2022年新版競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)

1、競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)（一） 復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第三章-數(shù)列 編寫(xiě)時(shí)間：-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 -5 一、數(shù)列專(zhuān)項(xiàng) （一）數(shù)列常用題型形式.一、以極限為載體，考察等比數(shù)列中當(dāng)1時(shí)，等比數(shù)列極限不存在. 當(dāng)1時(shí)，等比數(shù)列極限存在. 若等比數(shù)列和的極限存在，則一定有1. 當(dāng)數(shù)列的極限存在是，則.1. 設(shè)為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，且（a1a2），又，試求的首項(xiàng)與公差.2. 數(shù)列由下列條件擬定：. 若數(shù)列的極限存在，且不小于零，求的值.二、以對(duì)數(shù)為載體，充足考慮比例分?jǐn)?shù)的合比與分比定理.例： 等比數(shù)列的公比是 .三、求參數(shù)最值一般考慮鑒別式法.1. 各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首

2、項(xiàng)的平方與其他各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的數(shù)列至多有 項(xiàng).若以集合形式浮現(xiàn)，常常題目要隱藏其集合的涉及與被涉及關(guān)系.1. 若 和 分別表達(dá)數(shù)列和前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，.設(shè)集合.若等差數(shù)列的任一項(xiàng)是中的最大數(shù)，且，求的通項(xiàng)公式.（二）求常用數(shù)列的措施.一、求數(shù)列的通項(xiàng).I. 形如的一階遞歸式，其通項(xiàng)求法為.II. 形如的遞歸式，其通項(xiàng)求法為.注意： = 1 * GB3 形如當(dāng)數(shù)字特殊時(shí)可考慮轉(zhuǎn)化為的形式，再疊乘可求出通項(xiàng). = 2 * GB3 形如常需要轉(zhuǎn)化為或.例如：有有有.1. 數(shù)列擬定，求通項(xiàng).2. 在數(shù)列中，且，求.III. 形如的遞歸式，有措施一，兩式相減得，故是首項(xiàng)為，且公比為的等比

3、數(shù)列，先求出，再求出.有措施二轉(zhuǎn)化等比：.有措施三：迭代法=有公式，由擬定. 有措施四：特性根措施.IV. 形如的遞推式，有措施一兩邊同除以，得，令，則，仿2求得，再求. 有措施二遞推法. 例如：當(dāng)為一次函數(shù)時(shí)與相減有仿III. 可求出.1. 已知數(shù)列，中，且 （1）求； （2）求.V. 形如或的遞推式，措施一兩邊取對(duì)數(shù)有，令，則，仿4求得，再求. 措施二有1. 在數(shù)列中，且，求2. 數(shù)列滿足，求通項(xiàng).VI. 高階等差數(shù)列：形如任意兩項(xiàng)之差成等差數(shù)列不如比等差數(shù)列為，則我們可用構(gòu)造新數(shù)列使，最后.高階等差數(shù)列：給定一種數(shù)列，令，則稱(chēng)數(shù)列為的一階差數(shù)列，而的一階差數(shù)列稱(chēng)為的二階差數(shù)列，遞推地，可

4、以定義的階差數(shù)列.如果數(shù)列的階差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列是階等差數(shù)列.=1時(shí)，數(shù)列就是我們一般所說(shuō)的等差數(shù)列，時(shí)，數(shù)列稱(chēng)為高階等差數(shù)列. 數(shù)列是階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的通項(xiàng)是有關(guān)的次多項(xiàng)式. 例如：數(shù)列2、4、7、11、16經(jīng)觀測(cè)發(fā)現(xiàn)成等差，故令.進(jìn)而有. 1. 求數(shù)列：1，3，8，20，43，81，的一種通項(xiàng)體現(xiàn)式.VII. 不動(dòng)點(diǎn)法：設(shè)數(shù)列滿足. = 1 * GB3 若有兩個(gè)不相等的不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是等比數(shù)列，可用 來(lái)求. = 2 * GB3 若有兩個(gè)相等的不動(dòng)點(diǎn)，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差d可用，來(lái)求. 注：形如亦可用不動(dòng)點(diǎn)法.證明：令，即，令此方程的兩個(gè)根為x1，x2，若x1=x2

5、，則有其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：如果有能力，可以將p的體現(xiàn)式記住，p=.若x1x2則有其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解。注：如果有能力，可以將q的體現(xiàn)式記住，q=.1. 設(shè)滿足求通項(xiàng).2. 數(shù)列滿足求.VIII. 裂項(xiàng)法：常用的有等.數(shù)列滿足 ，且，求. = 9 * ROMAN IX. 取倒法：常用于對(duì)復(fù)雜分式轉(zhuǎn)化為或等等常用數(shù)列形式.1. 在數(shù)列中，求.X. 換元法：數(shù)列中的一般把將數(shù)列通過(guò)換元構(gòu)造位熟悉的等差、等比、或線性遞推數(shù)列. 最重要的是三角換元法的應(yīng)用.1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和與之間滿足，且，求.2. 已知數(shù)列中，求通項(xiàng)

6、. 3. 數(shù)列滿足 且求通項(xiàng).4. 設(shè)正數(shù)列滿足，且，求.5. 已知數(shù)列 滿足，求.二、求數(shù)列的和.I. 求導(dǎo)法：導(dǎo)數(shù)措施用于數(shù)列常是以求和形式浮現(xiàn)，常常要與二項(xiàng)式定理聯(lián)系（可以用錯(cuò)位相消法求和的數(shù)列問(wèn)題，都可以用求導(dǎo)措施去做）.1. 已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2. 已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3. 求和.II. 形如時(shí)，則求和變?yōu)楫?dāng)為偶，-與+正好抵消完；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，剩一種-，故或.1. 已知是由非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，滿足 = 1 * GB3 求； = 2 * GB3 證明 = 3 * GB3 求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和.三、周期數(shù)列.1. 設(shè)數(shù)列 定義求.2. 設(shè)數(shù)列滿足，且對(duì)任意自然數(shù)均有又，則的值是

7、.【高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)測(cè)】1. 各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4，其首項(xiàng)的平方與其他各項(xiàng)之和不超過(guò)100，這樣的數(shù)列至多有 項(xiàng).2. 設(shè)數(shù)列滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求，并由此猜想出的一種通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)所有的，有 ； 3. 數(shù)列滿足：，求的整數(shù)部分.4. 3個(gè)數(shù)列存在下列關(guān)系：，這里為正常數(shù).（1）求；（2）證明：若，必有0；（3）若數(shù)列的最小項(xiàng)為求的取值范疇.5. 兩個(gè)數(shù)列，滿足 試求通項(xiàng)和6. 數(shù)列，滿足 ，證明下列命題：（1）；（2）對(duì)任何正整數(shù)，有；（3）對(duì)任意整數(shù)，有.7. （不等式夾擊法找數(shù)列范疇）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)及公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不不不小于3，且各項(xiàng)和為，則這樣的數(shù)列共有（

8、 ）A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 雷氏筆錄數(shù)學(xué)組 編寫(xiě) 5月18日競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)（二） 復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第七、八章-解析幾何編寫(xiě)時(shí)間：-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 -5 二、解析幾何專(zhuān)項(xiàng) 有關(guān)定值的證明. 平面解析幾何有措施一：先取特殊位置，求出這個(gè)定值，再證明一般狀況下也等于這個(gè)定值. 有措施二：直接證明法.1. 已知圓，直線.若連線的中點(diǎn)為M，與的交點(diǎn)為N， 求證為定值.2. 如圖，M是圓C：上的動(dòng)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，N是射線OM上的點(diǎn)，求N點(diǎn)的軌跡方程.二、共線問(wèn)題常常轉(zhuǎn)化為斜率相等這一重要條件，固然也可以用構(gòu)造法大膽設(shè)參構(gòu)造.1. 已知拋物線及定點(diǎn)

9、.M是拋物線上的點(diǎn)，設(shè)直線AM、BM與拋物線的另一種交點(diǎn)為M1、M2.求證：當(dāng)M點(diǎn)在拋物線上變動(dòng)時(shí)（只要M1、M2 存在且）直線M1、M2恒過(guò)一種定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).三、看到有長(zhǎng)度大小關(guān)系的直線方程時(shí)，又有動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)要考慮直線的參數(shù)方程.1. 過(guò)不在橢圓上任意一點(diǎn)P作兩條直線和，分別交橢圓于A、B、C、D四點(diǎn)，若、的傾斜角為且.求證：A、B、C、D 四點(diǎn)共圓.四、曲線系方程.1. 已知MN是圓O的一條弦，R是弦MN的中點(diǎn)，過(guò)R任作兩條相交弦AB和CD.過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)的二次曲線T交MN于P，Q兩點(diǎn). 求證：R是PQ的中點(diǎn).五、波及整數(shù)點(diǎn)問(wèn)題的最值問(wèn)題用余數(shù)法.1. 直角坐標(biāo)平面內(nèi)橫

10、坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，則平面內(nèi)格點(diǎn)到直線的距離的最小值為 . 六、移坐標(biāo)法，我們可把坐標(biāo)軸平移，可使某個(gè)點(diǎn)成為新原點(diǎn)，這樣可以減少運(yùn)算.1. 已知橢圓C：上存在有關(guān)直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，試求m的取值范疇.【高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)測(cè)】1. 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值是 . 2. 設(shè)雙曲線的兩支為如圖，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上.（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；（2）設(shè)P（-1，- 1）在上，Q、R在，求頂點(diǎn)Q、R 的坐標(biāo).3. 已知橢圓： EQ f(x2,a2)f(y2,b2)1(ab0)， 動(dòng)圓：x2y2R2，其中bRa.若A是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，B是動(dòng)

11、圓上的動(dòng)點(diǎn)，且使直線AB與橢圓和動(dòng)圓均相切，求A、B兩點(diǎn)的距離|AB|的最大值. （四川初賽試題）解：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為:ykxm由于A既在橢圓上，又在直線AB上，從而有 EQ blc(aal(y1kx1m (1),f(x12,a2)f(y12,b2)1 (2)將(1)代入(2)得：(a2k2b2)x22kma2xa2(m2b2)0由于直線與橢圓相切，故(2kma2)24(a2k2b2)a2(m2b2)0從而可得：m2b2a2k2，x1 EQ f(ka2,m) (3)同理，由B既在圓上又在直線AB上，可得：m2R(1k2)，x2 EQ f(kR2,m) (4

12、)由(3)(4)得：k2 EQ f(R2b2,a2R2)，x2x1 EQ f(k(a2R2),m)|AB|2(x2x1)2(y2y1)2(1k2)(x2x1)2 EQ f(m2,R2)f(k(a2R2),m)f(a2R2),R2)f(R2b2,a2R2) EQ f(a2R2)(R2b2),R2)a2b2R2 EQ f(a2b2,R2) (ab)2(R EQ f(ab,R)2(ab)2.即|AB|ab，當(dāng)且僅當(dāng)R EQ r(ab)時(shí)取等號(hào).因此，A、B兩點(diǎn)的距離|AB|的最大值為ab.雷氏筆錄數(shù)學(xué)組 編寫(xiě) 5月18日競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)（三） 復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第三、七、八章編

13、寫(xiě)時(shí)間：-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 -5 三、數(shù)列、解析幾何熱點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng) 數(shù)列一、奇偶數(shù)列.若為奇數(shù)項(xiàng)的數(shù)列，若為偶數(shù)項(xiàng)的數(shù)列，則有.二、特性方程.形如（p、q為二階常數(shù)）措施一用特性根措施求解.具體環(huán)節(jié)：寫(xiě)出特性方程（相應(yīng)，x相應(yīng)），并設(shè)二根若可設(shè)，若可設(shè)；由初始值擬定.有措施二，. 有措施三迭代法，迭代法是解決一切數(shù)列問(wèn)題的通法.三、求和.重要措施：倒序相加、錯(cuò)位相減、數(shù)學(xué)歸納法. = 1 * GB2 等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在0時(shí)，有最大值. 如何擬定使取最大值時(shí)的值，有兩種措施：一是求使0，成立的值；二是由運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值. = 2 * GB2 如果數(shù)列可以看作是一種等差數(shù)列與一種等比數(shù)

14、列的相應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)措施：錯(cuò)位相減求和. 例如： = 3 * GB2 1+2+3 +n = = 3 * GB3 四、等差、等比數(shù)列. 若，均是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列. 兩個(gè)等差數(shù)列的相似項(xiàng)亦構(gòu)成一種新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一種相似項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 解析幾何一、幾種常用的圓錐曲線問(wèn)題.題型示例一若橢圓的左右焦點(diǎn)分別是過(guò)且傾斜角為的直線交橢圓為兩點(diǎn)，若則橢圓的離心率為e = .解： .注：本題變?yōu)榍笾本€AB的方程，解法如上，將轉(zhuǎn)為求,則可擬定，又過(guò)，故直線AB方程可擬定.如果采用定比分點(diǎn)，則運(yùn)算量大，但是若A、B不

15、在橢圓上或者有一種點(diǎn)不在橢圓上，則只有用定比分點(diǎn)了.題型示例二已知拋物線，當(dāng)一條過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),求的值.解（一）：當(dāng)k存在時(shí)，代入則，當(dāng)k不存在時(shí)，成立. 故成立.解（二）：題型示例三 如圖，一條過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B. A,M,O三點(diǎn)共線，MN是拋物線的準(zhǔn)線. 求證：MBx軸. 證：為過(guò)O點(diǎn)直線，kAO= kOM，因此.綜上：，. 故MB為平行x軸直線.變題：若證AOM共線呢？提示：要證AOM共線，即證kAO= kOM，下面就如上法炮制了.題型示例四如下圖，拋物線的焦點(diǎn)為F，CD為準(zhǔn)線，P為AB的中點(diǎn). 求證：AMB共圓，CFD為直角.證（1）：由于，故AF =

16、 AC ,DF = DB. 又由于PM為梯形CABD的中位線，故PM =,故MP=AP=BP,因此AMB共圓， 且P為三角形AMB外心.證（2）：.注：題型示例四 拓展1：根據(jù)上述證明，可以推導(dǎo)以雙曲線焦點(diǎn)弦，為直徑為圓與準(zhǔn)線是相交關(guān)系；以橢圓焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線是相離關(guān)系.拓展2：ABM中最大角為90，這時(shí)是的臨界條件，這條準(zhǔn)線上其他的點(diǎn)與A、B構(gòu)成的三角形是銳角，故若要使ABM為鈍角，只需或?yàn)殇J角.過(guò)A作垂直于AB的直線交L于E，則在E上方（不涉及E）的點(diǎn)與A、B構(gòu)成三角形為鈍角，但是由于AB這條直線與準(zhǔn)線要相交（這里要檢查，與否在所求范疇內(nèi)），同理過(guò)B作垂直于AB的直線交L于F，則在F

17、下方（不涉及F）與A、B構(gòu)成的三角形都是鈍角.題型示例五如下圖，拋物線，始終線交拋物線于A，B，且AOBO. 求證：直線AB過(guò)一定點(diǎn).證：設(shè),令lOA：y=kx令lOB：y=，故 ，故lAB可求得恒過(guò)(2P,0).題型示例六 已知拋物線，焦點(diǎn)為F，始終線交拋物線于A，B，求證：.證： ，.二、區(qū)域問(wèn)題：當(dāng)求整點(diǎn)個(gè)數(shù)常用數(shù)列逼近法.1. 直角坐標(biāo)平面上，求滿足不等式組的整點(diǎn)的個(gè)數(shù).2. 一張紙上畫(huà)有半徑為R的圓O及圓O內(nèi)一定點(diǎn)A，且OA=a，折疊紙片，使圓周上，某一點(diǎn)剛好與A點(diǎn)重疊，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕. 當(dāng)取遍圓周上所有點(diǎn)時(shí)，求所有折痕所在直線上點(diǎn)的集合.（全國(guó)高中聯(lián)賽）三、圓

18、的冪與根軸. 過(guò)定點(diǎn)A 任作直線交定圓于B、C兩點(diǎn)，則為定值，該定值稱(chēng)為定點(diǎn)A對(duì)定圓的冪1. 向以原是為圓心，半徑為1的圓A和另一圓B所引切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)在直線上，求圓心B的軌跡方程.四、與數(shù)論結(jié)合.若g是質(zhì)數(shù)，P是正整數(shù)，若構(gòu)造出了10g+13p巧妙的解出p=11，g=143或p=23時(shí)g=23.1. 一次函數(shù)的圖象通過(guò)點(diǎn)（10，13），它與x軸的交點(diǎn)為（p，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，q），其中P是質(zhì)數(shù)，q是正整數(shù)，則滿足條件的所有一次函數(shù)為 .【高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)測(cè)】1. (數(shù)形結(jié)合)已知兩點(diǎn)A(- 2, 0),B(0 ,2),點(diǎn)C是圓上的任意一點(diǎn)，則的面積最小值是（ ）A. B. C. D. 2. (立體幾何與余弦定理綜合)設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)點(diǎn)，滿足ABAC，ABAD，ACAD，則BCD是（ ）A. 鈍角三角形 B. 直角三角形 C. 銳角三角形 D. 不擬定雷氏筆錄數(shù)學(xué)組 編寫(xiě) 5月24日競(jìng)賽復(fù)習(xí)科目：數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽總復(fù)習(xí)（四） 復(fù)習(xí)內(nèi)容：高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù) 編寫(xiě)時(shí)間：-5修訂時(shí)間：總計(jì)第一次 -5 四、函數(shù)專(zhuān)項(xiàng) 一、函數(shù)與方程.I. 發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶