高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：第十二篇概率隨機(jī)變量及其分布方法技巧5離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用

1、方法技巧 5 離散型隨機(jī)變量的應(yīng)用【考情快遞】 主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列、方法 1：公式法期望與方差的應(yīng)用, 常以解答題形式顯現(xiàn)直接用公式運(yùn)算離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與解題步驟方差適用于可直接用公式求解的問(wèn)題. 適用情形【例 1】.2022黃岡中學(xué)月考 某社區(qū)舉辦 20XX 年上海世博會(huì)學(xué)問(wèn)宣揚(yáng)活動(dòng),并進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)抽獎(jiǎng),抽獎(jiǎng)規(guī)章是：盒中裝有 10 張大小相同的精致卡片, 卡片上分別印有“ 世博會(huì)會(huì)徽” 或“ 海寶”世博會(huì)吉利物 圖案,參與者每次從盒中抽取兩張卡片,如抽到兩張都是“ 海寶” 卡即可獲獎(jiǎng)1活動(dòng)開(kāi)頭后,一位參與者問(wèn)：盒中有幾張“ 海寶” 卡？主持人笑說(shuō)：我只知道如從盒中抽兩張都

2、不是“ 海寶” 卡的概率是1 3.求抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率；2現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個(gè)人依次抽獎(jiǎng),抽后放回,另一個(gè)人再抽,用 表示獲獎(jiǎng)的人數(shù),求 的分布列及 E,D解 1設(shè)“ 世博會(huì)會(huì)徽” 卡有n 張,k134kk2 由C C 101 3,得 n6,故“ 海寶” 卡有4 張,抽獎(jiǎng)?wù)攉@獎(jiǎng)的概率為2 C C 10 2 15. 2由題意知,符合二項(xiàng)分布,且B 4,2 15,故 的分布列為 PkC k 42 15150,1,2,3,4或01223313 154 4P 13 154C 42 1513 153C 42 15213 15C 42 152 15由 的分布列知, E42 15 8 15,D42 1512

3、 15104 225. 方法 2：方程法解題步驟 1. 利用題干條件列方程；利用方程運(yùn)算概率問(wèn)題適用情形適用于基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)可以用集合理論來(lái)說(shuō)明的問(wèn)題. 【例 2】.某工廠在試驗(yàn)階段生產(chǎn)出了一種零件,該零件有A、B 兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè),設(shè)5 各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)與否互不影響如有且僅有一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為 12,至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為11 12.按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合格品1求一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè),為合格品的概率是多少？2依次任意抽出 5 個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè),求其中至多3 個(gè)零件是合格品的概率是多少？3依次任意抽取該零件 4 個(gè),設(shè) 表示其中合格品的個(gè)數(shù),求 E 與 D .

4、解 1 設(shè) A 、 B 兩 項(xiàng) 技 術(shù) 指 標(biāo) 達(dá) 標(biāo) 的 概 率 分 別 為 P1 、 P2 , 由 題 意 得 ：P1 1P2 P2 1P1 5 12,1 1P1 1P2 11 12解得 P13P22 4,3,或 P12P23 3,4,所以 PP1P21 2,即一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè),為合格品的概率為 12. 2任意抽出 5 個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè), 其中至多 3 個(gè)零件是合格品的概率為 1C 51 2 5C 51 2 513 16. 3依題意知 B 4,1 2,故 E41 22,D4 1 2 1 21. 方法運(yùn)用訓(xùn)練 5 12022 雅禮中學(xué)英特班質(zhì)檢 A、B 兩位同學(xué)各有五張卡片,現(xiàn)以投擲勻稱(chēng)硬幣的

5、形式進(jìn)行嬉戲,當(dāng)顯現(xiàn)正面朝上時(shí) A 贏得 B 一張卡片,否就 B 贏得 A 一張卡片規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達(dá)9 次時(shí),或在此前某人已贏得全部卡片時(shí)嬉戲終止設(shè) 1求 X 的取值范疇；2求 X 的數(shù)學(xué)期望 EXX 表示嬉戲終止時(shí)擲硬幣的次數(shù)解 1設(shè)正面顯現(xiàn)的次數(shù)為m,反面顯現(xiàn)的次數(shù)為n,|mn|5,就mnX,可得：1X9,當(dāng) m5,n0 或 m0,n5 時(shí), x5. 當(dāng) m6,n1 或 m1,n6 時(shí), X7. 當(dāng) m7,n2 或 m2,n7 時(shí), X9. 所以 X 的全部可能取值為： 5,7,9. 2PX5212 52 32 1 16；PX72C 51 2 75 64；PX911 16 5 6455

6、64；EX5167 5 649 55 64275 32 . 2甲、乙、丙三人按下面的規(guī)章進(jìn)行乒乓球競(jìng)賽：第一局由甲、乙參與而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行競(jìng)賽,而前一局的失敗者輪空,競(jìng)賽按這種規(guī)章始終進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6 局時(shí)停止,設(shè)在每局中參賽者勝敗的概率均為1 2,且各局勝敗相互獨(dú)立,求：1打滿 3 局競(jìng)賽仍未停止的概率；2競(jìng)賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù) 的分布列與期望 E解 令 Ak,Bk,Ck 分別表示甲、乙、丙在第 k 局中獲勝1由獨(dú)立大事同時(shí)發(fā)生與互斥大事至少有一個(gè)發(fā)生的概率公式知,打滿 3 局競(jìng)賽仍未停止的概率為PA1C2B3PB1C2A31 2 31 2 31 4

7、. 2 的全部可能值為 2,3,4,5,6,且P2PA1A2PB1B21 2 21 2 21 2,P3PA1C2C3PB1C2C31 2 31 2 31 4,P4PA1C2B3B4PB1C2A3A4 1 2 41 2 41 8,P5PA1C2B3A4A5PB1C2A3B4B5 1 2 51 2 51 16,P6PA1C2B3A4C5PB1C2A3B4C5 1 2 51 2 51 16,故有分布列 2 3 4 5 6 P 12 14 18 16 116 1從而 E21 23 1 44 1 85 1 166 1 1647 16局3在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中,規(guī)定每人最多投 3 次；在 A

8、處每投進(jìn)一球得 3分,在 B 處每投進(jìn)一球得 2 分；假如前兩次得分之和超過(guò) 3 分即停止投籃,否就投第三次,某同學(xué)在 A 處的命中率 q1 為 0.25,在 B 處的命中率為 q2,該同學(xué)挑選先在 A 處投一球,以后都在 B 處投,用 表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練終止后所得的總分,其分布列為02345 P 0.03P1P2P3P41求 q2 的值；2求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 E；3試比較該同學(xué)挑選都在B 處投籃得分超過(guò) 3 分與挑選上述方式投籃得分超過(guò)3 分的概率的大小解 1設(shè)該同學(xué)在 A 處投中為大事 A,在 B 處投中為大事 B,就大事 A,B 相互獨(dú)立,且 PA0.25,P A 0.75,PBq2

9、,P B 1q2. 依據(jù)分布列知 0 時(shí),P ABB P A P B P B 0.751q2 20.03,所以 1q20.2,q20.8. 2當(dāng) 2 時(shí),P1P A B B AB BP A B B P AB B P A PBP B P A P B PB 0.75q21q2 21.5q21q20.24. 當(dāng) 3 時(shí), P2PA B B PAP B P B 0.251q2 20.01,當(dāng) 4 時(shí), P3P A BBP A PBPB0.75q 2 20.48,當(dāng) 5 時(shí), P4PA B BABPA B BPAB PAP B PBPAPB0.25q21q20.25q20.24,所以隨機(jī)變量 的分布列為

10、02345 P 0.030.240.010.480.24 隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望E0 0.032 0.243 0.014 0.485 0.243.63. 3該同學(xué)挑選都在 B 處投籃得分超過(guò) 3 分的概率為P B BBB B BBBP B BBPB B BPBB 21q2q 2 2q 2 20.896；該同學(xué)挑選 1中方式投籃得分超過(guò)3 分的概率為 0.480.240.72. 由此看來(lái)該同學(xué)挑選都在 B 處投籃得分超過(guò) 3 分的概率大42022 效實(shí)中學(xué) 1 次月考 一個(gè)袋中裝有如干個(gè)大小相同的黑球,白球和紅球已知從袋中 任意摸出 1 個(gè)球,得到黑球的概率是2 5；從袋中任意摸出 2 個(gè)球,至少

11、得到 1 個(gè)白球的概率是 7 9. 1如袋中共有 10 個(gè)球,求白球的個(gè)數(shù)； 從袋中任意摸出3 個(gè)球,記得到白球的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 E2求證：從袋中任意摸出 2 個(gè)球,至少得到 1 個(gè)黑球的概率不大于7 10.并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少1解 記“ 從袋中任意摸出兩個(gè)球, 至少得到一個(gè)白球” 為大事A,設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為x,2 就 PA1C C 10 x 107 9,得到 x5.故白球有 5 個(gè)隨機(jī)變量 的取值為 0,1,2,3,3 1 2 由于 P0C C 10 1 12,P1C C 5C 3 10 5 12,2 1P2C C5C 10 5 12,P3 1 12, 的分布列是 0 1 2 3 P 12 112 512 512 1 的數(shù)學(xué)期望 E1 12 0 5 12 1 5 12 2 1 12 33 2. 2證明 設(shè)袋中