高中數(shù)學(xué)解題方法系列：三角函數(shù)最值問題的6種方法(按題型分類版)

1、高中數(shù)學(xué)解題方法系列：三角函數(shù)最值問題的6種方法(按題型分類版)三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，近幾年的高考題中經(jīng)常出現(xiàn)。其出現(xiàn)的形式，或者是在小題中單純地考察三角函數(shù)的值域問題；或者是隱含在解答題中， 作為解決解答題所用的知識點之一；或者在解決某一問題時，應(yīng)用三角函數(shù)有界性會使問題更易于解決(比如參數(shù)方程)。題目給出的三角關(guān)系式往往比較復(fù)雜，進(jìn)行化簡后，再進(jìn)行 歸納，主要有以下幾種類型。掌握這幾種類型后，幾乎所有的三角函數(shù)最值問題都可以解決。1. y=asinx+bcosx 型的函數(shù)特點是含有正余弦函數(shù)，并且是一次式。解決此類問題的指導(dǎo)思想是把正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函

2、數(shù)。應(yīng)用課本中現(xiàn)成的公式即可：y= Va2 b2 sin(x+ 4 ),其中tan ba例 1 已知函數(shù) f(x)=2cosxsin(x+)- J3 sin2x+sin xcosx(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應(yīng)的x的值；(3)若當(dāng)xC ，時，f(x)的反函數(shù)為f1(x),求廠1(1)的值.1212解：(1)f(x)=2cosxsin(x+) 33 sin2x+sinxcosx=2cosx(sinxcos +cosxsin) v3 sin2x+sinxcosxI=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+)f(x)的最小正周期T= tz(

3、2)當(dāng) 2x+=2kn ,即 x=kn 5- (k Z)時，f(x)取得最小值一2. TOC o 1-5 h z 3212(3)令 2sin(2x+)=1 ,又 xC -, 32 22x+ C ,2x+=,貝U33 236x=一,故 f 1(1)= 一.y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函數(shù)。特點是含有sinx, cosx的二次式，處理方式是降哥，再化為型1的形式來解。例2.求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x的最小值，并求出 y取最小值時的 x的集合。解：y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=(sin 2x+cos2x)+sin2x+

4、2cos 2x=1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+ _)當(dāng)sin(2x+ 一)=-1時，y取最小值2- J2 ,此時x的集合x|x=k兀-B兀，k C Z.y=asin 2x+bcosx+c 型的函數(shù)特點是含有sinx, cosx ,并且其中一個是二次，處理方式是應(yīng)用 sin 2x+cos 2x=1,使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù)，再應(yīng)用換元法，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來求解。例3是否存在實數(shù)a,使得函數(shù)y=sin2x+a - cosx+ 3a 3在閉區(qū)間0, 上的最大值822/a2（cosx ） 2a2 5/a2（cosx ） 2a2 5a4 8.解：y 1 cos2 x acosx 5

5、a 382當(dāng) 0 x 一時,0 cosx 1. 2若 a 1 時，即a 2,則當(dāng) cosx 1 時,ymax a 5a 3 1a 20 2（舍去），132 A若0 - 1,即0 a 2,則當(dāng)cosx旦時,ymax曳一a224 83125a /a 4 0（舍去）.125若a 0,即a 0,則當(dāng) cosx 0時,ymax 5a 1 1 a2823綜合上述知，存在 a -符合題設(shè)2, a sin x c 并y=型的函數(shù)b cos x d特點是一個分式，分子、分母分別會有正、余弦的一次式。幾乎所有的分式型都可以通 過分子，分母的化簡，最后整理成這個形式，它的處理方式有多種。例4.求函數(shù)y= 2 sin

6、 x的最大值和最小值。2 cosx解法1:原解析式即：sinx-ycosx=2-2y,即 sin(x+ ()= 2 2 y ,解法1:原解析式即：sinx-ycosx=2-2y,.1 |sin(x+ ()| 1, .1,解出.1 |sin(x+ ()| 1, . 0解出y的最值即可。y=sinxcos2x 型的函數(shù)。它的特點是關(guān)于 sinx , cosx的三次式（cos2x是cosx的二次式）。因為高中數(shù)學(xué)不涉及三次函數(shù)的最值問題，故幾乎所有的三次式的最值問題（不只是在三角）都用均值不等式來解（沒有其它的方法）。但需要注意是否符合應(yīng)用的條件（既然題目讓你求，多半是符合 使用條件的，但做題不能少

7、這一步），及等號是否能取得。例6如右圖，在半徑為 R的圓桌的正中央上空掛一盞電燈，桌子邊緣一點處的照度和燈光射到桌子邊緣的光線與桌面的夾角0的正弦成正比，角和這一點到光源的距離r的平方成反比，即I=k / ,其中k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)，那么怎樣選擇電燈懸掛的r高度h,才能使桌子邊緣處最亮？ TOC o 1-5 h z 解：R=rcos0 ,由此得： 1 cos- 0一 ,r R 22,sin , sin cos k , .2 、I k r k o (sin cos )r2R2R2_ 2 k 2 _222 k 22 32I(-2)2sin (1 sin )(1 sin ) (-2) (2)R2R23由此得I 與 2 V3,等號在sin直時成立，此時h Rtan 紅RR2 932注：本題的角和函數(shù)很難統(tǒng)一，并且還會出現(xiàn)次數(shù)太高的問題。含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式。其特點是含有或經(jīng)過化簡整理后出現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx的式子，處理方式是應(yīng)用(sinx+cosx) 2=1+2sinxcosx進(jìn)行轉(zhuǎn)化，變成二次函數(shù)的問題。例 6. 求 y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。解：令 sinx+cosx=t,(-應(yīng) wtw /)，貝U 1+2sinxcosx=t 2,所以 2sinxcosx=t 2-1,所以 y=t 2