四、參數(shù)函數(shù)的精度計(jì)算X i0X i X i設(shè)參數(shù)函數(shù)為：（X）（X1，X 2， X t）1t線性化得權(quán)函數(shù)式為：d X XX1 0dXX 2X X 0dX 2X XX t 0dX1t122t由協(xié)因數(shù)傳播律得： f dX f dX f dX F T dXXQ F T Q FD 2Q0 五、各種平差量權(quán)函數(shù)式的列立1、高差平差值如圖設(shè)未知點(diǎn)高

48、程為參數(shù)，所求高差平差值的函數(shù)式為ih X jX k其權(quán)函數(shù)式為iddh dX jdX k若j、k為已知點(diǎn)，其dX 前的系數(shù)為零。2、方位平差值Y如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求方位平差值的函數(shù)式為k arctg YjXjkkX j求全微分得其權(quán)函數(shù)式為 Y 0 X 0 Y 0 X 0djkJKdXJKS 0 2 10JK dYJKJS 02 10jJKdXJKS 02 10JKJKkS 02 10dYK式中d jk 的單位為（）， dX 、dY 的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其dX 、dY 前的系數(shù)為零。3、角度平差值hjkj如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求角度平差值的函數(shù)式為L(zhǎng) arctgY Y

49、arctgY YjhjkX hX jX kX j求全微分得其權(quán)函數(shù)式為 Y 0 Y 0 X 0 X 0d jhjk dX jh jk dYjk S 0 2 10S 0 2 10 j S 0 2 10S 0 2 10 jjhjkjhjk Y 0 X 0 Y 0 X 0jkjkS 0 2 10dX k jkjkS 0 2 10dYK jhjhS 0 2 10dX h jhjhS 0 2 10dYh式中d jk 的單位為（）， dX 、dY 的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其dX 、dY 前的系數(shù)為零。4、邊長(zhǎng)平差值如圖設(shè)未知點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，所求邊長(zhǎng)平差值的函數(shù)式為X X2kjYY2kjS jk求全微

50、分得其權(quán)函數(shù)式為X 0Y 0X 0Y 0jkdS jk jk dX S 0jjk dY0j Sjk dX S 0kdYkS 0jkjkjkjhjk式中dS 、 dX 、dY 的單位為分米，若j、k為已知點(diǎn)，其dX 、dY 前的系數(shù)為零。第八章 附有限制條件的間接平差一、概述如上圖，選取 i、k 兩點(diǎn)的坐標(biāo)為未知數(shù), 可列出 4 個(gè)平差值方程。由于選定的未知數(shù)個(gè)數(shù)（u）多于必要觀測(cè)數(shù)（t）, 所以在所選定的未知數(shù)之間存在 s=u-t 個(gè)限制條件。X XKi2YKY2i即Y YSik 0arctgKiX K X i jk 0把上列兩式線性化得jkKcos 0 xjkKsin 0 ycos 0 xj

51、kKKsin 0 y w1 0jka jk xK b jk yK a jk xK b jk yK w2 0XX Y00200 2kjkjYw1 Sik Y 0 Y 0w2 jkarctgkiX 0 X 0ki二、基礎(chǔ)方程已知附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型 L F X n,1 u ,1 其線性形式為 X 0 s,1 Bx l cx Wx 0其中l(wèi) L F X 0Wx X 0測(cè)量平差教案 PAGE 32由于 n+sn+u,不能求得 和 x 的唯一解，只能按最小二乘原理求 和 x 的最佳故值 v 和 x ，從而求得觀測(cè)量 L 和 X 的最佳故值 L 和 X ，即L L V X X 0 x為此，可用觀

52、測(cè)值平差值和參數(shù)平差值表示附有參數(shù)的條件平差的函數(shù)模型，即L F X 平差值方程（觀測(cè)方程）n,1r ,1 X 0 限制條件方程s,1或用觀測(cè)值改正數(shù)和參數(shù)改正數(shù)表示附有限制條件的間接平差法的函數(shù)模型，即V B x l 誤差方程n,1n,t t ,1 n,1Cx Wx 0 限制條件方程l L F X 0 誤差方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式xW X 0 限制條件方程常數(shù)項(xiàng)（閉合差）計(jì)算式1按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為 K kS ,1k2ksT ，稱為聯(lián)系數(shù)向量。組成函數(shù)Sx V T PV 2K T Cx W ，將 對(duì) x 求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得 2V T P V2K T C 2V T

53、 PB 2K T C 0 ，轉(zhuǎn)置得xxSSSBT PV CT K 0 ，上式與誤差方程和限制條件方程聯(lián)立得附有參數(shù)的條件平差的基礎(chǔ)方程：SBT PV CT K 0V B x ln,1n,t t ,1 n,1Cx Wx 0方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同，方程有唯一解。三、基礎(chǔ)方程的解將基礎(chǔ)方程的第二式代入第一式與第三式聯(lián)立，得bbSN x CT K W 0 ，Cx Wx 0附有限制條件的間接平差法的法方程bb將法方程第一式左乘CN 1 與第二式相減，得bbSCN 1CT K CN 1W W 0bbx令 N cc CN 1CTbb則有TN cc KS CN 1W W 0bbccx式中 N的秩 R（

54、N）R（ CN 1CT ）R（C）S，且 N T CN 1CT CN 1CT ，故 N 為 sccbbccbbbbcc階滿秩對(duì)稱方陣。SccbbxK N 1 CN 1W W將上式代入法方程第一式，可解得bbbbccbbbbccxx N 1 N 1CT N 1CN 1 W N 1CT N 1W ，代入誤差方程可解出改正數(shù) V，從而可解出：L L VX X 0 x四、精度評(píng)定（一）、單位權(quán)方差估值計(jì)算0V T PVV T PV2r n u sV T PV 的計(jì)算：1122nnV T PVP V 2 P V 2 P V 2 權(quán)陣為對(duì)角陣時(shí)SV T PV Bx l T PV xT BT PV l T

55、PVS xT CT K l T PBx l S l T Pl xT CT K l T PBx顧及BT PV CT KxS l T Pl W T K W T x測(cè)量平差教案 PAGE 403、在線性方程組解算表中計(jì)算K（二）、協(xié)因數(shù)陣與互協(xié)因數(shù)陣令 ： ZT LTWTTX TV TLTS列出各分塊向量解的表達(dá)式及其微分式，利用協(xié)因數(shù)傳播律導(dǎo)出各量的協(xié)因數(shù)陣和各量之間的互協(xié)因數(shù)陣的結(jié)果列于相應(yīng)表中，講解。（三）、參數(shù)的精度評(píng)定設(shè)所求量（如未知點(diǎn)高程或縱橫坐標(biāo)）為參數(shù) Xi,i=1,2,t,則 2 2Q（四）、參數(shù)函數(shù)的精度計(jì)算Xi0Xi Xi設(shè)參數(shù)函數(shù)為：（X）（X1，X 2， X t）線性化得權(quán)

56、函數(shù)式為：d X XX1 0dXX 2X X 0dX 2X XX t 0dX1t122t1t f dX f dX f dX F T dX由協(xié)因數(shù)傳播律得：XQ F T Q FD 2Q0 Q0小結(jié)：掌握此種平差方法的應(yīng)用范圍，平差的方法步驟。第九章誤差橢圓9.1 概述；9.2 點(diǎn)位誤差一、點(diǎn)位誤差的概念及計(jì)算1、點(diǎn)位真誤差如圖可得：2 2 2 ,2 2 2 ，PxyPSu無(wú)法求得（為什么?） 2、點(diǎn)位方差及其計(jì)算由方差的定義式可得：xx 2E（xEx）2 E（xx）2 E（xx）2 E（ 2）yy 2E（yEy）2 E（yy）2 E（yy）2 E（ 2）故有E（ 2）E（ 2）E（ 2） 2 2

57、Pxyxy同理有：E（ 2）E（2）E（ 2） 2 2p記 2E（PP2），則有：suSu 2 2 2 2 2點(diǎn)位方差計(jì)算式PxysuP上式說(shuō)明點(diǎn)位方差2 的大小與坐標(biāo)軸的方向無(wú)關(guān),即與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。用點(diǎn)位方差衡量 P 點(diǎn)精度的缺陷：不能完善說(shuō)明 P 點(diǎn)在任一各方向上的精度情況，不能確定 P 點(diǎn)在哪一個(gè)方向上的精度最好（最差）。二、P 點(diǎn)在任意方向上的位差由圖可得下列關(guān)系式: PP PP P P cosx sin y cossin xy由協(xié)方差傳播律得: 2 2 cos2 2 sin 2 2 sin 2xyxy或 2 2Q0 0 x 2 Qcos2 Qsin 2 Qsin 2yxy上式即為

58、求任意方位角方向上點(diǎn)位方差的計(jì)算公式。三、位差的極值方向、極大值和極小值的確定P0由位差計(jì)算式可以看出, 隨著值的變化而改變，其具有最大值和最小值。函數(shù)有極值，其一階導(dǎo)數(shù)等于零，設(shè)位差的極值方向?yàn)?,求導(dǎo)得出0tg22Qxy0將 代入位差計(jì)算式得:Qx Qy00 x 2 2 (Qcos2 Qysin 2 Qxysin 20 )000 x0 2 (Qcos2 Qysin 2 Qxy2tg0 1 tg 200極值方向的判別方法:Qxy 0，極大值在第、象限 ，極小值方向在第、象限； Qxy 0，極大值在第、象限，極小值方向在第、象限位差極大值、極小值的計(jì)算：EF用 表示極大值方向、 90 0 表示

59、極小值方向；用 E、F 分別表示位差的極大值和極小值。e則有0 xE 2 2 (QEcos2 QyEsin 2 Qxysin 2E) 0 xF 2 2 (Qcos2 Qysin 2 Qxysin 2F)0FF把 代入位差計(jì)算式整理得E 2 1 2 (Q Q ) K 20 xy1F 2 2 (Q02xQy) K 其中Q Q2xy 4Q2xyK P 2 與E 2 、 F 2 有下面關(guān)系:P2 E 2 F 2四、用 E、F 表示的任意方向上的位差由圖可知,任意方向在兩個(gè)坐標(biāo)系中的方位角有如下關(guān)系: EE把 代入位差計(jì)算式整理得: 2 E 2 cos2 F 2 sin 2 cm2 s2例 1 如圖,在

60、固定三角形內(nèi)插入一點(diǎn) P,經(jīng)過(guò)平差后求得 P 點(diǎn)坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣為: QxQxy 3.81 0.36Qy yxQ 0.362.93 單位權(quán)方差估值為 2 1.96 s2 。0試求(1) 位差的極值方向E 和F , (2) 位差的極大值 E 與極小值 F, (3) 已算出 PM 的方位角PM 75 29,PM 方向上的點(diǎn)位誤差為多少, (4) P 點(diǎn)的點(diǎn)位方差。例 2如圖, 已知xA 4578.67m,yA 3956.74m, 。ABT 34518為確定 P 點(diǎn)的位置,作如下觀測(cè): 891542 4.0,S 600.150m 10mm試確定 P 點(diǎn)位差的極大值及其方向。PAPA例 3在例 2 中,