《高等數(shù)學(xué)》常微分方程考點(diǎn)精講與例題解析

1、PAGE 86高等數(shù)學(xué)常微分方程考點(diǎn)精講與例題解析計(jì)算題1解：為常數(shù)解 當(dāng)，時(shí)，分離變量取不定積分，得 原方程的通解為注：包含在常數(shù)解中，當(dāng)時(shí)就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。2解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為 ，齊次方程的通解為 因?yàn)槭翘卣鞲Ｋ?，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)確定出 ， 原方程的通解為 3. 解：原方程可化為 ，引入新的變量，則，將代入，可得，變量分離 兩端積分，而所以，也就是所以原方程的通解為4. 解：，變量分離 兩邊積分：-， 解得 當(dāng)，時(shí) ， 所以原方程的特解為5解：原方程為：=，變量分離，兩邊積分得 所以原方程的通解為 6. 解： 據(jù)題意，方程兩邊同時(shí)

2、對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得，令，則有即，變量分離并兩端積分，從而可得所以或7. 解: 據(jù)題意知函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，方程 兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得到 ，方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得到二階常系數(shù)非齊次微分方程 特征方程為 ，解得 ，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 又因不是特征方程為 的根，故取所以的特解形式可設(shè)為，則，把，代入原方程可得 所以原方程的通解為 又因 ，所以，故函數(shù)8解：特征方程為，解得 ，所以對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 對(duì)于微分方程，由于不是特征方程為的根，故取，因此方程的特解形式可設(shè)為；對(duì)于微分方程，由于不是特征方程為的根，故取，因此方程的特解形式可設(shè)為；對(duì)于微分方程，由于是特征方程為的根，故取，因此方程的特解形式可設(shè)為綜

3、上可知，原微分方程的特解可設(shè)為，再令則9. 解：微分方程的特征方程為 ，解得 ， 因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰母嗜?所以微分方程的特解形式可設(shè)為10解：原方程可化為，此方程為一階線性微分方程，其中， 由一階線性微分方程的通解公式可知 即 11 解： 因?yàn)?，即，為一階線性微分方程，其中， ，由一階線性微分方程的通解公式可知，即于是所求得的通解為12解： 特征方程為，解得，因此對(duì)應(yīng)齊次方程通解為又因不是特征方程的根，故取，而所以微分方程具有的特解形式可設(shè)為 則，把，代入原微分方程，比較系數(shù)得 ，解得 ，因此所以原方程的通解為無窮級(jí)數(shù)參考答案一. 選擇題1. 解析: 絕對(duì)收斂, 發(fā)散, 所以發(fā)散. (B)

4、是答案2. 解析: 因?yàn)闂l件收斂, 所以. 對(duì)于(C)所以，即(C)是正確，A，B，D不一定正確。3. 解析： 收斂, 所以收斂. 收斂級(jí)數(shù)的和收斂. 所以(D)是答案. 對(duì)于(C)有以下反例：， ， ，所以發(fā)散。同理，對(duì)于A，B，舉反例可知不正確。4. 解析： 因?yàn)樵谑諗?，所以在處收斂，故冪?jí)數(shù)在內(nèi)絕對(duì)收斂，即在內(nèi)絕對(duì)收斂，因此答案B正確。二. 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性:1. 解： 因?yàn)椋院陀邢嗤臄可⑿?，由?收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂.2. 解：，所以級(jí)數(shù)發(fā)散.3. 解： ， 所以級(jí)數(shù)收斂.4. 解： 因?yàn)?，所以由?jí)數(shù)收斂的必要條件可知，原級(jí)數(shù)發(fā)散。5. 解： 因?yàn)樗允諗?，故原?jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

5、6. 解：因?yàn)?1， 收斂，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.7. 解：.因?yàn)?，又因?yàn)闂l件收斂，所以原級(jí)數(shù)條件收斂.8. 解： 這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其絕對(duì)值級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)，需分，討論其絕對(duì)收斂與條件收斂。當(dāng)時(shí)，其絕對(duì)值級(jí)數(shù)是收斂的，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，其絕對(duì)值級(jí)數(shù)是發(fā)散的，而級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由萊布尼茨判別法可知其收斂，所以原級(jí)數(shù)條件收斂。當(dāng)時(shí)，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。三. 求下列級(jí)數(shù)的收斂域:1. 解：第一個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為， 第二個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為所以它們的共同收斂區(qū)域?yàn)?，考察端點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，得第一個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散，第二個(gè)級(jí)數(shù)收斂. 所以該級(jí)數(shù)發(fā)散. 原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2. 解：因?yàn)?，令，原?jí)數(shù)為，取，則，所以。當(dāng)時(shí)，考察級(jí)數(shù)，易知級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)都收斂，所以級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)時(shí)，考察級(jí)數(shù)，因?yàn)榘l(fā)散，級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)發(fā)散。綜上可知，冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為，由解不等式，得原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為.四。解答題1. 將函數(shù)展開成的冪級(jí)數(shù)。分析 將化為關(guān)于形式的函數(shù)，再利用的冪級(jí)數(shù)展開式求解。解：，因?yàn)?，即，即所以，收斂區(qū)間為2將函數(shù)