廣東省廣州市屆高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班綜合測試試題理

1、2022 年 XX市一般高中畢業(yè)班綜合測試（二）數(shù)學(xué)（理科）留意事項：1. 本試卷分第一卷（挑選題）和第二卷（非挑選題）兩部分；答卷前,考生務(wù)必將自己的 XX和考 生號、試室號、座位號填寫在答題卡上,并用鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂；2. 回答第一卷時, 選出每道題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑, 如需改動,用橡皮擦潔凈后,再選涂其它答案標(biāo)號；寫在本試卷上無效；3. 回答第二卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效；4. 考試終止后,將本試卷和答題卡一并交回；第一卷一. 挑選題：本大題共12 小題,每道題5 分,在每道題給出的四個選項中,只有哪一項符合題目要求的；（1）已知集

2、合Mx1x1,Nx x22,xZ,就MNNA MM0 D N B NM C N答案 ： C 解析 ：解一元二次不等式：i2 x 2,得：2x2,又 xZ ,所以, N1,0,1 ,所以,MN0；,其中 i 為虛數(shù)單位,就 z2（2）已知復(fù)數(shù)z13i21 C 2 DA 1 B 2答案 ： B 解析 ：由于 z3ii3i3 i113i, D2 2122 i222所以,| |321 的值是1222（3）已知 cos1, 就sin512312A1 3 B2 2 3 C133答案 ： A 解析 ：sin5sin212cos121123（4）已知隨機變量X 聽從正態(tài)分布N3,2, 且P X40.84, 就

3、P2X4A 0.84 B 0.68 C 0.32 D0.16答案 ： B 解析 ：由于隨機變量 X 聽從正態(tài)分布 N 3, 2,又 P X 4 0.84,所以,P X 4 P X 2 0.16,P 2 X 4 10.32 0.68 x y 0,（5）不等式組 x y 2, 的解集記為 D , 如 ,a b D , 就 z 2 a 3 b 的最小值是x 2 y 2A 4 B 1 C 1 D 4答案 ： A 解析 ：畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖三角形ABC為所示,當(dāng)z2 a3 b 過 A（ 2,0 ）時取得最上值為 4 （6）使x213n nN* 綻開式中含有常數(shù)項的n 的最小值是2 xA 3

4、 B 4 C 5 D 6答案 ： C 解析 ：T k1k C nx2n k1k k1k C x2n5k,令 2 n5 k 0,得n5k ,所以 n 的最小值是5 3 2 x2k2（7）已知函數(shù)fxsin 2x02的圖象的一個對稱中心為Z3 ,0 8, 就函數(shù)fx 的單調(diào)遞減區(qū)間是Z B2k8, 2 k5kA2k3, 2 k888 C k3,k8kZ Dk8,k5kZ88答案 ： D 解析 ：sin23=0,得：4,所以,fxsin 2x4,8由22k2x432k,得 fx 的單調(diào)遞減區(qū)間是k8,k5kZ28（8）已知球 O的半徑為 R,A B C 三點在球 O 的球面上,球心O到平面ABC的距

5、離為1 R,2A169ABAC2,BAC120, 就球 O 的表面積為64 B16 C64 D393答案 ： D 解析 ：由余弦定理,得：BC4 222cos120 2 3 ,設(shè)三角 ABC外接圓半徑為r ,由正弦定理：2 3 sin 1202 R1R24,所以,R 16 3,2 r,得 r 2,又4表面積為：4R 64 3N* , 1x1xxN * ,2x1 2x2 2,（9）已知命題p ：x,命題 q ：23就以下命題中為真命題的是 A pq B pqq C pq Dp答案 ： C 解析 ：由于yn x （n 為正整數(shù)）是增函數(shù),又11所以,1xN* , 1x1x成立, p 正確；2323

6、2x1 2x2 2x1 2x2 2,當(dāng)且僅當(dāng)x 21 2x ,即xN*,所以, q 假命題,2所以 pq為真命題；（10）如圖 , 網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1, 粗實線畫出的是某幾何體的三視圖, 就該幾何體的體積是A 46 B86C 412 D8 12答案 ： B 解析 ：該幾何體是一個放倒的半圓柱上面加一個四棱錐的組合體,（11）已知點 O為坐標(biāo)原點,點M 在雙曲線C:x2y2（為正常數(shù)）上,過點M 作雙曲線 C 的某一條漸近線的垂線,垂足為N ,就 ONMN 的值為yxA 4 B 2 C D 無法確定答案 ： B 解析 ：特別點法；由于是定值,M為雙曲線上任一點,取特別點,當(dāng)M為右頂點時

7、,由漸近線知三角形 OMN為等腰直角三形,此時（12）設(shè)函數(shù) fx的定義域為R, fxfx,fxf2x, 當(dāng)x0,1時, fxx , 就函數(shù) 3g xcosxfx 在區(qū)間1 5 ,2 2上的全部零點的和為A 7 B 6 C 3 D 2答案 ： A 解析 ：考慮兩圖象的交點的橫坐標(biāo)之和,由于兩圖象都關(guān)于x 1 成軸對稱圖形,在1 5 ,2 2共有 7 個交點,故零點之和為 7；第二卷本卷包括必考題和選考題兩部分；第13 題第21 題為必考題,每個考生都必需做答；第22題第 24 題為選考題,考生依據(jù)要求做答；二. 填空題：本大題共4 小題,每道題5 分；. （13）曲線fx23 x在點 1,f1

8、處的切線方程為x答案 ：xy40解析 ：（14）已知平面對量a 與 b 的夾角為3,a1,3,a2 b2 3,就 b. 答案 ： 2 解析 ：（15）已知中心在坐標(biāo)原點的橢圓C 的右焦點為F1,0,點 F 關(guān)于直線y1x的對稱點2在橢圓 C 上,就橢圓 C 的方程為 . 答案 ：52 x5y2194解析 ：由于兩個焦點為（1,0 ）,（ 1,0 ）所以,（16）在ABC 中,a b c 分別為內(nèi)角A B C 的對邊,ac4,答案 ：2cosAtanBsinA,就ABC 的面積的最大值為. 23解析 ：三. 解答題：解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟；（17）（本小題滿分 12分）設(shè) S 是

9、數(shù)列 a n 的前 n 項和 , 已知 a 1 3 , a n 1 2 S n 3 n N * . 求數(shù)列 a n 的通項公式； 令 b n 2 n 1 a ,求數(shù)列 n b n 的前 n 項和 T . 解析 ： 解: 當(dāng) n 2 時, 由 a n 1 2 S n 3 , 得 a n 2 S n 1 3 , 1 分兩式相減 , 得 a n 1 a n 2 S n 2 S n 1 2 a , 2 分a n 1 3 a . a n 1 3 . 3 分a n當(dāng) n 1 時, a 1 3,a 2 2 S 1 3 2 a 1 3 9 , 就 a 23 . 4 分a 1數(shù)列 a n 是以 a 1 3 為首

10、項 , 公比為 3的等比數(shù)列 . 5 分n 1 na n 3 3 3 . 6 分 解法 1: 由 得 b n 2 n 1 a n 2 n 1 3 n. 2 3 nT n 1 3 3 3 5 3 2 n 1 3 , 7 分3 T n 1 3 2 3 3 3 5 3 4 2 n 1 3 n 1, 8 分- 得 2 T n 1 3 2 3 2 2 3 3 2 3 n 2 n 1 3 n 1 9 分2 3 n n 13 2 3 3 3 2 n 1 32 n 13 2 3 1 32 n 1 3 n 1 10 分1 3n 16 2 n 2 3 . 11 分n 1T n n 1 3 3 . 12 分n解法

11、2: 由 得 b n 2 n 1 a n 2 n 1 3 . 2 n 1 3 nn 1 3 n 1n 2 3 n, 8 分T n b 1 b 2 b 3 b n3 4 3 n 1 n0 3 3 0 2 3 3 n 1 3 n 2 3 10 分n 1n 1 3 3 . 12 分（18）（本小題滿分 12分）班主任為了對本班同學(xué)的考試成果進(jìn)行分析,打算從本班隨機抽取一個容量為7的樣本進(jìn)行分析. 24 名女同學(xué), 18 名男同學(xué)中 假如依據(jù)性別比例分層抽樣,可以得到多少個不同的樣本？（寫出算式即可,不必運算出結(jié)果） 假如隨機抽取的 7 名同學(xué)的數(shù)學(xué),物理成果 單位：分 對應(yīng)如下表：同學(xué)序號 i 1

12、2 3 4 5 6 7 數(shù)學(xué)成果 ix 60 65 70 75 85 87 90 70 77 80 85 90 86 93 物理成果 iy 如規(guī)定 85分以上（包括 85 分）為優(yōu)秀,從這 7名同學(xué)中抽取3名同學(xué),記3名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成果均為優(yōu)秀的人數(shù)為,求 的分布列和數(shù)學(xué)期望； 依據(jù)上表數(shù)據(jù),求物理成果 y 關(guān)于數(shù)學(xué)成果 x 的線性回來方程 系數(shù)精確到 0.01; 如班上某位同學(xué)的數(shù)學(xué)成果為 96分, 猜測該同學(xué)的物理成果為多少分 . nx i x y i y附：線性回來方程 y bx a,其中 b i 1n 2, a y bx . x i xi 1x y 7x i x 2 7x i x

13、y i yi 1 i 176 83 812 526解析 ： 解：依據(jù)分層抽樣的方法,24 名女同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 7 24 4 名,42 1 分18名男同學(xué)中應(yīng)抽取的人數(shù)為 7 18 3 名, 2 分424 3故不同的樣本的個數(shù)為 C C 18 . 3 分 解: 7 名同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理成果均為優(yōu)秀的人數(shù)為 3名, 的取值為 0,1,2,3 . 3 2 1P 0 C 43 4, P 1 C C 43 3 18, C 7 35 C 7 351 2 3P 2 C C3 3 12, P 3 C 33 1. 7 分C 7 35 C 7 35的分布列為0 1 2 3P 4 18 12 135 35 35

14、 35 8 分E 0 4 1 18 2 12 3 1 9 . 9 分35 35 35 35 7 解: b 526 0.65 , a y bx 83 0.65 75 33.60 . 10 分812線性回來方程為 y 0.65 x 33.60 . 11 分當(dāng)x96時,y0.65 9633.6096. D可猜測該同學(xué)的物理成果為96分. 12 分（19）（本小題滿分12分）如圖,在多面體ABCDM 中, BCD 是等邊三角形,CMD 是等腰直角三角形,CMD90,平面 CMD平面 BCD , AB平面 BCD . A 求證： CDAM；. M 如AMBC2,求直線 AM 與平面 BDM 所成角的正弦

15、值BC解析 ： 證明：取 CD 的中點 O , 連接 OB , OM . BCD 是等邊三角形, OB CD . 1 分 CMD 是等腰直角三角形,CMD 90, OM CD. 2 分 平面 CMD 平面 BCD ,平面 CMD 平面 BCD CD , OM 平面 CMD , OM 平面 BCD . 3 分 A z AB 平面 BCD , N OM AB . M O , M , A , B 四點共面 . 4 分 B D OB OM O , OB 平面 OMAB , OM 平面 OMAB , O CD 平面 OMAB . 5 分 x C y AM 平面 OMAB , CD AM . 6 分 解法

16、 1: 作 MN AB, 垂足為N, 就MN OB. BCD 是等邊三角形,BC 2 , OB 3 , CD 2 . 在 Rt ANM 中, AN AM 2MN 2AM 2OB 21 . 7 分 CMD 是等腰直角三角形,CMD 90,OM 1 CD 1 . 2AB AN NB AN OM 2 . 8 分如圖 , 以點 O 為坐標(biāo)原點 , OC 所在直線為 x 軸, BO所在直線為 y 軸 , OM 所在直線為 z 軸, 建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz , 就 M 0,0,1 , B 0, 3,0 , D 1,0,0 , A 0, 3,2 . AM 0, 3, 1 , BM 0, 3,1 ,

17、BD 1, 3,0 . 設(shè)平面 BDM 的法向量為 n x y z , 3 y z 0,由 n BM 0 , n BD 0 , 得 9 分x 3 y 0,令 y 1 , 得 x 3 , z 3 . n 3,1, 3 是平面 BDM 的一個法向量 . 10 分設(shè)直線 AM 與平面 BDM 所成角為 , 就 sin cos AM , n AM n 2 3 21 . 11 分AM n 2 7 7直線 AM 與平面 BDM 所成角的正弦值為 21 . 12 分7解法 2: 作 MN AB, 垂足為N, 就MN OB. BCD 是等邊三角形,BC 2 , OB 3 , CD 2 . 在 Rt ANM 中

18、, AN AM 2MN 2AM 2OB 21 . 7 分 CMD 是等腰直角三角形,CMD 90,OM 1 CD 1 . 2AB AN NB AN OM 2 . 8 分由 知 OM AB ,A AB 平面 ABD , OM 平面 ABD , OM 平面 ABD . N 點 M 到平面 ABD的距離等于點 O 到平面 ABD 的距離 . M作 OK BD, 垂足為K, B K D AB 平面 BCD, OK 平面 BCD ,O OK AB. C AB 平面 ABD , BD 平面 ABD , AB BD B , OK 平面 ABD , 且 OK OD sin 60 3. 9 分22 2在 Rt

19、MOB 中, MB OM OB 2 , 在 Rt MOD 中, MD OM 2OD 22 , BDM 的面積為S1MDMB2MD, 27 2. 10 分22設(shè)點 A 到平面 BDM 的距離為 h , ABD 由VA BDMV MABD, 得1 3h S1OK S3得hOKSABD31222 21. 22S772注: 求設(shè)直線 AM 與平面 BDM 所成的角為, 11 分就sinh21. AM7直線 AM 與平面 BDM 所成角的正弦值為21. 12 分7h2 21的另法 . 7由VA BDMV MABDV OABDVA BDO11ODOBAB3, 323得1 3h S3, 得h332 21.3

20、S772（20）（本小題滿分12分）l1:x1上的動點,過A 作直線2l ,1l ,線段 AF 的已知點F1,0,點 A 是直線垂直平分線與2l 交于點P. 求點 P 的軌跡 C 的方程； 如點M N 是直線1l 上兩個不同的點, 且 PMN 的內(nèi)切圓方程為x2y21,直1 分線 PF 的斜率為 k ,求k的取值 X 圍. MN解析 ： 解: 依題意 , 點 P 到點F1,0的距離等于它到直線1l 的距離 , 點 P 的軌跡是以點F 為焦點,直線l1:x1為準(zhǔn)線的拋物線. 2 分曲線 C 的方程為y24x . 3 分4 分6 分7 分 解法 1：設(shè)點 Px 0,y 0,點M1, m ,點N1,

21、n ,直線 PM 方程為：ymy 0mx1, x 01化簡得,y 0m xx 01yy 0mm x 010. PMN 的內(nèi)切圓方程為x2y21,圓心0,0到直線 PM 的距離為 1,即y 0mm x 0121. 5 分y 0m2x 01故y 0m2x 012y 0m22 m y 0mx 01m 2x 012. 易知x01,上式化簡得,x 012 m2y mx 010. 同理,有x 01n22y nx 010. m n 是關(guān)于 t 的方程x 01t22y t 0 x 010的兩根 . mn2y0,mnx 01. 8 分1x 01x 0MNmnmn24mn4y224x01. 9 分0 x 01x

22、012 y 04x ,y 02x ,0MN16x 024x012x2x04x021. 0 x 01x 011直線 PF 的斜率kxy 01,就kxy0120 x 0. 00 x1k2 x 0 x 01x 014. 10 分MN4x 01x 0函數(shù)yx1在 1,上單調(diào)遞增,xx 01110. x0 x 0144. 11 分4 分x00 x 0141. 14x00k1. MN. 12 分2k的取值 X 圍為0,1MN2解法 2：設(shè)點 Px 0,y 0,點M1, m ,點N1,n ,直線 PM 的方程為ymk 1x1,即k xyk 1m0, 直線 PM 與圓x2y21相切,k1m1. 2 k 11

23、5 分k 112 m. 2 m 直線 PM 的方程為ym1m2x1. 2 m 點 P 在直線 PM 上 , y 0m12m2x 01. 12 m2y mx 010. 6 分m易知x 01,上式化簡得,x 07 分同理,有x 01n22y nx 010. m n 是關(guān)于 t 的方程x 01t22y tx 010的兩根 . mn2y0,mnx 01. 8 分x 01x 01MNmnmn24mn4y224x01. 9 分0 x 01x 012 y 04x ,y 02x ,0y00,MN16x 024x012x2x04x021. 0 x 01x 011直線 PF 的斜率kxy 01,就kxy0120

24、x 0. x100k2 x 0 x 01x 014. 10 分MN4x 01x 0函數(shù)yx1在 1,上單調(diào)遞增,xx 01110. x0 x 0144. x00 x 0141. 11 分14x00k1. MN2k的取值 X 圍為0,1. 12 分MN2解法 3：設(shè)點 Px 0,y 0,直線 PM 的方程為yy 0k 1xx 0,即k xyk x令x1, 得y My 0k 11x 0, M1,y 0k 11x 0. 4 分 直線 PM 與圓x2y21相切,k x 0y01. 2 k 115 分化簡得 ,12 x 02 k 12x y k 112 y 00. 同理 , 設(shè)直線 PN 的方程為yy

25、0k 2xx 0,就點N1,y 0k 21x 0, 且12 x 02 k 22 x y k 0 0 212 y 00. 6 分1k ,k 是關(guān)于 k 的方程12 x 0k22x y k12 y 00的兩根 . 7 分k 1k22x y0, k k 22 y 01. x2 012 x 01依題意 ,x 01,y24x . 0MN1x 0k 1k 2 8 分1x 0k 1k 224k k 21x 02x y 024y 0 212 x 012 x 01x 021x2y2100 x 0212 x 04x 01. 9 分直線 PF 的斜率kxy 01,就kxy0120 x 0. x110 分00k2 x

26、 0 x 01x 014. MN4x 01x 0函數(shù)yx1在 1,上單調(diào)遞增,xx 01110. x 0144. x0 x 012 分0 x 0141. 11 分14x00k1. MN2k的取值 X 圍為0,1. MN2解法 4：設(shè)點 P x 0 , y 0,如圖,設(shè)直線 PM , PN 與圓 O 相切的切點分別為 R , T ,依據(jù)平面幾何性質(zhì),得 PM PN 2 PR MN , 4 分由 S PMN 1MN x 0 1 1MN PM PN OR , 5 分2 2y P得 MN x 0 1 MN PM PN ,R得 MN x 0 1 2 PR 2 MN . 6 分 MO xT2得 MN x

27、0 1 2 PR 2 PO 1 . 7 分 N2 22 x 0 y 0 1故 MN . 8 分x 0 12依題意 , x 0 1 , y 0 4 x . MN 2x 0 24 x 0 1 . 9 分x 0 1直線 PF 的斜率 k y 0,就 k y 0 2 x 0. x 0 1 x 0 1 x 0 1MN kx 0 2 x4 0 x 0 1 x 0 11 4 . 10 分x 0函數(shù) y x 1在 1, 上單調(diào)遞增,xx 0 11 1 0 . x 0 14 4 . x 0 x 01 10 . 11 分x 0 14 4x 00 k 1. MN 2k的取值 X 圍為 0, 1 . 12 分MN 2

28、（21）（本小題滿分 12分）已知函數(shù) f x e xax x R . 當(dāng) a 1 時,求函數(shù) f x 的最小值； 如 x 0 時, f x ln x 1 1 ,XX 數(shù) a 的取值 X 圍；（）求證：e 2 e 3. 2解析 ： 解: 當(dāng) a 1 時, f x e x x , 就 f xe 1x 1 . 1 分令 f x 0,得 x 0 . 當(dāng) x 0 時, f x 0 ; 當(dāng) x 0 時, f x 0 . 2 分函數(shù) f x 在區(qū)間 ,0 上單調(diào)遞減 , 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增 . 當(dāng) x 0 時, 函數(shù) f x 取得最小值 , 其值為 f 0 1 . 3 分x 解: 如 x 0 時,

29、f x ln x 1 1 , 即 e ax ln x 1 1 0 .* 令 g x xe ax ln x 1 1 , 就 g x e x 1a . x 1 如 a 2 , 由 知 e xx 1 , 即 e x1 x , 故 e x1 x . x 1 1 1g x e a x 1 a 2 x 1 a 2 a 0 . x 1 x 1 x 1 4 分函數(shù) g x 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增 . g x g 0 0 . * 式成立 . 5 分如 a 2 , 令 x e x 1 a , x 12 x就 x e x 12 x 1 e2 10 . x 1 x 1函數(shù) x 在區(qū)間 0, 上單調(diào)遞增 . 由于 0

30、 2 a 0 , a e a 1 a 1 a 1 a 1 1 0 . 1 a 1 a 1 a 6 分故 x 0 0, a , 使得 x 0 0 . 7 分就當(dāng) 0 x x 時, x x 0 0 , 即 g x 0 . 函數(shù) g x 在區(qū)間 0,x 0 上單調(diào)遞減 . g x 0 g 0 0 , 即* 式不恒成立 . 8 分綜上所述 , 實數(shù) a 的取值 X 圍是 2, . 9 分 證明 : 由 知, 當(dāng) a 2 時, g x e x 2 x ln x 1 1 在 0, 上單調(diào)遞增 . 1就 g 1g 0 , 即 e 2 1 ln 11 1 0 . 10 分2 2ln 3 2 e. 11 分23

31、 e 2 e, 即 e 2 e 3. 12 分2 2請考生在第 22、23、24 三題中任選一題做答,假如多做,就按所做的第一題計分；做答時請寫清題號；（22）（本小題滿分10 分）選修 41: 幾何證明選講由割線定 如圖 , 四邊形 ABCD 是圓 O的內(nèi)接四邊形 , AB 是圓 O的直徑, BCCD , AD 的延長線與 BC 的延長線交于點E, 過C作CFAE,垂足為點F. E 證明 : CF 是圓 O 的切線；DFC 如BC4,AE9,求 CF 的長 . 解析 ： 證明 : 連接 OC , AC ,AOB BCCD ,CABCAD. 1 分 AB 是圓 O 的直徑, OCOA. 3 分DFECCABACO. 2 分CADACO. AE OC . CFAE ,4 分AOB CFOC . CF 是圓 O 的切線 . 5 分 解 : AB 是圓 O 的直徑,ACB90, 即 ACBE . CABCAD , 點 C 為 BE 的中點 . BCCECD4. 6 分理 : EC EBED EA, 且AE9. 7 分得 ED 32. 8 分9在 CDE 中, CD CE , CF DE ,就 F 為 DE 的中點 . DF 16. 9 分92在 Rt CFD 中,CF CD 2DF 24 2 16 4