高考預(yù)測(cè)概率知識(shí)點(diǎn)及例題

1、概率學(xué)問(wèn)要點(diǎn) 隨機(jī)大事的概率 隨機(jī)大事的概率 1,必定大事： 一般地,把在條件 S 下,確定會(huì)發(fā)生的大事叫做相對(duì)于條件 S 的必定大事； 2,不行能大事： 把在條件 S 下,確定不會(huì)發(fā)生的大事叫做相對(duì)于條件 S 的 不行能大事； 3,確定大事： 必定大事和不行能大事統(tǒng)稱相對(duì)于條件 S 的確定大事； 4,隨機(jī)大事： 在條件 S 下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事,叫相對(duì)于條件 S 的隨機(jī)大事； 5,頻數(shù)： 在相同條件 S 下重復(fù) n 次試驗(yàn),觀看某一大事 A 是否顯現(xiàn),稱 n次試驗(yàn)中大事 A 顯現(xiàn)的次數(shù) nA 為大事 A 顯現(xiàn)的頻數(shù)； 6,頻率： 大事 A 顯現(xiàn)的比例 f A= nA ； n7,概率

2、：隨機(jī)大事 A 的概率是頻率的穩(wěn)固值, 反之, 頻率是概率的近似值 . 概率的意義 1,概率的正確說(shuō)明： 隨機(jī)大事在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的,但隨機(jī)性 中含有規(guī)律性；熟識(shí)了這種隨機(jī)中的規(guī)律性,可以比較精確地推測(cè)隨機(jī)事 件發(fā)生的可能性； 2,玩耍的公平性： 抽簽的公平性； 3,決策中的概率思想： 從多個(gè)可選答案中挑選出正確答案的決策任務(wù),那 么“使得樣本顯現(xiàn)的可能性最大”可以作為決策的準(zhǔn)就； 極大似然法,小概率大事 第 1 頁(yè),共 25 頁(yè)4,天氣預(yù)報(bào)的概率說(shuō)明： 明天本地降水概率為 70%說(shuō)明是“明天本地下雨 的機(jī)會(huì)是 70%”； 5,試驗(yàn)與發(fā)覺(jué)： 孟德?tīng)柕耐愣乖囼?yàn)； 6,遺傳機(jī)理中的統(tǒng)計(jì)規(guī)

3、律； 概率的基本性質(zhì) 1,大事的關(guān)系與運(yùn)算 （ 1）包含； 對(duì)于大事 A 與大事 B,假如大事 A 發(fā)生,就大事 B 確定發(fā)生, 稱大事 B 包含大事 A（或大事 A 包含于大事 B）,記作 B A或 A B； 不行能大事記作 ； （ 2）相等； 如 B A 且 B ,就稱大事 A 與大事 B 相等,記作 A=B ； A （ 3）大事 A 與大事 B 的并大事（和大事）：某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事 A 發(fā) 生或大事 B 發(fā)生； （ 4）大事 A 與大事 B 的交大事（積大事）：某大事發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)大事 A 發(fā) 生且大事 B 發(fā)生； （ 5）大事 A 與大事 B 互斥： A B 為不行能大事,即 A

4、B= ,即大事 A 與 大事 B 在任何一次試驗(yàn)中并不會(huì)同時(shí)發(fā)生； （ 6）大事 A 與大事 B 互為對(duì)立大事： A B 為不行能大事, A B 為必定事 件,即大事 A 與大事 B 在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生； 2,概率的幾個(gè)基本性質(zhì) （ 1） 0 P A 1 .（ 2）必定大事的概率為 1. PE 1. 0 . （ 3）不行能大事的概率為 0. P F 第 2 頁(yè),共 25 頁(yè)（ 4）大事 A 與大事 B 互斥時(shí), PA B=PA+PB 概率的加法公式； （ 5）如大事 B 與大事 A 互為對(duì)立大事,就 A B 為必定大事, P A B 1 .3.2 古典概型 古典概型 1,基本事件

5、： 基本事件的特點(diǎn)：（1）任何兩個(gè)大事是互斥的； （ 2）任何大事（除不行能大事）都可以表示成基本時(shí)間 的和； 2,古典概型：（ 1）試驗(yàn)中全部可能顯現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)； （ 2）每個(gè)基本事件顯現(xiàn)的可能性相等； 具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概型； 3,公式： P A= A 包含的基本事件的個(gè) 數(shù) 基本事件的總數(shù) （整數(shù)值）隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 如何用運(yùn)算器產(chǎn)生指定的兩個(gè)整數(shù)之間的取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)？書(shū)上例 題； 3.3 幾何概型 幾何概型 1,幾何概型： 每個(gè)大事發(fā)生的概率只有與構(gòu)成該大事區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或 體積）成比例的概率模型； 2,幾何概型中,大事 A 發(fā)生的概率運(yùn)算公式： P A 構(gòu)成大

6、事 A 的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積） 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積） 第 3 頁(yè),共 25 頁(yè)均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生 常用的是 0,1 上的均勻隨機(jī)數(shù),可以用運(yùn)算器來(lái)產(chǎn)生 01 之間的均勻隨機(jī) 數(shù)； 本章學(xué)問(wèn)小結(jié) 隨機(jī)大事 頻率 概率,概率的意 應(yīng) 用 義與性質(zhì) 概 率 解 決 實(shí) 古典概型 幾何概型 際 問(wèn) 題 隨機(jī)數(shù)與隨機(jī)模擬 （ 1）在具體情境中,明白隨機(jī)大事發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)固性,進(jìn)一 第 4 頁(yè),共 25 頁(yè)步明白概率的意義以及頻率與概率的區(qū)分； （ 2）通過(guò)實(shí)例,明白兩個(gè)互斥大事的概率加法公式； （ 3）通過(guò)實(shí)例,懂得古典概型及其概率運(yùn)算公式,會(huì)用列舉法運(yùn)算一些隨 機(jī)大事

7、所含的基本事件數(shù)及大事發(fā)生的概率； （ 4）明白隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法（包括運(yùn)算器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)來(lái)進(jìn)行 模擬）估量概率,初步體會(huì)幾何概型的意義（參見(jiàn)例 3）； （ 5）通過(guò)閱讀材料,明白人類熟識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象的過(guò)程； 重難點(diǎn)的歸納： 重點(diǎn)： 1,明白隨機(jī)大事發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)固性,正確懂得概率的意義 2,懂得古典概型及其概率運(yùn)算公式 3,關(guān)于幾何概型的概率運(yùn)算 4,體會(huì)隨機(jī)模擬中的統(tǒng)計(jì)思想：用樣本估量總體 難點(diǎn)： 1,懂得頻率與概率的關(guān)系 . 2,設(shè)計(jì)和運(yùn)用模擬方法近似運(yùn)算概率 3,把求未知量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求概率的問(wèn)題 （二）高考概率 概率考試內(nèi)容： 隨機(jī)大事的概率等可能性大事的概率互

8、斥大事有一個(gè) 發(fā)生的概率相互獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生的概率獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 考試要求： （ 1）明白隨機(jī)大事的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)大事概率的意義 第 5 頁(yè),共 25 頁(yè)（ 2）明白等可能性大事的概率的意義,會(huì)用排列組合的基本公式運(yùn)算一些 等可能性大事的 概率； （ 3）明白互斥大事,相互獨(dú)立大事的意義,會(huì)用互斥大事的概率加法公式 與相互獨(dú)立大事的概率乘法公式運(yùn)算一些大事的概率 （ 4）會(huì)運(yùn)算大事在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 次的概 率 以下歸納 9 個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)： 解析概率與統(tǒng)計(jì)試題是高考的必考內(nèi)容；它是以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為載體,以 排列組合和概率 統(tǒng)計(jì)等學(xué)問(wèn)為工具,以考查對(duì)五個(gè)概率大事的判定識(shí)別及 其

9、概率的運(yùn)算和隨機(jī)變量概率分 布列性質(zhì)及其應(yīng)用為目標(biāo)的中檔師,估量 這也是今后高考概率統(tǒng)計(jì)試題的考查特點(diǎn)和命題趨向； 下面對(duì)其常見(jiàn)題型和考點(diǎn)進(jìn)行解析； 考點(diǎn) 1 考查等可能大事概率運(yùn)算； 在一次試驗(yàn)中可能顯現(xiàn)的結(jié)果有 n 個(gè),而且全部結(jié)果顯現(xiàn)的可能性都 相等；假如大事 A 包含的結(jié)果有 m 個(gè),那么 PA m ；這就是等可能大事 n的判定方法及其概率的計(jì) n 算公式； 高考常借助不同背景的材料考查等可能大事概率的運(yùn)算方法以及分析 和解決實(shí)際問(wèn)題的才能； 例 1（ 2022 天津） 從 4 名男生和 2 名女生中任 3 人參加演講競(jìng)賽 . I 求所選 3 人都是男生的概率； II 求所選 3 人中

10、恰有 1 名女生的概率； III 求所選 3 人中至少有 1 名女生的概率 . 第 6 頁(yè),共 25 頁(yè)考點(diǎn) 2 考查互斥大事至少有一個(gè)發(fā)生與相互獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生概率運(yùn)算； 不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)大事 A ,B 叫做互斥大事, 它們至少有一個(gè)發(fā)生 的大事為 A+B ,用概率的加法公式 PA+B=PA+PB 運(yùn)算； 大事 A（或 B）是否發(fā)生對(duì)大事 B（或 A）發(fā)生的概率沒(méi)有影響, 就 A, B 叫做相互獨(dú)立大事,它們同時(shí)發(fā)生的大事為 PAB=PAPB 運(yùn)算； AB ；用概率的乘法公式 高考常結(jié)合考試競(jìng)賽,上網(wǎng)工作等問(wèn)題對(duì)這兩個(gè)大事的識(shí)別及其概率 的綜合運(yùn)算才能進(jìn)行考查； 例 2.（ 2022 全

11、國(guó)卷） 設(shè)甲,乙,丙三臺(tái)機(jī)器是否需要照管相互之間沒(méi)有 影響；已知在某一小時(shí)內(nèi),甲,乙都需要照管的概率為 ,甲,丙都需 要照管的概率為 ,乙,丙都需要照管的概率為 5,（）求甲,乙, 丙每臺(tái)機(jī)器在這個(gè)小時(shí)內(nèi)需要照管的概率分別是多少； （）運(yùn)算這個(gè)小時(shí) 內(nèi)至少有一臺(tái)需要照管的概率； 考點(diǎn) 3 考查對(duì)立大事概率運(yùn)算； 必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)互斥大事 A ,B 叫做互為對(duì)立大事； 用概率的減法 公式 PA=1-PA 運(yùn)算其概率； 高考常結(jié)合射擊,電路,交通等問(wèn)題對(duì)對(duì)立大事的判定識(shí)別及其概率運(yùn)算 進(jìn)行考查； 例 32022 福建卷文） 甲,乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為 1 和 2 ； 2 5（）甲,乙

12、兩人在罰球線各投球一次,求恰好命中一次的概率； （）甲,乙兩人在罰球線各投球二次,求這四次投球中至少一次命中的 第 7 頁(yè),共 25 頁(yè)概率； 考點(diǎn) 4考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率運(yùn)算； 如 n 次重復(fù)試驗(yàn)中,每次試驗(yàn)結(jié)果的概率都不依靠其它各次試驗(yàn)的結(jié) 果,就此試驗(yàn)叫做 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)；如在 1 次試驗(yàn)中大事 A 發(fā)生的概率 為 P,就在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,大事 A 恰好發(fā)生 k 次的概率為 Pnk= Pn A Cn p 1 k k p n k ； 高考結(jié)合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題考查 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某大事恰好發(fā)生 k 次 的概率的運(yùn)算方法 和化歸轉(zhuǎn)化,分類爭(zhēng)辯等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用； 例 4（ 20

13、22湖北卷） 某會(huì)議室用 5 盞燈照明,每盞燈各使用燈泡一只, 且型號(hào)相同；假定每盞燈能否正常照明只與燈泡的壽命有關(guān),該型號(hào)的燈 泡壽命為 1 年以上的概率為 p1,壽命為 2 年以上的概率為 p2；從使用之日 起每滿 1 年進(jìn)行一次燈泡更換工作,只更換已壞的燈泡,平常不換； （）在第一次燈泡更換工作中,求不需要換燈泡的概率和更換 2 只燈泡 的概率； （）在其次次燈泡更換工作中,對(duì)其中的某一盞燈來(lái)說(shuō),求該盞燈需要 更換燈泡的概率；（）當(dāng) , 時(shí),求在其次次燈泡更換工作, 至少需要更換 4 只燈泡的概率（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字） 考點(diǎn) 5 考查隨機(jī)變量概率分布與期望運(yùn)算； 解決此類問(wèn)題時(shí),第一應(yīng)

14、明確隨機(jī)變量可能取哪些值,然后依據(jù)相互 獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生概率的法公式去運(yùn)算這些可能取值的概率值即可等到分 布列,最終依據(jù)分布列和期望,方差公式去獲解；以此考查離散型隨機(jī)變 量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和運(yùn)用概率學(xué)問(wèn)解決 實(shí)際問(wèn)題的才能； 第 8 頁(yè),共 25 頁(yè)例 5（ 2022湖北卷） 某地最近出臺(tái)一項(xiàng)機(jī)動(dòng)車駕照考試規(guī)定；每位考試 者一年之內(nèi)最多有 4 次參加考試的機(jī)會(huì),一旦某次考試通過(guò),使可領(lǐng)取駕 照,不再參加以后的考試,否就就始終考到第 4 次為止；假如李明準(zhǔn)備參 加駕照考試,設(shè)他每次參加考試通過(guò)的概率依次為 , , ,求 在一年內(nèi)李明參加駕照考試次數(shù) 的分布列 的期望,并求李明在一年和 內(nèi)

15、 領(lǐng)到駕照的概率； 考點(diǎn) 6 考查隨機(jī)變量概率分布列與其他學(xué)問(wèn)點(diǎn)結(jié)合 1,考查隨機(jī)變量概率分布列與函數(shù)結(jié)合； 例 6.（2022 湖南卷） 某城市有甲,乙,丙 3 個(gè)旅行景點(diǎn),一位客人游玩這 三個(gè)景點(diǎn)的概率分別是 ,且客人是否游玩哪個(gè)景點(diǎn)互不影響, 設(shè) 表示客人離開(kāi)該城市時(shí)游玩的景點(diǎn)數(shù)與沒(méi)有游玩的景點(diǎn)數(shù)之差的肯定 值； （）求 的分布及數(shù)學(xué)期望； （）記 “函數(shù) fx x23x 1在區(qū)間 2,上單調(diào)遞增 ”為大事 A,求 大事 A 的概率； 2,考查隨機(jī)變量概率分布列與數(shù)列結(jié)合； 例 7 甲乙兩人做射擊玩耍,甲乙兩人射擊擊中與否是相互獨(dú)立大事,規(guī)章 如下：如射擊一次擊中,原射擊者連續(xù)射擊,如射

16、擊一次不中,就由對(duì)方 接替射擊； 已知甲乙兩人射擊一次擊中的概率均為 擊； 7,且第一次由甲開(kāi)頭射 （ 1）求前 4 次射擊中,甲恰好射擊 3 次的概率； （ 2）如第 n 次由甲射擊的概率為 an ,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；求 lim an , 第 9 頁(yè),共 25 頁(yè)并說(shuō)明極 n限值的實(shí)際意義； 3,考查隨機(jī)變量概率分布列與線形規(guī)劃結(jié)合； 例 8（ 2022 遼寧卷） 某工廠生產(chǎn)甲,乙兩種產(chǎn)品,每種產(chǎn)品都是經(jīng)過(guò)第一 和其次工序加工而成,兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立,每道工序的加工結(jié) 果均有 A, B 兩個(gè)等級(jí)對(duì)每種產(chǎn)品,兩道工序的加工結(jié)果都為 A 級(jí)時(shí),產(chǎn) 品為一等品,其余均為二等品； （

17、）已知甲,乙兩種產(chǎn)品每一道工序的加工結(jié)果為 A 級(jí)的概率如表一所 示,分別求生產(chǎn)出的甲,乙產(chǎn)品為一等品的概 （）已知一件產(chǎn)品的利潤(rùn)如表二所示,用 P甲,P乙 ； ,分別表示一件甲,乙產(chǎn) 品 的利潤(rùn),在（ I）的條件下,求 ,的分布列 及 E, E； .該工廠有工人 （）已知生產(chǎn)一件產(chǎn)品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示 40 名,可用資金 60 萬(wàn)元； 設(shè) x,y 分別表示生產(chǎn)甲, 乙產(chǎn)品的數(shù)量, 在（ II ） 的條件下, y 為何值時(shí), z=xE+ yEx 最大？最大值是多少？（解答時(shí)須 給出圖示） 考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì) 性質(zhì)應(yīng)用 考點(diǎn) 7 考查隨機(jī)變量概率分布列性質(zhì)應(yīng)用； 離散型隨機(jī)變

18、量在某一范疇內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范疇內(nèi)各個(gè)值 的概率之和 .,高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題對(duì)隨機(jī)變量概率分布列及其性質(zhì)的應(yīng)用 進(jìn)行考查； 例 92022 年全國(guó)高考題 某同學(xué)參加科普學(xué)問(wèn)競(jìng)賽 ,需回答三個(gè)問(wèn)題 ,競(jìng)賽 規(guī)章規(guī)定：每題回答正確得 100 分,回答不正確得 0 分；假設(shè)這名同學(xué)每 題回答正確的概率均為 0.8,且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響 .； 第 10 頁(yè),共 25 頁(yè)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問(wèn)題的總得分的概率分布和數(shù)學(xué)期望； 求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分 即 的0概率；考點(diǎn) 8 樣本抽樣識(shí)別與運(yùn)算； 簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣,系統(tǒng)抽樣,分層抽樣得共同特點(diǎn)是不放回抽樣,且各 個(gè)體被抽取得概率相等,均

19、為 nN 為總體個(gè)體數(shù), n 為樣本容量 ；系統(tǒng)抽 N樣,分層抽樣的實(shí)質(zhì)分別是等距抽樣與按比例抽樣,只需依據(jù)定義,適用 范疇和抽樣步驟進(jìn)行,就可得到符合條件的樣本； 高考常結(jié)合應(yīng)用問(wèn)題,考查構(gòu)照抽樣模型,識(shí)別圖形,搜集數(shù)據(jù),處 理材料等爭(zhēng)辯性學(xué)習(xí)的才能； 例 11 （2022 年湖北湖北高考題） 某初級(jí)中學(xué)有同學(xué) 270 人,其中一年級(jí) 108 人,二,三年級(jí)各 81 人,現(xiàn)要利用抽樣方法抽取 10 人參加某項(xiàng)調(diào)查, 考慮選用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣,分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案,使用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽 樣和分層抽樣時(shí), 將同學(xué)按一, 二,三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為 1,2, ,270； 使用系統(tǒng)抽樣時(shí),將同學(xué)統(tǒng)一隨機(jī)編

20、號(hào) 1,2, ,270,并將整個(gè)編號(hào)依次 分為 10 段.假如抽得號(hào)碼有以下四種情形： 7, 34,61,88,115, 142, 169,196,223,250；5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； 11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； 30,57, 84,111, 138,165, 192, 219, 246, 270；關(guān)于上述樣本的以下結(jié)論中,正確選項(xiàng) （） A,都不能為系統(tǒng)抽樣 B,都不能為分層抽樣 C,都可能為系統(tǒng)抽樣 第 11 頁(yè),共 25 頁(yè)D,都可能為分層抽樣 考點(diǎn) 9 考查直方圖；這是統(tǒng)計(jì)的學(xué)問(wèn),不是概率

21、的吧？ 例 12.（ 2022 江西卷） 為明白某校高三同學(xué)的視力情形,隨機(jī)地抽查了該 校 100 名高三同學(xué)的視力情形,得到頻率分布直方圖,如右,由于不慎將 部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,但知道前 4 組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后 6 組的頻數(shù)成等差數(shù) 列,設(shè)最大頻率為 a,視力在 到 之間的同學(xué)數(shù)為 b,就 a,b 的值分 別為（） A 0,27,78 B0,27,83 C 2.7,78 D 2.7,83 方法小結(jié)： 解決概率問(wèn)題時(shí), 確定要依據(jù)有關(guān)概念, 判定問(wèn)題是否是等可能性大事, 互斥大事, 相互獨(dú)立大事, 仍是某一大事在 n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生 k 次的情形,以便挑選正確的運(yùn)算方法,同時(shí)留意上述各

22、類大事的綜合問(wèn)題, 要全面考慮,特殊是近幾年高考概率與期望的綜合,表達(dá)了高考對(duì)概率知 識(shí)要求的進(jìn)一步提高；下面僅以幾個(gè)例題作以小結(jié)； 一,用排列組合求概率 例 1 從 0 到 9 這 10 個(gè)數(shù)字中任取 3 個(gè)數(shù)字組成一個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù), 這個(gè)三位數(shù)不能被 3 整除的概率為（） A19/54 B35/5 C38/54 D41/60 分析：等可能大事的概率關(guān)鍵是利用排列組合出基本事件數(shù)； 答案： B 點(diǎn)評(píng)：此題將等可能大事與對(duì)立大事的概率,以及分類爭(zhēng)辯綜合在一起, 表達(dá)了學(xué)問(wèn)交匯點(diǎn)的命題精神,是高考的熱點(diǎn)； 第 12 頁(yè),共 25 頁(yè)二,互斥大事有一個(gè)發(fā)生的概率 例 2 某廠生產(chǎn) A 產(chǎn)品

23、 ,每盒 10 只進(jìn)行包裝 ,每盒產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)合格后才能 出廠 ,規(guī)定以下 ,從每盒 10 只中任意抽 4 只進(jìn)行檢驗(yàn) ,假如次品數(shù)不超過(guò) 1 只, 就認(rèn)為合格 ,否就就認(rèn)為不合格 ,已經(jīng)知道某盒 A 產(chǎn)品中有 2 只次品 （ 1）求該盒產(chǎn)品被檢驗(yàn)合格的概率 （ 2）如對(duì)該盒產(chǎn)品分別進(jìn)行兩次檢驗(yàn) ,求兩次檢驗(yàn)的結(jié)果不一樣的概率 分析：對(duì)一個(gè)復(fù)雜大事的概率可以分拆成幾個(gè)互斥大事的概率或者轉(zhuǎn)化為 求其對(duì)立大事的概率； 點(diǎn)評(píng)：求相互獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生的概率,要保證兩者確是“相互獨(dú)立”事 件；本例的“競(jìng)賽型”題,分析比較簡(jiǎn)潔,只要結(jié)合有關(guān)競(jìng)賽規(guī)章即可解 決,此類題也是高考的熱點(diǎn)題； 三,對(duì)立重復(fù)試驗(yàn)

24、例 3 一位同學(xué)每天騎自行車上學(xué) ,從他家到學(xué)校有 5 個(gè)交通崗 ,假設(shè)他在交通 崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的 ,且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為 p,其余 3 個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為 1 ； 2 1 如 p=2/3,求該同學(xué)在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率 ; 2 如該同學(xué)至多遇到一次紅燈的概率不超過(guò) 5/18,求 p 的取值范疇； 分析：首末兩個(gè)交通崗遇紅燈的概率相同,其余 3 個(gè)交通崗遇紅燈的概率 也相同,可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)； 點(diǎn)評(píng)：要留意恰有 k 次發(fā)生和某指定的 k 次發(fā)生的差異；對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 來(lái)說(shuō),前者的概率為 總結(jié)： 概率初步的考題一般以 （1）等可能大事；（2）互斥大事有一個(gè)

25、發(fā)生； 第 13 頁(yè),共 25 頁(yè)（ 3）相互獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生； （ 4）獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為載體；有的考題可能綜 合多個(gè)概率題型；在等可能大事的概率運(yùn)算中,關(guān)鍵有二：一是誰(shuí)是一次 試驗(yàn)（一次大事所含的基本事件的總數(shù)） ；二是大事 A 所含基本事件數(shù)；當(dāng) 然,全部基本事件是等可能的是前提；善于將復(fù)雜的大事分解為互斥大事 的和與獨(dú)立大事的積是解題的關(guān)鍵； （三）高考數(shù)學(xué)概率中的易錯(cuò)題辨析 一,概念懂得不清致錯(cuò) 例 1拋擲一枚均勻的骰子,如大事 A ：“朝上一面為奇數(shù)” ,大事 B： “朝上一面的點(diǎn)數(shù)不超過(guò) 3”,求 P（ A+B ） 錯(cuò)誤會(huì)法 1：大事 A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是 1,3,5；大事 B：趄上

26、一面 的點(diǎn)數(shù)為 1, 2,3, P（ A+B ）=P（A ）+P（B）= 3 63162錯(cuò)因分析：大事 A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)是 1,3,5；大事 B：趄上一面的 點(diǎn)數(shù)為 1,2, 3,很明顯,大事 A 與大事 B 不是互斥大事； 即 P（ A+B ） P（A ）+P（ B）,所以上解是錯(cuò)誤的；實(shí)際上： 正確解法為： A+B 包含：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為 1,2, 3, 5 四種情形 P（A+B ）= 4 62 3錯(cuò)誤會(huì)法 2：大事 A：朝上一面的點(diǎn)數(shù)為 1,3,5；大事 B：朝上一面 的點(diǎn)數(shù)為 1, 2,3,即以 A, B 大事中重復(fù)的點(diǎn)數(shù) 1, 3 P（A+B ）=P（ A）+P（ B） P（A B

27、） = 1 211132224錯(cuò)因分析： A, B 大事中重復(fù)點(diǎn)數(shù)為 1, 3,所以 P（ A B）= 2 ；這種 6錯(cuò) 誤 解 法 在 于 簡(jiǎn) 單 地 類 比 應(yīng) 用 容 斥 原 理 Ca A r B d C a A r C d aB r Cda A r Bd致錯(cuò) 第 14 頁(yè),共 25 頁(yè)正確解答： P（A+B ）=P（A ） +P（ B） P（A B） = 1 2122, 263例 2某人拋擲一枚均勻骰子, 構(gòu)造數(shù)列 an ,使 an1, 當(dāng)?shù)?n 次擲出偶數(shù) 1, 當(dāng)?shù)?n 次擲特殊數(shù) 記 Sn a1 a2 an 求 Si 0i 1,2,3,4 且 S8 2 的概率； 錯(cuò)解：記大事 A

28、： S8 2 ,即前 8 項(xiàng)中, 5 項(xiàng)取值 1,另 3 項(xiàng)取值 1 S8 2 的概率 P A C8 5 1 8 2記大事 B： Si 0i 1, 2,3,4 ,將 Si 0i 1,2,3,4 分為兩種情形： （ 1）如第 1, 2 項(xiàng)取值為 1,就 3, 4 項(xiàng)的取值任意 （ 2）如第 1 項(xiàng)為 1,第 2 項(xiàng)為 1,就第 3 項(xiàng)必為 1 第四項(xiàng)任意 P（B） = 1 2 1 3 32 2 8所求大事的概率為 P=P（A ） P（B） = 3 C 8 5 1 8 8 2錯(cuò)因分析： Si 0 且 S8 2 是同一大事的兩個(gè)關(guān)聯(lián)的條件,而不是兩個(gè)相 互獨(dú)立大事； Si 0 對(duì) S8 2 的概率是

29、有影響的,所以解答應(yīng)為： 正解： Si 0 i 1,2,3,4 前 4 項(xiàng)的取值分為兩種情形 如 1,3項(xiàng)為 1；就余下 6項(xiàng)中 3項(xiàng)為 1,另 3項(xiàng)為 -1即可；即 P 1 C 6 3 ； 1 8 2如 1, 2 項(xiàng)為正,為防止與第類重復(fù),就第 3 項(xiàng)必為 -1, 就后 5 項(xiàng)中只須 3 項(xiàng)為 1,余下 2 項(xiàng)為 -1,即 P2 C 5 31 8 , 2所求大事的概率為 P C 6 3C 32 1 8 15 2 7二,有序與無(wú)序不分致錯(cuò) 例 3甲,乙兩人參加普法學(xué)問(wèn)競(jìng)賽,共有 10 個(gè)不同的題目,其中選 擇題 6 個(gè),判定題 4 個(gè),甲,乙依次各抽一題； 求：（1）甲抽到挑選題,乙提到判定題

30、的概率是多少？ （2）甲,乙兩人中至少有 1 人抽到挑選題的概率是多少？ 第 15 頁(yè),共 25 頁(yè)錯(cuò)誤會(huì)法：（1）甲從挑選題抽到一題的結(jié)果為 C16乙從判定題中抽到一題的結(jié)果為 C 1 4而甲,乙依次抽到一題的結(jié)果為 C2 10 所求概率為： 1 1 C 6 C4 8C 10 2 15 錯(cuò)因分析： 甲,乙依次從 10 個(gè)題目各抽一題的結(jié)果, 應(yīng)當(dāng)是先選后排, 所以應(yīng)為 A ；為防止錯(cuò)誤,對(duì)于基本事件總數(shù)也可這樣做：甲抽取一道題 目的結(jié)果應(yīng)為 C 10 1 種,乙再抽取余下的 9 道題中的任一道的結(jié)果應(yīng)為 C1 9種, 所以 正確解答： 1 1 C6 C4 4C2 4種, C 10 1 C 9

31、 1 15 （ 2）錯(cuò)誤會(huì)法： 從對(duì)立大事考慮, 甲,乙都抽到判定題的結(jié)果為 所以都抽到判定題的概率為 2 C4 1 1 C C 91,所求大事的概率為 1114 15 15 15 錯(cuò)因分析：指定大事中指明甲,乙依次各抽一題,那么甲,乙都提到 判定題的結(jié)果應(yīng)為 C C 種,所以所求大事概率應(yīng)為 11 1 C 4C 3 C10C 9 1 1 215 說(shuō)明：對(duì)于第（ 2）問(wèn),我們也可以用這樣解答： 12 C 4 2 15 ,這里啟示我們,當(dāng)基本事件是有序的,就指定大事是有序 C2 10 的（指定大事包含在基本事件中） ；當(dāng)基本事件是無(wú)序的,就指定大事也必 無(wú)序；關(guān)鍵在于基本事件熟識(shí)角度必需精確；

32、例 4已知 8 支球隊(duì)中有 3 支弱隊(duì),以抽簽方式將這 8 支球隊(duì)分為 A, B 兩組,每組 4 支,求： A , B 兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率； 錯(cuò)解：將 8 支球隊(duì)均分為 A ,B 兩組,共有 C C 種方法： A,B 兩組中 有一組恰有兩支弱隊(duì)的分法為：先從 3 支弱隊(duì)取 2 支弱隊(duì),又從 5 支強(qiáng)隊(duì) 第 16 頁(yè),共 25 頁(yè)取 2 支強(qiáng)隊(duì),組成這一組共有 C C 3種方法,其它球隊(duì)分在另一組,只有一 2種分法； 所求大事的概率為： 2 2 C5 C 2 4 4C C 47 3 ； 錯(cuò)因分析：從基本事件的結(jié)果數(shù)來(lái)看,分組是講求次序的,那么指定 大事：“ A,B 組中有一組有 2

33、支弱隊(duì)”應(yīng)分為兩種情形；即“ A 組有”或 “ B 組有”,所以正確解答為： 2 2 正解： 2C 5 C 2 4 4C C 42 2 6 或 7 C C / A 4 C5 C 2 4 267說(shuō)明：這道題也可從對(duì)立大事求解： 3 支弱隊(duì)分法同一組共有： C 1 5C1 5種結(jié)果； 所求大事概率為 11 C 5 1 C 5 64 4 C C 4 7三,分步與分類不清致錯(cuò) 例 5某人有 5 把不同的鑰匙,逐把地試開(kāi)某房門鎖,試問(wèn)他恰在第 3 次打開(kāi)房門的概率？ 錯(cuò)誤會(huì)法：由于此人第一次開(kāi)房門的概率為 1 ,如第一次未開(kāi),第 2 5 次能打開(kāi)房門的概率應(yīng)為 1 ；所以此人第 4 3 次打開(kāi)房門的概率

34、為 1 ； 3 錯(cuò)因分析：此人第 3 次打開(kāi)房門實(shí)際是第 1 次未打開(kāi),第 2 次未打開(kāi), 第 3 次打開(kāi)“這三個(gè)大事的積大事” ,或者懂得為“開(kāi)房門是經(jīng)過(guò)未開(kāi), 未開(kāi),開(kāi)”這三個(gè)步驟,不能懂得為此大事只有“開(kāi)房門”這一個(gè)步驟, 所以,正確解答應(yīng)為： 正解：第 1 次未打開(kāi)房門的概率為 4 ；第 2 次未開(kāi)房門的概率為 3 ；第 5 43 次打開(kāi)房門的概率為 1 ,所求概率為： P 4 3 1 1； 3 5 4 3 5例 5某種射擊競(jìng)賽的規(guī)章是：開(kāi)頭時(shí)在距目標(biāo) 100m 處射擊,如命中 第 17 頁(yè),共 25 頁(yè)記 3 分,同時(shí)停止射擊；如第一次未命中,進(jìn)行其次次射擊,但目標(biāo)已在 150m 遠(yuǎn)

35、處,這時(shí)命中記 2 分,同時(shí)停止射擊；如第 2 次仍未命中,仍可以 進(jìn)行第 3 次射擊, 此時(shí)目標(biāo)已在 200m 遠(yuǎn)處； 如第 3 次命中就記 1 分,同時(shí) 停止射擊, 如前 3 次都未命中, 就記 0 分；已知身手甲在 100m 處擊中目標(biāo) 的概率為 1 ,他命中目標(biāo)的概率與目標(biāo)的距離的平方成反比, 2 且各次射擊都 是獨(dú)立的；求：射手甲得 k 分的概率為 Pk ,求 P3,P2,P1, P0 的值； ：設(shè)射手射擊命中目標(biāo)的概率 P 與目標(biāo)距離 x 之間的關(guān)系 為 P k ,由已知 1k k 5000 2次命 x 2 2100 2錯(cuò)誤會(huì)法： P 31 2P2 5000 215029P1 50

36、00 120028P0 1 11 21 149 298144 錯(cuò)因分析：求 P2 時(shí),將第 150m 處射擊命中目標(biāo)的概率作為第 中目標(biāo)的概率,隔離了第 1 次射擊與第 2 次射擊的關(guān)系,實(shí)際上,第 2 次 射擊行為的發(fā)生是在第 1 次未擊中的前提下才作出的； P2 應(yīng)為“第 1 次未擊中,第 2 次擊中”這兩個(gè)大事的積大事的概率； 求 P1 時(shí)也如此； 正解： P3 11 2 2 9 2172P2 1 9P1 1 1 21 1 89144 P0 1 1 21 21 1 8 49 144 9四,考慮不周致錯(cuò) 第 18 頁(yè),共 25 頁(yè)例 6某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù) x 的分布列如下： x 78

37、910 P 現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊,以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高的環(huán)數(shù)作為他的成果記 為 ,求： 的分布列； 錯(cuò)誤會(huì)法： 的取值為 8,9,10； =7,兩次環(huán)數(shù)為 7,7； =8,兩次 成果為 7, 8 或 8,8； =9,兩次成果 7, 9 或 8, 9 或 9,9； =10,兩次 隊(duì)數(shù)為 7,10 或 8, 10 或 9, 10 或 10, 10； P 7 0. 2 20. 3 2 2P 8 P 9 P 10 0.3 （分布列略） 錯(cuò)因分析： 8 ,即兩次成果應(yīng)為 7,8 或 8,7 或 8, 8 實(shí)際為三種情形, P 98 20. 3 2 P 兩 次 環(huán) 數(shù) 分 別 為 7,9 （ 或 9,7 ）

38、； 8,9 （ 或 9,8 ）, 9 20. 3 22同理 P 10 2242例 7將 n 個(gè)球等可能地放入到 N（nn）個(gè)有編號(hào)的盒子中（盒子中 容納球的個(gè)數(shù)不限）；求 A：某指定的 n 個(gè)盒子中恰有一球的概率； 錯(cuò)誤會(huì)法：將 n 個(gè)球等可能地放入到 N 個(gè)盒子中,共有 Nn 種方法； 而指定的 n 個(gè)盆中各有一球的放法有： n. 種,就所求概率： P A N n. m 第 19 頁(yè),共 25 頁(yè)錯(cuò)因分析：這種解法不全面,假如球是有編號(hào)的,就答案是對(duì)的；如 球是不行辨認(rèn)的,就答案錯(cuò)了,如球是不行辨認(rèn)的,就如考慮盒子中球的 個(gè)數(shù)而不考慮放的是哪幾個(gè)球, 為此,我們用“”表示一個(gè)盒子； 用“”

39、表示一個(gè)球,先將盒子按編號(hào) 12345nN+1 把 n 個(gè)球放入 N 中盒子中,形如： 1010011 10001,正好看作 個(gè)“ 1”和 n 個(gè)“ 0”的全排列；由于兩邊必為“ 1”所以排法只有 C N n n 1 種； 而指定的 n 個(gè)盒子中恰有一球的放法只有 1 種,故 P A C N n 1 n 1 N n. N n 1. 1. 五,混淆“互斥”與“獨(dú)立”出錯(cuò) 例 8甲投籃命中概率為 ,乙投籃命中概率為 ,每人投 3 次,兩 人恰好都命中 2 次的概率是多少？ 錯(cuò)解：設(shè)“甲恰好投中 2次”為大事 A ,“乙恰好投中 2 次”為大事 B, 就兩人恰好投中 2 次為 A+B ； 所以 P

40、（A+B ）=P （ A） +P （ B）= C 3 22C2 320.3 ； 錯(cuò)因分析：此題解答錯(cuò)誤的緣由是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的大事當(dāng)成互 斥大事來(lái)考慮；將兩人都恰好投中 恰好投中 2 次”的和； 2 次懂得為“甲恰好投中 2 次”與“乙 正解：設(shè)“甲恰好投中 2次”為大事 A ,“乙恰好投中 2 次”為大事 B, 就兩人恰好都投中 2 次為 AB ； 所以 P （AB ）=P （A ） P （B ） = C2 32C2 320. 169 六 .混淆有放回與不放回致錯(cuò) 例 9某產(chǎn)品有 3 只次品, 7 只正品,每次取 1 只測(cè)試,取后不放回, 第 20 頁(yè),共 25 頁(yè)求： （ 1）恰好到第

41、 5 次 3 只次品全部被測(cè)出的概率； （ 2）恰好到第 k 次 3 只次品全部被測(cè)出的概率 f k 的最大值和最小值； 錯(cuò)解：（ 1） P（A ）= 310 （ 2） P 3 5 C 53 31 3 210 10 275119876144 ； 錯(cuò)因分析：錯(cuò)解（ 1）的錯(cuò)誤的緣由在于忽視了“不放回摸球”問(wèn)題的 每一次摸球是不獨(dú)立的；而錯(cuò)解（ 2）的錯(cuò)誤的緣由就在于忽視了“不放回 摸球”問(wèn)題的每一次摸球袋內(nèi)球的總數(shù)是變的（比前一次少一個(gè)） ； 正解：（ 1） P 1 2C 3 C 7 A44 31A 10 5320 （ 2） P C 43 13C 4 k 3 37 A 4 3 k 1 k 11

42、240 k 1 k 2, 3 k 10, k Z 當(dāng) k 3 時(shí), f k min f 3 1； 120 當(dāng) k 3 時(shí), f k max f 10 3； 10 一,挑選題 2 福建理 5 某一批花生種子,假如每 1 粒發(fā)牙的概率為 4 , 那么播下 54 粒 192 625 種子恰有 2 粒發(fā)芽的概率是 A. 16 B. 96 C. 625 625 D. 256 625 解：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) B4, 4 , Pk 52 C2421296 455625 第 21 頁(yè),共 25 頁(yè)3（福建文 5 某一批花生種子,假如每 1 粒發(fā)芽的概率為 4 ,那么播下 35粒種子恰有 2 粒發(fā)芽的概率是 A. 1

43、2 B. 16 C. 48 125 125 125 D. 96 125 解：這是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),聽(tīng)從二項(xiàng)分布 B3, , P X 42 C32 421148 5 5 5 125 4（廣東理 3）某校共有同學(xué) 2022 名,各年級(jí)男,女生人數(shù)如表 1已知 在全校 同學(xué)中隨機(jī)抽取 1 名,抽到二 年級(jí)女生的概率是 現(xiàn)用分層抽樣 一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 的方法在全校抽取 64 名同學(xué),就應(yīng)在 女生 373 x y 三年級(jí)抽取的同學(xué)人數(shù)為（ C ） 男生 377 370 z A24 B18 C16 D12 解：依題意我們知道二年級(jí)的女生有 380 人,那么三年級(jí)的同學(xué)的人數(shù)應(yīng) 該是 500 ,即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為 3 : 3 : 2 ,故在分層抽樣中應(yīng)在三 年級(jí)抽取的同學(xué)人數(shù)為 64 216 86（江西理 11文 11）電子鐘一天顯示的時(shí)間是從 00:00 到 23:59 的每一時(shí) 刻都由四個(gè)數(shù)字組成,就一天中任一時(shí)刻的四個(gè)數(shù)字之和為 23 的概率為 A 1 B 1 C 1 D 1180 288 360 480 解：一天顯示的時(shí)間總共有 24 60 1440 種, 和為 23 總共有 4 種, 故所求概率 為 1 . 360 第 22 頁(yè),共 25 頁(yè)7（遼寧理 7文 7）4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字 1,2,3,4, 從這 4 張卡片中隨機(jī) 抽取 2 張,