專升本《高等數(shù)學(xué)》易錯(cuò)題解析-第十章：重積分的應(yīng)用

1、第九章(二) 重積分的應(yīng)用 重積分的應(yīng)用十分廣泛。尤其是在幾何和物理兩方面。幾何方面的應(yīng)用有利用二重積分求平面圖形的面積；求曲面面積；利用三重積分求立體體積。物理方面的應(yīng)用有求質(zhì)量；求重心；求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；求引力等。在研究生入學(xué)考試中，該內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)一和高等數(shù)學(xué)二的考試內(nèi)容。通過(guò)這一章節(jié)的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為應(yīng)達(dá)到如下要求：1、掌握重積分的幾何和物理意義，并能應(yīng)用于實(shí)際計(jì)算。2、對(duì)于重積分的應(yīng)用領(lǐng)域和常見應(yīng)用問(wèn)題有全面的了解，并能利用重積分解決應(yīng)用問(wèn)題。3、具備空間想象能力，嫻熟的重積分計(jì)算技巧和將理論轉(zhuǎn)化為應(yīng)用的能力。一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖二、典型錯(cuò)誤分析求如下平面區(qū)域D的面積，其中D由直線及曲線所圍成。如

2、圖： y （2，2） O 1 2 x錯(cuò)解分析平面圖形的面積可以利用二重積分來(lái)計(jì)算，這一點(diǎn)并沒(méi)有錯(cuò)。問(wèn)題在于區(qū)域D，若先按x積分，再按y積分，則應(yīng)注意到區(qū)域D因此劃分為兩個(gè)部分，在這兩個(gè)部分，x、y的積分限并不相同，因此此題若先積x, 后積y，則應(yīng)分兩部分分別積分，再相加。正確解 例2.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D是由螺線上一段弧與直線所圍成，它的面密度為，求該薄片的質(zhì)量。錯(cuò)解 分析 平面物體的質(zhì)量是以面密度函數(shù)為被積函數(shù)的二重積分，因此解法的第一步是正確的。注意到積分區(qū)域的邊界有圓弧，而被積函數(shù)為，因此積分的計(jì)算采用極坐標(biāo)系算，這一點(diǎn)也是正確的。問(wèn)題在于在直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí)，應(yīng)由來(lái)代替，解題過(guò)

3、程中缺少了一項(xiàng)。導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤。因此務(wù)必不能遺漏。正確解 例3. 計(jì)算以xoy面上的圓周圍成的區(qū)域?yàn)榈?，而以曲面為頂?shù)那斨w的體積。錯(cuò)解 分析如按此思路求解，即使接下去采用極坐標(biāo)變換法，計(jì)算量仍然相當(dāng)大，極易導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤。該解法的不當(dāng)之處在于沒(méi)有注意到底和面都具有對(duì)稱性，可利用對(duì)稱性減少計(jì)算量。正確解 例4.求錐面被柱面所割下部分的曲面面積。錯(cuò)解 錐面被柱面所割下部分的曲面在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)椋虼朔治銮笄娴拿娣e，應(yīng)首先確定曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，這一點(diǎn)是正確的。但解法中忽略了求曲面積分在前應(yīng)有一因子。正確解 錐面被柱面所割下部分的曲面在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?。而。因此?設(shè)薄片所

4、占的閉區(qū)域D為半橢圓區(qū)域：，求均勻薄片的重心。錯(cuò)解：， 所以。又因，所以。分析重心的計(jì)算公式為，但，而。此類公式容易混淆。正確解如圖，yO x由于是均勻薄片，D為半橢圓區(qū)域具有對(duì)稱性，因此。而，所以，所以。三、綜合題型分析例6.求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域D的面積：D由曲線所圍成的第一象限內(nèi)的閉區(qū)域。分析試著畫草圖發(fā)現(xiàn)區(qū)域D的形狀不容易確定。但若注意到四條曲線方程可變形為。由此想到可令，從而將不規(guī)則區(qū)域D化成一個(gè)方形區(qū)域。解 令，則區(qū)域D化為：。，。方法小結(jié)對(duì)于不規(guī)則圖形，欲求其面積，可注意其方程是否有規(guī)律性，從中尋求適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，以簡(jiǎn)化計(jì)算。例7. 求平面被三坐標(biāo)

5、面所割出的有限部分的面積。分析 根據(jù)曲面面積計(jì)算公式：，平面在xoy面上的投影為，即以a,b為直角邊的直角三角形。如圖： z O b y ax解平面可表示為。故，=。=方法小結(jié) 根據(jù)曲面面積計(jì)算公式：。首先須將曲面方程化成的形式。并求出曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域。本題的特點(diǎn)在于因子為一常數(shù)。因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為計(jì)算投影區(qū)域的面積。而本題的投影區(qū)域恰好為一三角形。故可直接求出其面積。例8計(jì)算由四個(gè)平面所圍成的柱體被平面及截得的立體的體積。分析首先要畫出題設(shè)的柱體。為此先考察柱體在xoy面上的投影： 。因?yàn)橹w被平面所截，其在投影正方形四個(gè)頂點(diǎn)上的高分別為6，3，1，4，連接相應(yīng)的交線，即得所求立體的草

6、圖。 z 1 2 y 1 3 x解 方法小結(jié)求立體圖形的體積,關(guān)鍵在于正確地畫出圖形.為此須了解各類常見空間幾何體(如平面、直線、二次曲面等)的方程和形狀。并能繪出各類幾何體的交點(diǎn)或交線。從而確定所求幾何體的形狀。例9求由平面所圍成的柱體被平面及拋物面截得的立體的體積。分析求立體的體積，首先需畫出草圖。注意到拋物面開口向下，因此截柱體所得立體以為頂，以平面為底。而在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)橐蝗切螀^(qū)域, 由所圍成。 z 6 O 1 y 1x解 方法小結(jié)若所求立體為柱體被其他曲面所截得，則只需確定其頂部曲面方程和底部曲面方程。即得z的積分區(qū)域。而x,y的積分區(qū)域則可根據(jù)頂部在xoy面上的投影而定。

7、例10.利用三重積分計(jì)算下列曲面：球面及所圍成的立體的體積。分析所求立體的上部為球面，下部為圓錐面，在在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)閳A。因此不難化成三重積分。但注意到所涉及的曲面方程，用球面坐標(biāo)計(jì)算會(huì)更為方便。所求立體如圖所示: z a O y x解 用球面坐標(biāo)，立體區(qū)域?yàn)榉椒ㄐ〗Y(jié)若所求立體為球面、圓錐曲面等所圍成，投影區(qū)域?yàn)閳A域，則采用球面坐標(biāo)計(jì)算更為方便。例11設(shè)有一等腰直角三角形薄片，腰長(zhǎng)為a,各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方。求該薄片的重心。 y a x+y=a () O a x分析由于面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方，即。由對(duì)稱性可知：重心（）滿足：。套用重心公式，即可求得

8、。解 從而薄片的重心坐標(biāo)為：。所以薄片的重心為。方法小結(jié)求重心有固定的公式：，當(dāng)面密度函數(shù)關(guān)于x,y 對(duì)稱，而區(qū)域D也為對(duì)稱圖形時(shí)，可得，從而減計(jì)算量。例12求位于兩圓r = 2sin和r = 4sin之間的均勻薄片的重心分析 y D O x如圖所示:均勻薄片D對(duì)稱于y軸, 重心（）必位于y軸上, 所以,只需計(jì)算.根據(jù)題設(shè)，用極坐標(biāo)計(jì)算會(huì)比較方便。解 不妨設(shè)密度為1，因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸，所以重心（）必位于y軸上，于是。再按公式計(jì)算，由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個(gè)圓的面積之差，即A = 3。再利用極坐標(biāo)計(jì)算積分：，所以。所以重心為（）。方法小結(jié) 求重心有

9、固定的公式：，如果物體為均勻薄片，可設(shè)密度為1，從而進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算。而題中薄片面積的計(jì)算也比較巧妙。例13求均勻半球體的重心。分析為使物體關(guān)于坐標(biāo)系具有對(duì)稱性，可取半球體的對(duì)稱軸為z軸，原點(diǎn)取在球心上，這樣半球體的重心就位于z 軸上，從而重心只需算一個(gè)坐標(biāo)分量。解 取半球體的對(duì)稱軸為z軸，原點(diǎn)取在球心上，又設(shè)球半徑為a，則半球體所占空間閉區(qū)域可用不等式x2+y2+z2a2，z0來(lái)表示。顯然，重心在z軸上，故。，因此重心為。方法小結(jié) 求物體的重心,也可盡量使物體的位置關(guān)于坐標(biāo)系具有對(duì)稱性,從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。而該題中由于物體為半球體，因此用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分會(huì)更為方便。例14.在均勻半圓形

10、薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的均勻矩形薄片,為了使整個(gè)均勻薄片的重心恰好落在圓心上,問(wèn)接上去的均勻薄片另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少?分析設(shè)半圓形薄片的半徑為R，所接矩形薄片的另一邊長(zhǎng)度為H（如下圖）,根據(jù)題意,均勻薄片的重心（）滿足：=0。從中可逆推出H值。 yO R x -H解 設(shè)半圓形薄片的半徑為R，所接矩形薄片的另一邊長(zhǎng)度為H。由題意，均勻薄片的重心（）滿足：。而,又因。所以得。從中解得。所以接上去的均勻薄片另一邊的長(zhǎng)度為時(shí)，其重心恰好落在圓心上。方法小結(jié)對(duì)于本題，選擇一個(gè)合理的坐標(biāo)系有助于我們解題。由于將圓心置于原點(diǎn)，從而使重心坐標(biāo)（）滿足：。從中可求得待定的邊長(zhǎng)。例15設(shè)有一半徑為

11、R的球體，P0是此球體的表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P0距離的平方成正比（比例常數(shù)k0），求球體的重心位置。分析恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系可以簡(jiǎn)化計(jì)算，因此可選球心為原點(diǎn)，射線OP0為正x軸建立直角坐標(biāo)系。解記所考慮的球體為，以的球心為原點(diǎn)O，射線OP0為正x軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（R，0，0），球面的方程為，設(shè)的重心位置為，由對(duì)稱性，得，而 ， 所以的重心位置為。方法小結(jié)本題也可將定點(diǎn)P0設(shè)為原點(diǎn)，球心為，射線P0為正z軸建立直角坐標(biāo)系，則球面的方程為，采用如上方法可求的重心位置為（0，0，5R/4）。例16已知均勻半球體的半徑為a，在該球體的底圓的一旁拼接一個(gè)半徑與球的半

12、徑相等，材料相同的均勻圓柱體，使圓柱體的底圓與半球的底圓重合，為了使拼接后的整個(gè)立體重心恰好是球心，問(wèn)圓柱的高應(yīng)為多少？分析建立坐標(biāo)系，使圓柱體與半球的底圓在XOY面上，圓柱體的中心軸為z軸。這樣立體關(guān)于坐標(biāo)系具有對(duì)稱性，由題意知重心恰好為原點(diǎn)，利用重心坐標(biāo)計(jì)算公式可反解出圓柱的高。解如圖所示，設(shè)所求圓柱的高為H，半球和圓柱體分別為， z O yx由題意知重心恰好為原點(diǎn)，故，于是而從中解得。方法小結(jié) 本題由于適當(dāng)選取了坐標(biāo)系，使重心坐標(biāo)簡(jiǎn)化，而是否應(yīng)用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分又是根據(jù)立體的特征而定。例17設(shè)均勻薄片，面密度為1，薄片所占區(qū)域?yàn)椋?，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 y bO a x分析一由于區(qū)

13、域D為橢圓，中心位于原點(diǎn)。因此具有對(duì)稱性。所以求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，只須求區(qū)域D上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解一 令， 分析二解法一中的變量替換是比較常見的?？紤]到區(qū)域D是橢圓，可通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，將橢圓區(qū)域化為圓，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。解二 令，則在此變換下，D：化為：。又。所以 方法小結(jié)在遇到積分區(qū)域?yàn)閷?duì)稱圖形時(shí)，常利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。而根據(jù)積分形式或積分區(qū)域采用適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q往往可以提高計(jì)算效率。對(duì)于特殊圖形,例如橢圓,可令,從而變換為圓。例18.求由拋物線及直線所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）對(duì)于直線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。分析 均勻薄片對(duì)于x軸（其方程為）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有公式，類似地，對(duì)于直線，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解 方法小結(jié)當(dāng)遇到

14、求物體關(guān)于非坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)，可根據(jù)物體關(guān)于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式作平行推廣。從而使重積分的應(yīng)用更為廣泛。例19.求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量）對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。分析設(shè)薄片所占閉區(qū)域D可表示為，而所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 解 設(shè)薄片所占閉區(qū)域D可表示為，則所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 其中為平面薄片的質(zhì)量。方法小結(jié)求物體關(guān)于某一條邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,可將該邊置于坐標(biāo)軸上,盡量使物體的位置關(guān)于坐標(biāo)系具有對(duì)稱性,從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。例20求高為h，半頂角為，密度為的正圓錐體繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。分析取對(duì)稱軸為z軸，圓錐體頂點(diǎn)為原點(diǎn)，則問(wèn)題化為求物體關(guān)

15、于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?？芍苯犹子霉?。解 取對(duì)稱軸為z軸，圓錐體頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系。則所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。方法小結(jié) 取轉(zhuǎn)動(dòng)軸為坐標(biāo)軸，則問(wèn)題化為求物體關(guān)于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?？芍苯犹子霉?。而柱面坐標(biāo)的運(yùn)用可進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算。例21. 求均勻柱體：對(duì)于點(diǎn)M（0,0,a）(ah)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。分析根據(jù)柱體的對(duì)稱性，及分別是x,y的奇函數(shù),易知均為零。因此只需計(jì)算。解 由柱體的對(duì)稱性，及分別是x,y的奇函數(shù),易知。而 方法小結(jié)從上題中可以看出，勻質(zhì)具有對(duì)稱性的物體對(duì)某一質(zhì)點(diǎn)的引力，可利用其對(duì)稱性，及被積函數(shù)的奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。當(dāng)遇到積分域?yàn)閳A域時(shí)，用極坐標(biāo)計(jì)算更為簡(jiǎn)便。例22在xoy面上有一

16、質(zhì)量為M的勻質(zhì)半圓形薄片，占有平面區(qū)域：，的，過(guò)圓心O垂直于薄片的直線上有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，求半圓形薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)P的引力。分析根據(jù)引力計(jì)算公式，首先需求出勻質(zhì)半圓形薄片的密度。由 區(qū) 域 D的 對(duì) 稱 性 知的計(jì)算可套用公式。解由 已 知，令為 面 密 度 ，薄 片 面 積， 薄 片 質(zhì) 量 ，zDpaR-R0yxzDpaR-R0yx 建 立 如 圖 所 示 直 角 坐 標(biāo) 系 由 區(qū) 域 D的 對(duì) 稱 性 知 其 中 方法小結(jié)從上題中可以看出，勻質(zhì)具有對(duì)稱性的物體對(duì)某一質(zhì)點(diǎn)的引力，可利用其對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。當(dāng)遇到積分域?yàn)閳A域時(shí)，用極坐標(biāo)計(jì)算更為簡(jiǎn)便。四、考研試題分析例23.(1989年高數(shù)一

17、)設(shè)半徑為R的球面的球心在定球面上,問(wèn)當(dāng)R取何值時(shí),球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大?答案.分析 球面在定球面內(nèi)部的那部分面積屬于曲面面積。欲求空間曲面面積，必須建立曲面方程，并且明確曲面在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域。球面在定球面內(nèi)部的那部分可視為球面與定球面相交而成，因此明確所求曲面在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域，必須考察球面與定球面的交線。解答 設(shè)球面方程為：兩球面的交線在xoy面上的投影為 設(shè)投影曲線所圍平面區(qū)域?yàn)?，球面在定球面?nèi)部的那部分方程為：，這部分的面積為 。令，得駐點(diǎn)，又因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，球面在定球面內(nèi)部的那部分面積最大。例24.(2000年高數(shù)一)設(shè)有一半徑為R的球體，是此球的表面上的一個(gè)定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到的距離的平方成正比（比例常數(shù)k0），