《自動(dòng)控制理論》第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正

1、PAGE PAGE 44第7章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正重點(diǎn)與難點(diǎn)一、基本概念1. 脈沖傳遞函數(shù)及其特性脈沖函數(shù)的定義：脈沖函數(shù)的基本性質(zhì)：脈沖函數(shù)的抽樣性質(zhì)：脈沖函數(shù)的頻率特性的頻譜：時(shí)移脈沖的頻譜：均勻脈沖序列：其頻譜為： 式中 為采樣角頻率。按照傅里葉反變換公式可得：2. 信號(hào)的采樣及恢復(fù)設(shè)連續(xù)信號(hào)的頻譜為的采樣信號(hào)為故采樣信號(hào)的頻譜為：即連續(xù)信號(hào)經(jīng)采樣后，頻譜產(chǎn)生周期性延拓。如果要使采樣信號(hào)不失真地復(fù)顯出，采樣頻率（或采樣周期）與頻譜必須滿足以下條件： 為了避免高于頻率的干擾頻譜進(jìn)入采樣，造成頻譜混淆，可以在采樣信號(hào)后加一低通濾波器。最簡(jiǎn)單的低通濾波器是零階保持器，它能把某一時(shí)刻的采樣

2、值，恒值地保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻，其傳遞函數(shù)為頻率特性為3. Z變換離散函數(shù)的Z變換定義為Z變換存在的條件是離散函數(shù)的Z變換方法有級(jí)數(shù)求和法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法等。Z反變換的方法有長(zhǎng)除法、部分分式法、留數(shù)計(jì)算法等。4. 離散控制系統(tǒng)的數(shù)字描述差分方程表達(dá)了系統(tǒng)輸出在采樣時(shí)刻的性能。對(duì)于完全是離散的系統(tǒng)，其輸入、輸出信號(hào)均為離散信號(hào)的線性系統(tǒng)，可用N階線性差方程來(lái)描述：y (t)x*(t)g(t)y*(t)圖7.1 開(kāi)環(huán)采樣系統(tǒng)x(t)如圖7.1所示的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，為系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間脈沖響應(yīng)。根據(jù)卷積和公式，時(shí)系統(tǒng)的輸出為：當(dāng)系統(tǒng)給定時(shí)，為常數(shù)。這樣根據(jù)上式就可寫(xiě)出系統(tǒng)的差分方程。系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

3、（又叫傳遞函數(shù)）是指在零初始條件下，系統(tǒng)輸出的變換與輸入的變換之比，即脈沖傳遞函數(shù)即可根據(jù)系統(tǒng)連續(xù)傳遞函數(shù)或脈沖響應(yīng)求取，也可根據(jù)系統(tǒng)的差分方程求取。可以證明：當(dāng)若干個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，如果環(huán)節(jié)間均有同步采樣器，則系統(tǒng)總的傳遞函數(shù)等于各組成環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積，即如果串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無(wú)同步采樣器，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于各組成環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)相乘后的變換，即閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，根據(jù)采樣開(kāi)關(guān)的位置不同有不同的形式。幾種典型閉環(huán)離散系統(tǒng)的方框圖及其輸出的變換參見(jiàn)表7-1。表7-1 幾種典型閉環(huán)離散系統(tǒng)的方框圖及其輸出的變換 序號(hào)系 統(tǒng) 方 框 圖輸出的Z變換Y(z)12345 67 5. 離散控制系統(tǒng)分析離散控制系

4、統(tǒng)的分析主要是穩(wěn)定性、瞬態(tài)質(zhì)量和穩(wěn)態(tài)誤差的分析。（1）穩(wěn)定性。對(duì)于離散系統(tǒng)，其穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的極點(diǎn)均在平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。判定系統(tǒng)的極點(diǎn)是否在以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)可以對(duì)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進(jìn)行變換或變換，即然后對(duì)變換后的（或）傳遞函數(shù)的特征方程，應(yīng)用勞斯判據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性判別。（2）瞬態(tài)質(zhì)量。如果離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型已知，則通過(guò)變換，可以方便地求出系統(tǒng)在典型信號(hào)作用下的瞬態(tài)響應(yīng)，從而知道系統(tǒng)的瞬態(tài)質(zhì)量。離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)決定于系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)在平面上的分布。圖7.2和圖7.3示意性地繪制出了系統(tǒng)的極點(diǎn)位置與瞬態(tài)響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖7.2 不同實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)（1），極點(diǎn)在單位圓外正

5、實(shí)軸上，時(shí)間響應(yīng)是發(fā)散的；（2），極點(diǎn)在正實(shí)軸的單位圓上，時(shí)間響應(yīng)始終等于；（3），極點(diǎn)在單位圓內(nèi)正實(shí)軸上，時(shí)間響應(yīng)為單調(diào)衰減過(guò)程；（4），同（3），更接近圓心，衰減過(guò)程更快；（5），極點(diǎn)在單位圓內(nèi)負(fù)實(shí)軸上，時(shí)間響應(yīng)為衰減振蕩過(guò)程，系正負(fù)交替衰減振蕩，振蕩頻率最高（周期為2T）；（6），極點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸的單位圓上，響應(yīng)的幅值為的正負(fù)交替等幅振蕩；（7），極點(diǎn)在單位圓外負(fù)實(shí)軸上，響應(yīng)為正負(fù)交替發(fā)散振蕩過(guò)程。（3）穩(wěn)態(tài)誤差。單位反饋系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為由此可見(jiàn)，離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)和系統(tǒng)本身均有關(guān)系。和連續(xù)系統(tǒng)一樣，對(duì)于不同參考輸入，其穩(wěn)態(tài)誤差分別如下。當(dāng)單位階躍輸入時(shí)，式中 ，稱(chēng)為位置誤差系數(shù)。

6、圖7.3 不同實(shí)數(shù)根對(duì)應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)（1），極點(diǎn)在單位圓外正實(shí)軸上，時(shí)間響應(yīng)序列是發(fā)散振蕩的；（2），極點(diǎn)在正實(shí)軸的單位圓上，時(shí)間響應(yīng)序列為等幅振蕩；（3），極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，時(shí)間響應(yīng)是衰減振蕩序列，振蕩周期為，如的的振蕩周期為，的的振蕩周期為，的的振蕩周期為。 當(dāng)單位斜坡輸入時(shí)，式中 ，稱(chēng)為速度誤差系數(shù)。當(dāng)單位拋物線輸入時(shí)，式中 ，稱(chēng)為加速度誤差系數(shù)。和連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似，離散系統(tǒng)可按有幾個(gè)的極點(diǎn)來(lái)確定系統(tǒng)的類(lèi)型。6. 最小拍采樣系統(tǒng)的綜合D(z)G(s)TTG0(s)圖7.4 采樣控制系統(tǒng)綜合如圖7.4所示，離散控制系統(tǒng)的綜合，就是確定滿足一定性能指標(biāo)的數(shù)字校正裝置。最小拍采樣系統(tǒng)是從瞬態(tài)過(guò)程快速性

7、加以考慮的。綜合的目的是使系統(tǒng)在一定輸入信號(hào)作用下，其瞬態(tài)過(guò)程能在有限個(gè)采樣周期（拍）內(nèi)結(jié)束。綜合的任務(wù)是要確定采樣控制器的脈沖傳遞函數(shù)，保證閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為為有限值如圖7.4所示的系統(tǒng)，校正裝置的傳遞函數(shù)為式中 。對(duì)于無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差的最少拍系統(tǒng)的綜合，因不同，最少拍系統(tǒng)的性能也就不同。因此可以選擇適當(dāng)?shù)模瓜到y(tǒng)對(duì)某種輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。二、難點(diǎn)及求解方法1變換及反變換在進(jìn)行變換時(shí)必須注意輸入部分和輸出部分均可以按開(kāi)關(guān)方式傳輸信號(hào)，否則會(huì)引起錯(cuò)誤，的反變換可用進(jìn)行部分分式展示，然后再進(jìn)行反變換。2. 校正網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)當(dāng)采樣周期較小時(shí)，可以用連續(xù)域的方法先設(shè)計(jì)連續(xù)系統(tǒng)，然后再離散化。連續(xù)域的設(shè)

8、計(jì)方法可參見(jiàn)第六章。3. 變換時(shí)的處理為了簡(jiǎn)化計(jì)算，在分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，變換應(yīng)該按下面方法進(jìn)行。若特征方程按形式給出，則即先代入后展開(kāi)。若特征方程按的多項(xiàng)式表達(dá)的形式給出，則用上述方法可以減少計(jì)算量。三、基本要求（1）掌握采樣定理及采樣系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別與聯(lián)系；（2）變換及反變換、域穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差分析方法，系統(tǒng)的響應(yīng)求法；（3）離散域及連續(xù)離散化設(shè)計(jì)方法。 例題解析例7-1 根據(jù)定義 試求的變換 。解：本例是根據(jù)求變換。求解過(guò)程如下： 求，得：。 求，|所以求 =*求令，則 將代入上式，可得為例7-2 試求 的變換。解：求變換的另一種方法是直接利用變換表。先將展為部分分式，然后求每一部分分

9、式項(xiàng)的變換，并將它們組合在一起便可得。 將展成部分分式，則有： 求每一部分分式項(xiàng)的變換：得與相應(yīng)的變換，與相應(yīng)的變換為，所以 例7-3 試用部分分式法，冪級(jí)數(shù)法和反變換公式法求函數(shù)的反變換。解一： 用冪級(jí)數(shù)法求反變換用長(zhǎng)除法將展為所以，相應(yīng)的脈沖序列為代表的脈沖序列如圖7-1所示。相應(yīng)采樣時(shí)刻的值為：解二：將展開(kāi)成部分分式求反變換為了能在Z變換表中得到相應(yīng)的的形式，需將表示為如下形式：圖7-1所以 得：采樣時(shí)刻的值為所以解三: 用反變換公式法求z反變換由知，它有兩個(gè)極點(diǎn)z10.8和z20.1，所以其中所以采樣時(shí)刻的值為 所求z的反變換為可以看出，三種反變換的方法結(jié)果是一致的。例7-4 求（T為

10、采樣周期）的脈沖傳遞函數(shù)。解: 例7-5 已知，試求Z反變換。解: ，有兩個(gè)二重極點(diǎn)，即。在點(diǎn)的留數(shù) 例7-6 試求圖7-2所示系統(tǒng)的輸出Z變換C（）。C（s）(1)C（s）R（s）R（s）(2)圖72解:（1） （2） 例7-7 求圖7-3所示采樣系統(tǒng)輸出C（）表達(dá)式。解: 而 因此 E（s）R（s）G1（s）G3（s）G2（s）C（s） SHAPE * MERGEFORMAT D(s)圖7-3所以 即 例7-8 試求下列函數(shù)的初值和終值。（1）（2）（提示：應(yīng)用終值定理是有條件的，即函數(shù)在單位圓上和單位圓外解析。）解：（1）由初值定理得由于有四個(gè)極點(diǎn)，且都位于單位圓內(nèi)，故由終值定理得（2）

11、由初值定理得由于三個(gè)極點(diǎn)中，有兩個(gè)極點(diǎn)z11.2和z22在單位圓外，故不能直接用終值定理求解。可用綜合除法判斷其終值。例7-9 試用z變換法求解下列差分方程：已知以及當(dāng)時(shí)，解：因，于是有令，且，由z變換的實(shí)位移定理得對(duì)差分方程兩邊取z變換，經(jīng)整理后有本例中的初值和可根據(jù)題設(shè)條件：當(dāng)，來(lái)確定。確定：由題設(shè)可直接定出確定：以代入原方程得由題設(shè)可知，代入上式后可得。將所求的初值代入z變換方程中，得所以 求的z反變換方法很多，下面僅用部分分式法求解：因 所以 求得，故可得的反變換為故可得各個(gè)時(shí)刻的值為例7-10 設(shè)有圖7-4（a），（b）所示系統(tǒng)，均采用單速同步采樣周期T。試求各系統(tǒng)的輸出C（z）表達(dá)

12、式。C（s）R（s）T(a)R（s）C(s)G1（s）TG2（s）TTG3（s）(b)圖7-4解: 對(duì)于圖7-4（a）所示系統(tǒng)，對(duì)于圖7-4（b）所示系統(tǒng)， N（s）例7-11 采樣系統(tǒng)如圖7-5所示，采樣周期T=0.2s。當(dāng)R（s）=0時(shí)，求在擾動(dòng)信號(hào)n（t）單位階躍函數(shù)作用下，系統(tǒng)輸出的脈沖序列C（z）及c*（t）（注：利用長(zhǎng)除最少計(jì)算兩項(xiàng)）。+C（s）R（s）TT圖7-5解: 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖直接可得，當(dāng)R（s）=0，N（s）=1/s時(shí) =用冪級(jí)數(shù)法將C（z）展成下式故 例7-12 設(shè)圖7-6所示各系統(tǒng)均采用單速同步采樣，其采樣周期為T(mén)。試求各采樣系統(tǒng)的輸出C(z)表示式。圖7-6 采樣系統(tǒng)

13、結(jié)構(gòu)圖解： 圖7-6（a）：為了便于分析，在該系統(tǒng)輸出端虛設(shè)一理想采樣開(kāi)關(guān),如圖7-7中虛線所示，它與輸入采樣開(kāi)關(guān)同步工作，具有同樣的采樣周期，這樣，在和兩個(gè)采樣開(kāi)關(guān)之間可以定義脈沖傳遞函數(shù)為所以，采樣系統(tǒng)的輸出為 圖7-7 開(kāi)關(guān)采樣系統(tǒng) 圖7-6（b）：因閉環(huán)采樣系統(tǒng)的前向通路有采樣開(kāi)關(guān)存在，故計(jì)算是有定義的，且根據(jù)的計(jì)算公式有其中。故所求系統(tǒng)的輸出的表達(dá)式為 圖7-6（c）：因所示系統(tǒng)可等效為7-8所示的形式，由圖可以看出，在內(nèi)回路和外回路的前向通路中均有采樣開(kāi)關(guān)存在，故計(jì)算是由意義的。由圖可求得內(nèi)回路的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為圖7-8 閉環(huán)采樣系統(tǒng)由的計(jì)算公式有其中 故所求系統(tǒng)輸出的表達(dá)式為

14、圖7-6（d）：由于所示閉環(huán)采樣系統(tǒng)中有兩條前向通路，因此在求時(shí)需要將這兩條通路都考慮進(jìn)去。由圖得和分別為 故所求系統(tǒng)輸出的表達(dá)式為： 例7-13 如圖7-9所示的離散時(shí)間系統(tǒng)，試求其單位階躍響應(yīng)。采樣周期T=1。R（s）E（s）C（s）圖7-9解: 閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為而 所以 對(duì)C（）進(jìn)行反變換，就可以得到各采樣時(shí)刻的輸出值。c(0)=0 c(T)=0.368 c(2T)= 1.000 c(3T)=1.340c(4T)=1.340 c(5T)=1.147 c(6T)=0.894 c(7T)=0.802c(8T)=0.866 例7-14 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖7-10所示，試畫(huà)出參數(shù)穩(wěn)定域曲線（

15、為采樣周期）。圖7-10 閉環(huán)采樣系統(tǒng)解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為閉環(huán)特征方程為：解一: 用勞斯判據(jù)求解令，代入方程化簡(jiǎn)后得列出勞斯表如下根據(jù)勞斯判據(jù)得系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為及 由上式可找出采樣周期與放大系數(shù)之間的關(guān)系。畫(huà)出穩(wěn)定邊界曲線，即曲線如圖7-11所示。由圖可看出，采樣周期增大，即采樣頻率減小，臨界值減小，從而降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。圖7-11 采樣周期T與放大系數(shù)K解二：用朱利判據(jù)求解在閉環(huán)特征方程中，因故，即本例中的朱利陣列只有一行。故所求陣列為 根據(jù)朱利判據(jù)穩(wěn)定性要求：得系統(tǒng)穩(wěn)定條件為 及 可以看出，由勞斯判據(jù)和朱利判據(jù)得到的系統(tǒng)穩(wěn)定條件是一樣的。但利用朱利判據(jù)比較簡(jiǎn)單。例7-15 設(shè)系統(tǒng)

16、的結(jié)構(gòu)如圖7-12所示，采樣周期T=1。設(shè)K=10，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。R（s）E（s）C（s） 圖7-12解:（1）由圖7-12得：其對(duì)應(yīng)脈沖傳遞函數(shù) 從而求得閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 由此得系統(tǒng)的特征式為 求解上述方程可得一對(duì)共扼復(fù)根 分布在單位圓外，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。（2）由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)求得系統(tǒng)的特征方程為進(jìn)行W變換得到列勞斯表計(jì)算 2.736-0.104K 0.632K 1.264-0.528K 0 0.632K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須有勞斯表第一列各項(xiàng)系數(shù)為正的條件，即必有得到系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)為 Kc=2.4例7-16 試分別用靜態(tài)誤差系數(shù)和動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法計(jì)算圖

17、7-13所示系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（1）已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-13所示，其中。（2）已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-14所示，其中圖7-13 圖7-14 解：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為 令,代入上式簡(jiǎn)化后得解一：靜態(tài)誤差系數(shù)法可以看出開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為型。因此位置誤差系數(shù) 速度誤差系數(shù) 加速度誤差系數(shù) 故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 解二： 動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法 因系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為 故 誤差系數(shù)為 又所求之誤差級(jí)數(shù)為 所以 （2）系統(tǒng)開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為令,代入上式化簡(jiǎn)后得 解一：靜態(tài)誤差系數(shù)法顯然，系統(tǒng)為型系統(tǒng)，因此速度誤差系數(shù)故，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 解二：動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法因系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為 所以誤差系數(shù)為所求系統(tǒng)的誤差級(jí)數(shù)為

18、 故例7-17 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-15所示，K=10，T=0.2s，r（t）=1（t）+t+1/2t2。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 K0.5sC（s）（s）R（s） SHAPE * MERGEFORMAT T圖715解: 系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為把T=0.2代入得 可以求出：位置誤差系數(shù)速度誤差系數(shù)加速度誤差系數(shù)所以系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為例7-18 如圖7-16所示系統(tǒng)，已知用根軌跡法確定K值的穩(wěn)定范圍。采樣周期T=0.5s。 SHAPE * MERGEFORMAT C（s）R（s） 圖7-16解: 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 得到脈沖傳遞函數(shù)顯然根軌跡起始點(diǎn)為1和0.6065。系統(tǒng)特征方程為 其特征根 當(dāng)0K

19、61.73時(shí)，z1，2均為實(shí)根，而當(dāng)0.221K61.73時(shí)，z1，2為共扼復(fù)根。特別是 當(dāng)K=0時(shí)， z1=1 z2=0.6065當(dāng)K=0.221時(shí)， z1，2=0.7915（重根）當(dāng)K=61.73時(shí)， z1，2=-2.485（重根）圖 717為求共扼復(fù)根軌跡，取代入特征方程，并分別列出實(shí)部與虛部得 說(shuō)明特征方程的共扼復(fù)根都位于上式所描述的圓上。所以可以做出如圖7-17所示根軌跡。 在z平面上作出單位圓，由圖上可以看出，當(dāng)0K0.22時(shí)系統(tǒng)非振蕩穩(wěn)定，當(dāng)0.22K4.36時(shí)系統(tǒng)振蕩穩(wěn)定，當(dāng)K4.36時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖7-18 閉環(huán)采樣系統(tǒng)例7-19 設(shè)采樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-18所示，其中，試

20、在伯德圖上分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由圖可的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 從而求得 令，得 以2代入得以代入得 對(duì)數(shù)頻率特性的交接頻率分別為 將對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別畫(huà)在圖719上，得 所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但穩(wěn)定裕度較小。 圖 719例7-20 離散系統(tǒng)如圖7-20所示。試分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定K值的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)： 對(duì)應(yīng)的z變換： 圖720閉環(huán)特征方程：即： 若要求閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求|z|0，K0即 0K4.329例7-22 已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-22所示，其中ZOH為零階保持器，T0.25s。當(dāng)r(t)=2+t，欲使穩(wěn)態(tài)誤差小于0.1，試求K值。解：開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù)： 圖7-2

21、2 在階躍輸入R1(z)下的穩(wěn)態(tài)誤差ess10，而單位斜坡輸入R2(z)下的穩(wěn)態(tài)誤差ess2為常值，且：故系統(tǒng)在r(t)=2+t作用下總的穩(wěn)態(tài)誤差為： 若要求ess0.1，即1/K10。例7-23 某數(shù)字控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-23所示。已知,為正整數(shù)，為零階保持器，試設(shè)計(jì)數(shù)字校正器，使系統(tǒng)在單位階躍輸入下輸出量滿足圖7-24所示的波形。圖723 數(shù)字系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 圖 724 系統(tǒng)輸出特性解：根據(jù)題意由其中為系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，且。由于 因此由 可得例724 已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-25所示。其中，采樣周期T=1s，連續(xù)部分傳遞函數(shù)。試求當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，系統(tǒng)無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，過(guò)渡過(guò)程在最少

22、拍內(nèi)結(jié)束的數(shù)字控制器D(z)。解： 圖7-25依最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，有故數(shù)字控制系統(tǒng)器的脈沖傳遞函數(shù)：例7-25 已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-26所示，其中采樣周期T=1s。若要求系統(tǒng)在單位斜坡輸入時(shí)實(shí)現(xiàn)最少拍控制，試求數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)D(z)。解：系統(tǒng)連續(xù)部分傳遞函數(shù)：而 圖726 依據(jù)r(t)=t，依最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)： 誤差脈沖傳遞函數(shù)： 數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)： 例7-26 已知離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7-27所示。采樣周期T=1s。要求設(shè)計(jì)一數(shù)字控制器D(z)，使系統(tǒng)單位斜坡函數(shù)t輸入時(shí)，系統(tǒng)無(wú)波紋無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，且在最小拍結(jié)束過(guò)渡過(guò)程。解：

23、由題7-25可知：圖 727 選?。?其中，a，b，c為待定常數(shù)。對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等(因?yàn)?，故解得： 所以： 數(shù)字控制器： 例7-27 已知系統(tǒng)方框圖如圖7-28所示，且采樣周期T=1s試設(shè)計(jì)系統(tǒng)使其對(duì)r（t）=1（t）的響應(yīng)穩(wěn)態(tài)偏差為0，并且在有限拍內(nèi)結(jié)束過(guò)渡過(guò)程。G0（s）R（s）C（s）圖728解: 因?yàn)樗杂性O(shè)q為G0（z）中分母高于分子的階數(shù)，有q=0要求系統(tǒng)無(wú)差度，選擇所以 校正后系統(tǒng)方框圖如圖7-29所示。G0（s）1.58R（s）0.58圖729例7-28 設(shè)離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖7-30所示。要求當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為 時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為0，并在有限拍結(jié)束過(guò)度過(guò)程。試分別用連續(xù)式校正和離散式

24、校正設(shè)計(jì)上述系統(tǒng)。采樣周期。R（s）C（s） SHAPE * MERGEFORMAT 圖730解: 由于 而系統(tǒng)的不可變部分 其對(duì)應(yīng)的 選擇 （1）用離散校正方法。由于 而 得到 校正后方框圖如圖7-31所示。 SHAPE * MERGEFORMAT 21R（s）C（s）+-e-se-s圖731（2）用連續(xù)校正方法。由其對(duì)應(yīng)的 系統(tǒng)不可變部分特性為 可求得 校正系統(tǒng)的方框圖如圖7-33所示。R（s）C（s） SHAPE * MERGEFORMAT 圖 732若將G(z)化成如下形式：則其對(duì)應(yīng)的而 所以有 自測(cè)題1. 已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的z傳遞函數(shù)如下，試判別其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 2. 設(shè)有離散系統(tǒng)如

25、T圖7-1所示，求采樣周期T分別為1s和0.5s時(shí)，系統(tǒng)的臨界開(kāi)環(huán)增益K。 R(s)C(s)T圖 7-13. 設(shè)有離散系統(tǒng)如T圖7-2所示，采樣周期T分別為1s，Gh(s)為零階保持器，求：（1）當(dāng)K8時(shí)，分別在z域和w域分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（2）使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的臨界值。Gh(s)G(s) r(t)c(t)T圖 724. 求T圖7-3(a)和7-3(b)所示的脈沖傳遞函數(shù)。R(s)C(s)(a) R(s)C(s)(b)T圖7-35. 采樣系統(tǒng)如T圖7-4所示，采樣周期T=0.1s，試確定單位階躍輸入、單位斜坡輸入、單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 +R(s)C(s)T圖 746. 設(shè)有離散系統(tǒng)如

26、T圖7-5所示，T=0.1s，K=1，試求靜態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv、Ka，并求系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。 R(s )C(s)T圖 7-57. 設(shè)一采樣系統(tǒng)如T圖7-6所示，已知r(t)為單位階躍函數(shù)，采樣周期為T(mén)，初始件c(0)。設(shè)計(jì)一個(gè)控制器D(z)使系統(tǒng)為無(wú)波紋最少拍系統(tǒng)（e10.368，e20.136）。D(z)R(s) +C(s)T圖7-68. 已知一采樣系統(tǒng)如T圖7-7所示，要求設(shè)計(jì)D(z)，使系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入為無(wú)波紋最少拍系統(tǒng)，某設(shè)計(jì)人員設(shè)計(jì)的D(z)滿足如下差分方程： e2(k)=e1(k)-0.21e1(k-1)+0.002e1(k-2)-1.15e2(k-1)-0.055e2(k-2)

27、（1）審查上述設(shè)計(jì)是否正確？（2）如果上述設(shè)計(jì)不正確，請(qǐng)作出正確設(shè)計(jì)。D(z)R(s) +C(s)T圖 7-79. 已知系統(tǒng)如T圖7-8所示，求系統(tǒng)輸出的z變換表達(dá)式。G1(s)G2(s)H2(s)H1(s)R(s) + E(s) +E1(s) C(s)B*(s)T圖 7-810. 系統(tǒng)如T圖7-9所示，其中，采樣周期Ts1s，求當(dāng)r(t)為單位階躍函數(shù)時(shí)最少拍系統(tǒng)數(shù)字校正裝置的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。 D(z)G0(s)R(s) C(s)T圖7-911. 一數(shù)子控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如T圖7-10所示，試設(shè)計(jì)D(z)，使系統(tǒng)在單位階躍輸入下，輸出量c(kT)滿足圖7-11所示的要求，并繪出e*1(kT)

28、、e*2(kT)、x(t)的波形圖。 D(z) r x c T圖7-10 C(kT) 13T 4T 5T KT tT圖7-11EXERCISESE7.1 We have a function Using a partial fraction expansion of Y(s),find Y(z),when T=0.2 second.E7.2 A system has plant transfers function (a) Determine G(z) for Gp(s) preceded by a zero-order hold with T=0.05 second .(b) Determine whether the digital system is stable .(c) Plot the impulse response of G(z) fo