特殊與一般思想

1、特殊到一般的思想運(yùn)用人類的認(rèn)識(shí)活動(dòng)，人們對(duì)于某類事物的認(rèn)知，總是先對(duì)具體的個(gè)別事物，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、綜合，歸納出其甄選，再通過(guò)理性分析、邏輯推理加以證明，從特殊推及一般。 德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特說(shuō)：在討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，特殊化比一般化起著更為重要的作用。例1已知點(diǎn)是橢圓上任一點(diǎn)，為橢圓的焦點(diǎn)，求證：以為直徑的圓總與某一定圓相切。分析：設(shè)為橢圓的右頂點(diǎn)，當(dāng)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)、和上、下頂點(diǎn)、時(shí)，分別以、為直徑的同時(shí)內(nèi)切于以原點(diǎn)為圓心半徑為a的圓，由此可猜想以為直徑的圓總與圓x2+y2a2相切。驗(yàn)證：設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的另一焦點(diǎn)為1，易由三角形中位線定理和橢圓的定義可得，所以圓恒與圓內(nèi)切。故以為直徑

2、的圓總與圓x2+y2a2相切。注：由特殊情形歸納猜想結(jié)論，再驗(yàn)證一般情形下結(jié)論的正確性。 例2若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，（為常數(shù)），且 .(1)求的值; (2)求證：數(shù)列為等差數(shù)列.分析（1）令，則有 令，則有 可得： （2）所給的遞推公式中含有，而且原遞推公式也很難變形，所以考慮再寫一個(gè)式子兩式相減，構(gòu)造新的遞推公式，仿照（1）進(jìn)行變形. 解： 可得：，從而 ， 數(shù)列為等差數(shù)列注：特殊情形的研究不只是為了歸納猜想得結(jié)論，更是能幫助發(fā)現(xiàn)研究問(wèn)題的方法。例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(xR)，是否存在實(shí)數(shù)a，使得對(duì)于任意的x-1,1,都有f(x) 0成立？若存在，試求出滿足條件的實(shí)數(shù)a取值集

3、，若不存在，說(shuō)明理由.（2008年江蘇高考題）分析：想法一、假設(shè)存在a，使得f(x) 0成立。當(dāng)x0，則不論a取何值，f(x)0顯然成立；當(dāng)x0 即x（0,1時(shí)，f(x)=ax3-3x+10可化為，設(shè)，則， 所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，從而4；當(dāng)x0 即x時(shí)，f(x)=ax3-3x+10可化為，此時(shí)有，所以 在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此g(x)min=g(-1)=4，從而4，綜上所述，有4，即a取值集合為4.想法二、特殊到一般：若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，則由于對(duì)任意的x-1,1,都有f(x) 0成立，故當(dāng)x取-1、0、1、時(shí)f(x) 0成立，而由f(-1)=-a+3+1 0，可得a

4、4,由 ，可得a4，由此可得a可能的取值僅有。而當(dāng)a=4時(shí)，f(x)=x3-3x+1,此時(shí)，由可得 ，易有，而，所以a=4時(shí)，f(x) 0恒成立。綜上a取值集合為4。注：由特殊到一般和由一般到特殊的相互轉(zhuǎn)化是相輔相成的。練習(xí)、方程 (1+m)x+(1-2m)y+1+4m=0(m為任意實(shí)數(shù))表示的直線有什么特點(diǎn)？（必修2 P95（蘇教版）分析：想法一、方程即為(x-2y+4)m+(x+y+1)=0，由該方程對(duì)任意實(shí)數(shù)m均成立，故有x-2y+4=0且x+y+1=0，由此有x=-2,y=1，即(-2,1)總是方程的解，故直線恒過(guò)定點(diǎn)(-2,1).想法二、由方程表示直線，當(dāng)m=0時(shí)表示直線l1: x+

5、y+1=0，當(dāng)m=1時(shí)表示直線l2: 2x-y+5=0，易求直線l1與直線l2交于點(diǎn)P(-2,1). 而當(dāng)x=-2,y=1時(shí)，(1+m)(-2)+(1-2m)1+1+4m=0，即對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，直線l: (1+m)x+(1-2m)y+1+4m=0恒過(guò)定點(diǎn)(-2,1).BMPOA.如圖， OM/AB，點(diǎn)P在由射線OM,線段OB、以及AB的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且,則x _；當(dāng)x=時(shí)，y的取值范圍_BMPOA分析 想法一、直接法：可用平行四邊形法則進(jìn)行判斷，但過(guò)程相當(dāng)繁瑣.MBAOP想法二、特值法：由題意可以判斷無(wú)論A、B的位置如何，結(jié)論都應(yīng)該是確定的.從而可以取直角坐標(biāo)系中的單位向量(1,0)(0,1)為向量，這樣(x,y)恰為如圖所示的區(qū)域中的點(diǎn)P的坐標(biāo)，由此容易得到出結(jié)論. （-,0MBAOP 點(diǎn)評(píng)：判定結(jié)論是確定的，故可以選取特殊位置，由此獲得結(jié)論. 在銳角三角形ABC，A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則=.分析想法一、直接法：利用三角形中正、余弦定理進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，由正弦定理，得：上式=過(guò)程較為復(fù)雜！想法二、特值法：由題意該三角形不確定，但結(jié)論應(yīng)為定值！故可選取特殊模型等腰三角形。取，由條件可得，由此可得從而，由此可求tan