離散型隨機變量及其分布-完整版獲獎?wù)n件

1、 離散型隨機變量及其分布探究點1 隨機變量的概念（1）罰球2次有可能得到的分數(shù)有幾種情況？（2）拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有幾種情況？思考：在上述試驗開始之前，你能確定結(jié)果是哪一 種情況嗎？0分，1分，2分正面向上 ，反面向上 能否把擲硬幣的結(jié)果也用數(shù)字來表示呢？01 在前面的例子中，我們把隨機試驗的每一個結(jié)果都用一個確定的數(shù)字來表示，這樣試驗結(jié)果的變化就可看成是這些數(shù)字的變化. 定義 我們將隨機現(xiàn)象中試驗(或觀測)的每一個可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個_，通常用大寫的英文字母如X，Y來表示.隨機變量注意：有些隨機試驗的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但還是可以用數(shù)量來表達，如在擲硬幣的

2、試驗中，我們可以定義“X=0，表示正面向上，X=1，表示反面向上”.例1.已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品.現(xiàn)從這10件產(chǎn)品中任取3件，這是一個隨機現(xiàn)象.（1）寫出該隨機現(xiàn)象所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.（2）試用隨機變量來描述上述結(jié)果.解（1）這10件產(chǎn)品中有2件不合格品，有8件合格品.因此，從10件產(chǎn)品中任取3件，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是：“不含不合格品”“恰有1件不合格品” “恰有2件不合格品”.（2）令X表示取出的3件產(chǎn)品中的不合格品數(shù).則X所有可能的取值為0,1,2，對應(yīng)著任取3件產(chǎn)品所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.即“X=0”表示“不含不合格品”； “X=1”表示“恰有1件不合格品”；“X=2”表示“恰有2

3、件不合格品”.思考：按照我們的定義，所謂的隨機變量，就是隨機試驗的試驗結(jié)果與實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系.那么，隨機變量與函數(shù)有類似的地方嗎？提示：隨機變量是試驗結(jié)果與實數(shù)的一種對應(yīng)關(guān)系，而函數(shù)是實數(shù)與實數(shù)的一種對應(yīng)關(guān)系，它們都是一種映射. 在這兩種映射之間， 試驗結(jié)果的范圍相當于函數(shù)的定義域， 隨機變量的取值結(jié)果相當于函數(shù)的值域.所以我們也把隨機變量的取值范圍可以看作隨機變量的值域. 寫出下列各隨機變量可能的取值，并說明它們各自所表示的隨機試驗的結(jié)果：練一練（1）從10張已編號的卡片（從1號到10號）中任取1張， 被取出的卡片的號數(shù)x ；（2）拋擲兩個骰子，所得點數(shù)之和Y；（3）某城市1天之中發(fā)生

4、的火警次數(shù)X；（4）某品牌的電燈泡的壽命X；（5）某林場樹木最高達30米，最低是0.5米，則此林場 任意一棵樹木的高度x（x=1、2、3、10）（Y=2、3、12）（X=0、1、2、3、）0，+)0.5，30思考：前3個隨機變量與最后兩個有什么區(qū)別？二、隨機變量的分類：1、如果可以按一定次序，把隨機變量可能取的值一一 列出，那么這樣的隨機變量就叫做離散型隨機變量。（如擲骰子的結(jié)果，城市每天火警的次數(shù)等等）2、若隨機變量可以取某個區(qū)間內(nèi)的一切值，那么這樣的 隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量。（如燈泡的壽命，樹木的高度等等）注意：（1）隨機變量不止兩種，我們只研究離散型隨機變量；（2）變量離散與否與變量

5、的選取有關(guān)；比如：對燈泡的壽命問題，可定義如下離散型隨機變量 下列試驗的結(jié)果能否用離散型隨機變量表示？（1）已知在從汕頭到廣州的鐵道線上，每隔50米有一個 電線鐵站，這些電線鐵站的編號；（2）任意抽取一瓶某種標有2500ml的飲料，其實際量 與規(guī)定量之差；（3）某車站1小時內(nèi)旅客流動的人數(shù)；（4）連續(xù)不斷地投籃，第一次投中需要的投籃次數(shù).（5）在優(yōu)、良、中、及格、不及格5個等級的測試中， 某同學可能取得的等級。練一練例2.連續(xù)投擲一枚均勻的硬幣兩次，用X表示這兩次投擲中正面朝上的次數(shù)，則X是一個隨機變量.分別說明下列集合所代表的隨機事件：（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 解(1) 表示

6、使得隨機變量對應(yīng)于0的那些結(jié)果組成的事件，即兩次都擲得反面朝上.所以 = 兩次都是反面朝上.【變式練習】用X表示10次射擊中命中目標的次數(shù)，分別說明下列集合所代表的隨機事件：(1) X=8; (2) 1X9;(3) X1; (4) X1.解(1) X=8= 恰有8次命中目標;(2)1X9=命中目標次數(shù)為2到9次;(3)X1=命中目標次數(shù)為1到10次;(4)X1=沒有一次命中目標.三、離散型隨機變量的分布列：一般地，若離散型隨機變量X 可能取的不同值為： a1，a2，ai，anX取每一個ai (i=1，2，n)的概率P(X=ai)=Pi，則稱表：Xa1a2aiPP1P2Pi為離散型隨機變量X的概

7、率分布列，簡稱為X的分布列.有時為了表達簡單，也用等式 P(X=ai)=Pi i=1，2，n來表示X的分布列離散型隨機變量的分布列應(yīng)注意問題：Xa1a2aiPP1P2Pi1、分布列的構(gòu)成：（1）列出了離散型隨機變量X的所有取值；（2）求出了X的每一個取值的概率；2、分布列的性質(zhì):例3、在擲一枚圖釘?shù)碾S機試驗中，令如果針尖向上的概率為p，試寫出隨機變量X的分布列。解：根據(jù)分布列的性質(zhì)，針尖向下的概率是(1-p),于是，隨機變量X的分布列是X01P1-pp像這樣的分布列稱為兩點分布列.求離散型隨機變量分布列的基本步驟：（1）確定隨機變量的所有可能的值xi（2）求出各取值的概率P(X=xi)=pi（

8、3）列出表格定值 求概率 列表例4 連續(xù)投擲一枚均勻的骰子兩次，用X表示所得點數(shù)之和，試列出X的分布列.解：連續(xù)投擲一枚均勻的骰子兩次，共有如下66=36種可能的結(jié)果：（我們用（i，j）表示事件“第一次擲得i點，第二次擲得j點”.例如，（3,4）表示第一次擲得3點，第二次擲得4點）顯然這36種結(jié)果發(fā)生的概率是相同的，都是 .由此，可以求出兩次投擲所得結(jié)果的點數(shù)之和X.為了清楚地表示，可以列出下表123456123456723456783456789456789105678910116789101112第一次擲出的點數(shù)兩次擲出的點數(shù)之和第二次擲出的點數(shù)根據(jù)上表，X的可能取值為2,3，,12；其中

9、使得X取值為2的可能結(jié)果只有1種（1,1），因此X取值為2的概率為 使得X=3的可能結(jié)果有2種（1,2）或（2,1）,因此X=3的概率為同理可求得隨機變量X取其他值的概率，最后可得X的分布列如下：X=xi23456789101112P(X=xi)求離散型隨機變量的分布列的方法步驟：1、找出隨機變量X的所有可能的取值 ； 2、求出各取值的概率 ；3、寫出分布列.【提升總結(jié)】定值 求概率 列表某班有學生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人現(xiàn)從中抽1人，其血型為隨機變量X，求X的分布列【變式練習】思考：一個口袋有5只同樣大小的球，編號分別為1，2，3，4

10、，5，從中同時取出3只，以X表示取出的球最小的號碼，求X的分布列。解：因為同時取出3個球，故X的取值只能是1，2，3當X=1時，其他兩球可在剩余的4個球中任選 故其概率為當X=2時，其他兩球的編號在3，4，5中選， 故其概率為當X=3時，只可能是3，4，5這種情況， 概率為X123P隨機變量X的分布列為思考：一個口袋有5只同樣大小的球，編號分別為1，2，3，4，5，從中同時取出3只，以X表示取出的球最小的號碼，求X的分布列。例5 用X表示投擲一枚均勻的骰子所得的點數(shù)，利用X的分布列求出下列事件發(fā)生的概率：（1）擲出的點數(shù)是偶數(shù)；（2）擲出的點數(shù)大于3而不大于5；（3）擲出的點數(shù)超過1.解析：容

11、易得到X的分布列為P(X=i)= （i=1,2, ,6）根據(jù)上式，可得：（1）擲出的點數(shù)是偶數(shù)是指 ,因此擲出的點數(shù)是偶數(shù)的概率為（2）擲出的點數(shù)大于3而不大于5是指擲得4點或5點，它發(fā)生的概率為（3）擲出的點數(shù)超過1的對立事件是擲得1點，因此擲出的點數(shù)超過1的概率為某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：X=k45678910P(X=k)0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射擊一次命中的環(huán)數(shù)不小于7”的概率解：根據(jù)射手射擊所得的環(huán)數(shù)X的分布列，有P(X7)0.09，P(X8)0.28，P(X9)0.29，P(X10)0.22.所求的概率為P(X7)0.090.280.

12、290.220.88.【變式練習】練一練例1 投擲一枚骰子,用X表示投擲出的點數(shù),計算:(1)P(X=5);(2)P(4X5)例2 投擲兩枚硬幣，用X表示投擲出的正面數(shù)，X是隨機變量.計算：（1）P（X=0）；（2）P（X=1）.1.下列表中可以作為離散型隨機變量的分布列的是()DX=kX=kX=kX=kP(X=k)P(X=k)P(X=k)P(X=k)2.一產(chǎn)品分為一、二、三級，其中一級品是二級品的2倍，三級品是二級品的 從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗質(zhì)量，其級別為隨機變量X，則P(X1)的值是（ ）A. B. C. D.解析 由題意可知所以B3若離散型隨機變量X的分布列為則a_.X=k01P(X=k)2a3a解：由可得的取值為1、0、1、且相應(yīng)取值的概率沒有變化的分布列為：1104:已知隨機變量的分布列如下：213210分別求出隨機變量；的分布列的分布列為：解:(2)由可得的取值為0、1、4、909414:已知隨機變量的分布列如下：213210分別求出隨機變量；的分布列5.數(shù)字1,2,3,4任意排成一列，如果數(shù)字K恰好在第k個位置上，則稱為一個巧合，求巧合數(shù)X的分布列。思考：將一枚骰子擲2次,求下列隨機變量的概率分布.(1)兩次擲出的最大點數(shù);(2)第一次擲出的點數(shù)減去第二次擲出的點數(shù)之差.解:(1)x=k包含兩種情況,兩次均為