高中數(shù)學(xué)必修2知識點總結(jié)(史上最全)

1、高二數(shù)學(xué)必修2知識點總結(jié)笫1章空間幾何體一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)L多面體：一般地，我們把由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做 多面體的面；相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點。2.旋轉(zhuǎn)體：我們把由一個平面圖形繞它所在平面的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體。這條 定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。3、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行. 由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母,如五棱柱48。

2、-4為。七或用對角線的端點字母，如五棱柱4萬幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于 底面的截面是與底面全等的多邊形。(2)棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐。一48coz幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高 的比的平方。(3)棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、

3、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母,如五棱臺產(chǎn)一AbcoZ幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個扇形。(6)圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；側(cè)面展開圖是一個弓形。(

4、7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。二、空間幾何體的三視圖和直觀圖.投影：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影。其中 我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面。.中心投影：我們把光由一點向外散射形成的投影，叫做中心投影。.平行投影：我們把在一束平行光線照射下形成的投影，叫做平行投影。(又分為正投影和斜投影)4空間幾何體的三視圖(1)、定義三視圖:正視圖(從前向后；即光線從幾何體的前面向后面正投影):側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)注：正視圖

5、反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的商度和長度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度;側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。(2)、三視圖圖形的位置:(2)、三視圖圖形的位置:正側(cè)俯(3)、三視圖長、寬、高的關(guān)系：“正側(cè)長對齊、正俯高對齊、側(cè)俯寬相等”三、空間幾何體的直觀圖.斜二測畫法：對于平面多邊形，我們常用斜二測畫法畫它們的直觀圖。斜二測畫法是一種特殊的平行投 影畫法。.斜二測畫法原則：橫不變，縱減半。.斜二測畫法步驟：在已知圖形中取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于點0。畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的X軸與)軸，兩軸交于點O,且使

6、NHO = 45(或135。)，它們確定的平面表示水平面。巳知圖形中平行于大軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于廣軸或軸的線段。巳知圖形中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半。 四、空間幾何體的表面積與體積(1).幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。所以，棱柱、棱鏈的表面積：各個面的面積之和。(2)：柱體S網(wǎng)柱側(cè)面積=24rlS網(wǎng)柱表面積=2乃(，. + /)S柱體=Sh錐體51用誑惻面積=7r rls冏柱定面積=。%體=臺體S(w而積=%+加.7S=-(r*2 + r2 +r7 + r/)及冏稅7球體S表面積=4切?2V = -R3 3第二章直

7、線與平面的位置關(guān)系空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1平面含義：平面是無限走展的2平面的畫法及表示(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45, 且橫邊畫成鄰邊的2倍長(如圖)(2)平面通常用希臘字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以 用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫字母來表 示，如平面AC、平面ABCD等，3三個公理：(1)公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面，那么這條直線在此平面符號表示為AGL BWL Ae a Be a= LC a公理1作用：判斷直線是否在平面= LC a(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。

8、TOC o 1-5 h z 符號表示為：A、B、C三點不共線= 有且只有一個平面a,/?/公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：pe a n p = a n p =l,且 psl公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)2. L2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系乙V-V1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：日 r相交直線：同一平面，有且只有一個公共點；L平行直線：同一平面，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線ab 二a

9、c cb J強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補4注意點：a與b所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，為了簡便，點0 一般取在兩 直線中的一條上；兩條異面直線所成的角0 (0.-；當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a_Lb；兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3 - 2. 1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系1

10、、直線與平面有三種位置關(guān)系：(1)直線在平面有無數(shù)個公共點(2)直線與平面相交有且只有一個公共點(3)直線在平面平行一沒有公共點指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a來表示aaa C a2. 2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2. 2.1直線與平面平行的判定1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示： ag a bCp a/7b 2. 2.2平面與平面平行的判定1、兩個平面平行的判定定理：一個平面的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。2、判斷兩平面平行的方法有三種：(1)用定義；

11、(2)判定定理；(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。. 2. 3 - 2. 2. 4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a aaS 卜 aba n B = b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題，2、定理：如果兩個平面同時與笫三個平面相交，那么它們的交線平行。 符號表示：a B a A y = a abA y = b J作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2. 3.1直線與平面垂直的判定1、定義如果直線L與平面a的任意一條直線都垂直

12、，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作LJ_ a ,直線L 叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。2、判定定理：一條直線與一個平面的兩條相齊直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意點：a）定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b）定理體現(xiàn)了 “直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2. 3. 2平面與平面垂直的判定1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形A 梭Sbn2、二面角的記法：二面角a-1-B或a-AB-B3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2. 3.

13、3 - 2. 3. 4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面垂直于交線的直線與另一個平面垂直。本章重點總結(jié)：一、線面角、面面角：1、直線和平面所成角：如圖，一條直線PA和一個平面。相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個 平面的斜線，斜線和平面的交點A叫做斜足。過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線P0,過垂足0和斜足 A的直線A0叫做斜線在這個平面上的射影。平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直 線和這個平面所成的角。一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在 平面，我們說它們所

14、成的角是0。的角。2、二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。如右圖二面角可記作二面角a-AB-/7或二面角P 或二面角a / 一尸或二面角。一/ Q【注意：二面角是一個面面角，圍是O：,18OL在二面角。一/一/的棱/上任取一點0,以點。為垂足，在半平面。和夕分別作垂直于棱I的射線ON和0M,則射線ON和0M構(gòu)成的NN0M叫做二面角的平面角。一般地, 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互X二、線、面平行垂直的八大定理：（直線與平面平行的判定）【文字語言】平面外一條直線與此平面的一條直線平行，則該直

15、線與此平面平 行。（線線平行=線面平行）【符號語言】a史a、b u a、旦a b = a a（平面與平面平行的判定）【文字語言】一個平面的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行。 （線面平行=面面平行）【符號語言】a /3 / a引申：推論：如果一個平面有兩條相交直線分別與另一個平面的兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行。 （直線與平面平行的性質(zhì)）一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直 線平行。（線面平行=線線平行）作用：直線與平面平行的性質(zhì)定理揭示了直線與平面平行中蘊含著直線與直線平行。（平面與平面平行的性質(zhì)）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們

16、的交線平行。（面面平行 =線線平行）（直線與平面垂直的判定）一條直線與一個平面的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。（平面與平面垂直的判定）一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。（直線與平面垂直的性質(zhì)）垂直于同一個平面的兩條直線平行。（平面與平面垂直的性質(zhì)）兩個平面垂直.則一個平面垂直于交線的直線與另一個平面垂直。注：（等角定理）空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。三、補充：證線線平行的方法：I .定義法；II.線面平行的性質(zhì)定理；m.面面平行的性質(zhì) TOC o 1-5 h z 定理；w.平行公理P證線面平行的方法：I.線面平行的判定定理；n.定義法；m.

17、面面平行證線面/平行/證面面平行的方法：I.定義法；n.面面平行的判定定理；m.平面平行的傳遞/I三垂線定理：在平面的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么 / 人乙力。它也和這條垂線垂直。,J三垂線定理逆定理：在平面的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么一中囪射影長7E埋圖它也和這條斜線的射影垂直。射影長定理：I.從平面外一點向平面所引的斜線段、垂線段中，垂線段最短。 TOC o 1-5 h z II.如圖（射影長定理圖）:若上4 =03,則。4 =。8；若。4 =。8,則月4 =08。;m.如圖（射影長定理圖）：若PAPB ,則若PAPB ,則/PA PB。/最小角定理

18、：斜線和平面所成的角是這個斜線與平面過斜足的所有直線所/ /成角中的最小角。（最小角定理圖）/ 7 最小角定理圖第三章直線與方程一、直線的傾斜角與斜率.傾斜角：當(dāng)直線/與X軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，X軸正向與直線/向上方向之間所成的夾角a叫做直線/的傾斜角。當(dāng)直線/與X軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0。則直線的傾斜角a的取值 圍為 0。Wavi800 ,.確定一條直線的條件：直線上的一點和這個直線的傾斜角可以惟一確定一條直線。.確定平面直角坐標系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個定點以及它的傾斜角。.坡度（傾斜程度）：日常生活中，我們用“升高量與前進量的比”表示傾斜面的“坡度”

19、（傾斜程度），即坡度（比）=升高量坡度（比）=升高量WSfi.斜率：一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，我們用斜率表示直線的傾斜程度。斜率常用 小寫字母k表示，里攵= tana注意：傾斜角是90的直線沒有斜率。.經(jīng)過兩點公*電）的直線的斜率公式為k = 上 工2一%.對于兩條不重合的直線/,其斜率分別為左次一有乙/,三匕=上注意：若直線人和，2可能重合時，我們得到=后0/1，2或與，2重合.如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于-1；反之，如果它們的斜率之積等 于T,那么它們互相垂直，即卜_1_/2=4#2=-1.兩條直線垂直的條件：=匕=-1或K，勺中一個為0

20、，另一個不存在二、直線的方程（5個）.直線的點斜式方程（筒稱點斜式）：y-y0=k（x-x（）【當(dāng)直線/的傾斜角為0時，tan。=0,即k=0,這是直線/與x軸平行或重合，/的方程就是 了一%=。，或=凡】 注意：直線的點斜式方程僅適用于有斜率的情形，所以在求直線的方程時，應(yīng)先討論直線有無斜率。截距：我們把直線/與x軸交點（a,O）的橫坐標a叫做直線在x軸上的截距。我們把直線/與y軸交點（0力） 的縱坐標b叫做直線/在y軸上的截距。注意：截距不是距離，截距是數(shù)。.直線的斜截式方程（簡稱斜栽式）:y = k.x + b注意：直線的斜截式方程僅適用于有斜率的直線。3直線的兩點式方程（筒槽兩點式）：

21、上二次=二為一）3 一玉注意：直線的兩點式方程不適用于沒有斜率或斜率為。的直線。若6（內(nèi),凹）,鳥（工2，2）中有$ =占或y=,2時，直線6旦沒有兩點式方程。當(dāng) =當(dāng)時，直線巴巴平行于X軸，直線方程為X-X| =0 ,或x = N ；當(dāng)X = ）、時，直線42平行于X軸，直線方程為了一y=0 ,或.y = Ji o.直線的截距式方程（簡稱截距式f + g =0 0）a b注意：直線的截距式方程不適用于平行于x軸（或y軸）或過原點的直線。線段片的中點坐標公式：若點匕的坐標分別為（國,兇），（電，必），且線段 4優(yōu)的中點的坐標為（x，r）,則, 再+x,.直線的一般式方程（簡稱一般式） AAx

22、+ 8y + C = 0（其中A, 8不同時為0） *一小壯0）6.在方程 Aa + 8.v + C = 0 中， 當(dāng)A = O,CW。時.方程表示的直線平行于x軸;當(dāng)8 = 0,CW。時，方程表示的直線平行于y軸；當(dāng)A = O,8WO,C = O時，方程表示的直線與x軸重合;當(dāng)AWO,8 = O,C =。時，方程表示的直線與y軸重合7.巳知直線4 ： 4%+耳），+G =。7.巳知直線/2 : x + B2y + C2 =0/1心的充要條件是：（/2 0 A層- A冉=0取。2-32。尸0（取。242。尸。）的充要條件是： _L4=A & +片約=0三、直線的交點坐標與距離公式1.若方程組有

23、唯一解與A相交，且有唯一交點；若方程組無解=4，2；若方程與方程可化成同一個方程04與重合。引申：2.當(dāng)九變化時，方程4、+5），+4+/1（42工+為），+6）=（）表示直線束。3.方程 Ax+4y + G +4（4X +約）+ 02）= 0表示過直線 Ax + BV + G =0 與直線 A2X + B2y + C2 =0 交點的任意一條直線，但它不能表示&x+&），+ G =0這條直線。延展【常用結(jié)論】：生過/1：A/+q），+ a=0與，2：&x +82y+ G=0交點的直線方程可設(shè)為 Aix + Bly+Cl +4（Ax+32y + G）=0 （不表示）或41+32丁 +。, +尤（

24、41+4），+ ） = 0 （不表示）.與直線Ax + By + C = 0平行的直線方程可設(shè)為A.x+By + m = 0,（mW C）.與直線4 +冷+ C = 0垂直的直線方程可設(shè)為&- Ay + ? = 0.兩點片（、,），）（，當(dāng)）間的距離公式為：巴外1= /（/一再丫+（必一乃.原點0（0,0）與任一點。（X,），）的距離公式為：IOP1=舊+ J,?.點外（飛,先）到直線Ar+8y + C = 0的距離公式為：。=JA- 十不.兩條平行直線Ar + By + G = 0與Ar + 8），+ C, = 0間的距離為：d=1 VA2 + B2笫四章圓與方程4.1.1圓的標準方程1、圓

25、的標準方程：（x-a）2+（y-b）2=r2圓心為A（a,b）,半徑為r的圓的方程2、點M*。,兒）與圓“一）2+。，一尸=尸的關(guān)系的判斷方法：（1）（與一+（%），點在圓外（2） （x0）+（y0/?） = f ,點在圓上（3）（七）一”）+（）b -廠，點在圓4.1.2圓的一般方程1、圓的一般方程:+ y1、圓的一般方程:+ y2 + Dx + Ey + F = 0一圓心為半徑為為半徑長 2的圓2、圓的一般方程的特點：（1）x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.沒有xy這樣的二次項.（2）圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.（3）、與圓的標準方程相

26、比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心 坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。4. 2.1圓與圓的位置關(guān)系1、用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系.r p設(shè)直線/：，“ + y + c = 0,圓C： / +/+ Ox+Ey + F = 0 ,圓的半徑為小圓心（一一，一一）到直線22的距離為4,則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：（1）當(dāng)4/時，直線/與圓C相離；（2）當(dāng)時，直線/與圓C相切；（3）當(dāng)V，時，直線/與圓C相交；直線、圓的位置關(guān)系注意：.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓相交，有兩個公共點。dvR。方程組有兩組不同實數(shù)解（）Y直線與圓相切，只有一個公共點od = Ro方程組有唯一實數(shù)解（ =（）I直線與圓相離，沒有公共點=方程組無實數(shù)解（）.求兩圓公共弦所在直線方程的方法：將兩圓方程相減。.求經(jīng)過兩圓交點的圓系方程： + V+DiX + Ey+E+ 2（a2 + y2 + 2a +E2y + 7s） = 0.2.2圓與圓的位置關(guān)系兩圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長為/,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點：（1）當(dāng)/八+時，圓G與圓。2相離；（2）當(dāng)/ =八+，2時，圓G與圓。2外切；（3）當(dāng)一，”/八+/2時，圓G與圓C?相交；（4）當(dāng)/=4八一1時，圓g與