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文檔簡介
1、 小學數(shù)學中“數(shù)”與“形”作者:劉慧慧摘 要:小學數(shù)學中有許多抽象的概念和數(shù)量關系不易被學生理解,尤其對于小學階段的學生思維受生理發(fā)展的限制,對于抽象的數(shù)學概念、算理、數(shù)量關系難以把握,導致他們在學習數(shù)學的過程中產(chǎn)生畏難心理,從而失去學習數(shù)學的內(nèi)在動機。為了解決這一問題,本文將根據(jù)教學實例,從數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、解決問題幾個方面闡述數(shù)形結合的思想是如何幫助學生建立數(shù)感、理解抽象的數(shù)學概念、促進學生對算理的理解以及如何利用數(shù)形結合思想直觀地表示數(shù)據(jù),幫助學生理清數(shù)量之間的關系,提高學生分析問題、解決問題的能力,讓學生能夠在紛繁復雜中尋找出解決問題的方法的,同時發(fā)展學生的空間觀念,讓
2、學生在頭腦中建立數(shù)與形的聯(lián)系,做到數(shù)中有形,形中有數(shù)。 關鍵詞:數(shù)形結合;小學數(shù)學;抽象具體背景研究研究表明,小學生思維發(fā)展受限,對于一些抽象的數(shù)學問題不易理解,影響數(shù)學學科的學習。而教師在教學時,如果能采用數(shù)形結合的方法,采用直觀的手段將抽象的問題呈現(xiàn)給學生,那么學生在學習數(shù)學時就簡單的多了。數(shù)形結合就是將不易理解的數(shù)學語言、數(shù)學概念、數(shù)量關系與形象具體的容易理解的圖形、實物聯(lián)系起來,通過語言與圖形的轉化來尋找解決問題的途徑。對于啟蒙階段的小學生來說,數(shù)學知識的學習要依據(jù)直觀經(jīng)驗從形象的感知入手,通過直觀感知讓學生一步步建立表象形成概念。因此,在教小學生的過程中,教師要善于利用數(shù)與形的結合,
3、為學生打開思維之窗,幫助學生找到解題的線索是非常重要的。在小學數(shù)學的教學中處處都有數(shù)形結合的影子,本文將從數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、以及問題解決這四個模塊來闡述數(shù)形結合思想在小學數(shù)學中的具體應用。一、數(shù)形結合的思想方法數(shù)形結合就是將抽象的數(shù)與直觀的形相互聯(lián)系,從而發(fā)現(xiàn)問題的本質找到解決數(shù)學問題思路的一種思想方法。其實質是將抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來,使得抽象的數(shù)學概念或復雜的數(shù)量關系直觀化、形象化、簡單化1。運用這種數(shù)形結合的思想能夠將抽象的“數(shù)”轉化成直觀的“形”,從而直觀的去發(fā)現(xiàn)問題的實質。二、小學教學中數(shù)形結合思想的作用2.1數(shù)形結合思想在“數(shù)與代
4、數(shù)”中的應用2.1.1利用數(shù)形結合建立數(shù)感,理解數(shù)的意義并感受數(shù)的大小小學生想要透徹理解數(shù)在生活中的意義以及數(shù)與數(shù)之間的關系就需要建立數(shù)感,數(shù)感的形成對學生數(shù)學的學習具有重要意義。數(shù)感的培養(yǎng)是非常困難的,培養(yǎng)學生的數(shù)感,首先要引導學生探索數(shù)在實際生活中的意義,培養(yǎng)學生用多種方法表示數(shù)的能力。然而很多低年級的學生由于生活經(jīng)驗有限,所以缺乏這種能力,在頭腦中沒有“數(shù)”的概念。下面舉例說明該如何利用“數(shù)形結合”思想來使學生理解數(shù)的意義,從而建立數(shù)感。例如:在教小朋友“認數(shù)”的過程中,教師可以帶著學生一起數(shù)一數(shù)游樂園里有1個蹺蹺板,2只木馬,3個秋千在這些具體的實物中抽象出數(shù)的概念,感受“數(shù)”用來表示
5、物體個數(shù)的意義,然后再讓學生將簡單的數(shù)字賦予一定的意義并用自己方法表示出來。例如“2”可以畫兩根木棒來表示,也可以畫兩個蘋果來表示,還可以畫兩條線段來表示等等。學生借助具體實物將數(shù)與量對應起來,理解數(shù)的大小。有了數(shù)與量的對應以及數(shù)的大小概念之后再學習數(shù)的組成時同樣可以借助圖形理解數(shù)的組成與分解。 例如:把4朵小紅花放到兩個籃子里,我們就可以借助圖形清晰地將幾種分法展示出來,讓學生通過直觀地感知來理解數(shù)的拆分。后續(xù)學習加減法計算時,教師也可以借助實物或圖形來促進學生對加法與減法的理解。例如:學生在學習3+4時,教師引導學生通過擺一擺、畫一畫、圈一圈等活動來幫助學生理解加法的實際意義。一年級的學生
6、學習“十幾”的認識時,教師利用小棒圖和計數(shù)器幫助學生了解“十”與“一”的數(shù)位關系,理解一個“十”和幾個“一”組成“十幾”。在這個教學過程中,學生對提前準備好的小棒進行數(shù)一數(shù)、擺一擺,十根為一捆進行捆綁。通過數(shù)與形的結合化抽象為具體,不僅提高了學生學習數(shù)學的興趣,同時幫助學生理解了“十幾”的含義。在學習單位的過程中,感知單位的大小是必不可少的一個重要環(huán)節(jié),在這個環(huán)節(jié)中教師可以利用圖形的大小來幫助學生分辨單位的大小。例如:三年級學生在進行“面積單位”的學習時,教師可以在黑板或墻壁上畫出面積是1平方厘米、1立方分米、1立方米的正方形,讓學生結合具體圖形感受面積單位的大小。利用數(shù)形結合有助于學生理解數(shù)
7、在生活中的意義以及數(shù)的大小比較,使學生的數(shù)感意識得以萌芽。2.1.2運用數(shù)形結合思想幫助學生掌握算理數(shù)學學科是一門非常嚴謹?shù)膶W科,不僅要求學生擁有一定的邏輯思維還要求學生掌握精準的計算能力。精準的計算有助于小學生認識客觀事物,發(fā)現(xiàn)客觀規(guī)律,提高解決實際問題的能力,同時加強數(shù)字運算能力,有助于以后每個階段的學習。小學生思維發(fā)展有限,數(shù)字計算的算理概念又十分抽象,一部分小學生難以理解,導致計算過程中出現(xiàn)錯誤。為了減少這種錯誤,在教授學生計算時可以通過數(shù)形結合的思想將抽象難懂的算理與形象具體的圖形結合起來,幫助學生理解算理,不僅要讓學生能夠正確計算,更讓其知道了這樣算的道理,從而減少了出錯率更達了到
8、長久記憶的效果。例如:在計算68+35=?時,先讓孩子在紙上用小棒圖畫一畫、圈一圈計算過程,再根據(jù)畫圖的過程一步一步抽象出豎式。教師用多媒體演示擺放的過程,并且讓學生按要求動手去擺,10根小棒為1捆,左邊擺放6捆和8根小棒,右邊擺放3捆和5根小棒,一共有8捆和13根小棒。在這個過程中,重點讓孩子們討論8+5=13如何記錄。多媒體演示將13根小棒分成10根和3根,十根為一捆,小棒圖一畫出來,孩子就明白這個10應該記錄在十位上。利用小棒圖幫助學生理解相同數(shù)位上的數(shù)相加,滿十就要往前一位進一的道理。最后抽象出豎式,再讓學生根據(jù)小棒圖和豎式重復表達自己的計算過程,以及這樣算的理由是什么??梢娎脭?shù)形結
9、合的思想可以強化學生對兩位數(shù)加兩位數(shù)的進位加法的算理的理解,幫助學生提高計算的準確性。再如:在計算663=?時,教師借助多媒體演示小棒圖并讓學生自己動手去擺一擺,先將6捆小棒平均分成3份,每份是兩捆即6個十除以3得2個十;再把6根小棒平均分成3份,每份是2根;最后將2捆小棒和2根小棒合起來就是22根小棒,進而抽象出除法算式。通過將抽象的數(shù)轉化成實體的小棒再讓學生對其進行平均分,從而加深學生對除數(shù)是一位數(shù)的除法算理的認識利用數(shù)形結合理解算理不僅在加法中適用,在教授整數(shù)減法、乘法、除法算理時也同樣可以用,數(shù)形結合可以幫助學生深刻地理解算理,牢牢地記憶算法。2.1.3運用數(shù)形結合思想理解數(shù)與代數(shù)的概
10、念、意義及性質通常概念課都會比較難以理解且枯燥乏味,但是如果在數(shù)學概念認識過程中如果能利用“數(shù)形結合”思想,將直觀形象的幾何圖形與抽象的數(shù)學概念聯(lián)系起來理解,就能達到意想不到的效果。例如“分數(shù)”就是比較抽象的概念,不利于學生的理解。但是如果在教學過程中添加一些較為感性的材料,比如通過涂色,切月餅,分桃子,折紙等等活動,使學生從具體實物出發(fā)去認識并理解分數(shù)的意義是非常可取的。溝通知識間的聯(lián)系,從而獲得對分數(shù)的一些具體的或感性的知識,促進學生對分數(shù)知識的理解。例如:在進行“分數(shù)的意義”教學時,教師讓學生舉例說明1/4的含義。有些學生畫一條線段,再將線段平均分成四段,圈出其中的一段用來表示1/4;有
11、些學生畫出四根香蕉,圈出其中的一根表示這把香蕉的1/4;還有學生畫8塊面包,再將這些面包平均分成4份,其中的一份表示1/4;還有些學生通過折紙表示出了1/4在用直觀的形來表示抽象的數(shù)的過程中學生不僅加深了對分數(shù)意義的理解更為后面進一步學習“單位一”的概念埋下了伏筆。數(shù)形結合思想既可以促進學生對抽象的數(shù)學概念的理解,又可以將晦澀難懂的一些基本性質具體化,讓學生做到知其然更知其所以然。如:在執(zhí)教分數(shù)的基本性質這課時,學生用提前準備好的三張大小完全相同的正方形紙板分別折出這張紙的1/2,2/4,4/8并涂上顏色,通過觀察學生能清楚地發(fā)現(xiàn)涂色部分大小相等,因而可以得出1/2=2/4=4/8,教師再通過
12、進一步提問:為什么分子分母都不相同的幾個分數(shù)大小會相等呢?從而啟發(fā)學生進行探究。本例中如果不是從直觀的形出發(fā),又怎么能引出幾個分子分母不相同的幾個分數(shù)大小相等呢?可見數(shù)形結合在促進學生對基本性質方面的重要性。2.2數(shù)形結合思想在“圖形與幾何”中的應用2.2.1運用數(shù)形結合,以數(shù)助形,研究圖形的特征小學生年齡較小,空間思維發(fā)展受限,在學習圖形與幾何這部分知識時明顯吃力,很多學生頭腦中沒有圖形的表象,對圖形的認識不足,如果只是憑借單純的記憶,那么在解決圖形問題中就會感到心有余而力不足。教師在進行教學時往往會利用數(shù)來幫助學生加深對圖形特征的認識。例如:在執(zhí)教三年級上冊認識長方形和正方形時,教師可以啟
13、發(fā)學生用直尺量一量長方形的四條邊的長度以及正方形的四條邊的長度并將數(shù)據(jù)記錄在每條邊上,學生通過動手操作、觀察比較測量的數(shù)據(jù)可以清楚地發(fā)現(xiàn)長方形的兩組對邊分別相等以及正方形的四條邊一樣長這些特征。又如:在執(zhí)教圓的認識這一課時,學生能夠直觀的發(fā)現(xiàn)圓是由曲線圍成的圖形,但是在進一步學習圓的半徑和直徑以及兩者之間的關系時,學生就很難從圖形中直接觀察出來了。但是學生用尺子量出具體數(shù)據(jù),用數(shù)來想形就很容易得到圓心到圓上任意一點的距離都相等以及在同圓或等圓中圓的直徑與半徑的關系。學生通過數(shù)據(jù)與圖形的結合不僅能夠清晰地觀察出圓的直徑與半徑的關系,而且為后面學習圓的周長與直徑的關系提供了探究思路。在學習圓的周長
14、時教師組織學生共同探究圓的周長與直徑之間的關系,同樣需要數(shù)來助形,借助數(shù)量關系才能發(fā)現(xiàn)圖形中蘊含的規(guī)律,進而推導出圓的周長公式。2.2.2運用數(shù)形結合,促進學生對公式的理解小學教材中圖形與幾何的內(nèi)容看似簡單,但由于小學生缺乏空間想象能力,所以學習這部分知識存在一定的難度。教師在進行幾何知識的教學時往往會借助于直觀的教具,讓學生通過觀察、分析、動手操作等一系列活動自主探索出與之有關的知識并能在掌握的基礎上正確進行運算。在進行數(shù)學公式教學時如果只是讓學生死記硬背既不利于學生長時間記憶也不能應對千變?nèi)f化的數(shù)學難題。所以,教師在教授學生幾何知識的過程中,通過“以數(shù)想形”將數(shù)學公式轉變成更加易懂的形式,
15、加深學生對公式的理解,這對發(fā)展學生的空間觀念,提高學生的計算能力有莫大的好處。例如;在五年級下冊學習長方體的相關知識后進行長方體表面積計算中學生如果只是死記公式則無法應對變化的數(shù)學題,在具體問題中弄不清要計算哪幾個面。所以,在教學這部分內(nèi)容時應當結合具體實物或模型,賦予長寬高具體數(shù)值如8、6、4三個數(shù),學生通過小組合作交流發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)字與長方體六個面之間的關系,為后來解決有關長方體表面積的實際問題打下堅實的基礎。如求無蓋長方體的表面積,通風管道的表面積,洗衣機布套的面積這類問題并不是求六個面的面積和不能直接套用公式而是結合實際用六個面的面積和減去少掉的面的面積或者直接求出要求的幾個面的面積和,
16、這要求學生運用數(shù)形結合思想理解數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系,并且能夠根據(jù)具體情境解決相關的幾何問題。由此可見,數(shù)學知識的學習離不開數(shù)與形的結合,既要在具體的形中去思考數(shù)又要用抽象的數(shù)來解決與形相關的計算,在數(shù)與形的結合中訓練學生的思維,促進學生的空間觀念的發(fā)展。2.3數(shù)形結合思想方法在“統(tǒng)計與概率”中的滲透與應用小學階段的學生就開始接觸與統(tǒng)計有關的知識,統(tǒng)計和概率主要研究生活中的數(shù)據(jù)和客觀事物中的隨機現(xiàn)象,它通過收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)來對事物做出預判,幫助人們做出正確的決策。在數(shù)據(jù)分析的過程中,我們往往采用直觀的統(tǒng)計圖來將數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出來,讓學生感受用直觀的形來表示抽象的數(shù)的好處。如:四年級上冊學習
17、統(tǒng)計時,我們將收集到的北京市2012年8月份的天氣情況先用統(tǒng)計表記錄下來,雖然從統(tǒng)計表可以看出每種天氣的天數(shù)多少,但是不利于數(shù)據(jù)之間的比較。此時教師可以引導學生在直角坐標系里畫出長方形來表示數(shù)據(jù),這樣根據(jù)統(tǒng)計圖中長方形面積的大小便可以直觀地比較出數(shù)據(jù)的大小,讓學生體會用形表示數(shù)的直觀性。在折線統(tǒng)計圖中用形表示數(shù)不僅能直觀地比較出數(shù)據(jù)的大小,更能幫助人們預測事物的發(fā)展趨勢,進而解決一些生活實際問題。在扇形統(tǒng)計圖中同樣體現(xiàn)了數(shù)形結合思想方法,把整個圓看作“單位一”,然后用圓中的一些扇形來表示各部分與總量之間的百分比。在統(tǒng)計中利用數(shù)形結合思想讓學生體會以形助數(shù)的直觀性,以及圖形為數(shù)據(jù)處理帶來的簡潔性
18、、高效性。2.4數(shù)形結合思想在“解決問題”中的應用在解決問題的過程中,通常要用到數(shù)形結合策略把題目中的數(shù)量關系轉化成圖形,把抽象的數(shù)量關系形象化,再根據(jù)對圖形的觀察、分析、聯(lián)想,逐步譯成算式,以達到問題的解決2。小學數(shù)學中的分數(shù)應用題很多學生難以理解分數(shù)的實際意義,不理解單位“1”的意義,更不可能找準單位“1”。在教學中如果教師只是單純的抽象概括解題技巧,不能讓學生真正理解數(shù)量關系,那么學生在解題時就很難應對千變?nèi)f化的難題。這里如果運用數(shù)形結合的方法,以形助數(shù),即借助于形的直觀性來闡述數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)為目的3。在復雜的數(shù)量關系問題中,根據(jù)題目所給條件發(fā)掘數(shù)的結構特征,再由數(shù)轉形
19、,利用圖形的直觀性理清題目中的數(shù)量關系,使原本紛繁復雜的題目變的簡單易懂,從而順利地解決問題。例如:美術小組有75人,舞蹈組的人數(shù)比美術組多4/5。舞蹈組有多少人?許多學生不清楚本題有哪些數(shù)量關系,導致題目不會解。如果想快速的找到解題思路,很好的解決這道題我們可以通過畫線段圖的方法理解數(shù)量關系。先畫一條線段表示單位“1”的量,即美術組人數(shù)。再畫一條線段表示舞蹈組人數(shù),表示舞蹈組人數(shù)的線段比表示美術組人數(shù)的線段長4/5。美術組: 比美術組多4/5 75人舞蹈組: ?人解答:方法一:美術組人數(shù)+美術組人數(shù)4/5=舞蹈組人數(shù)。75+754/5=75+60=135(人) 方法二:美術組人數(shù)(1+4/5
20、)=舞蹈組人數(shù)。 75(1+4/5)=759/5=135(人) 小學數(shù)學中,線段圖是非常好用的數(shù)學工具,線段圖可以展示出數(shù)量間的對應關系,將抽象的數(shù)字轉化成直觀的圖形,幫助學生快速找到解題思路,正確進行計算。又如:過年媽媽買了蘋果和梨子一共25個,蘋果比梨子少7個,媽媽買了多少個蘋果?多少個梨?這道題對于第一學段的小學生來說是具有一定難度的,他們的抽象思維發(fā)展有限,難以理清蘋果和梨之間的數(shù)量關系。我們可以通過線段圖來幫助學生直觀地找到蘋果和梨之間的關系。因為蘋果比梨少,所以用一條較短的線段來表示蘋果的數(shù)量,用一條較長的線段表示梨的數(shù)量,梨比蘋果多出來的那部分線段長就是表示數(shù)量7,梨和蘋果數(shù)量一
21、共是25個,這些數(shù)據(jù)都可以在線段圖中清楚地表示出來。解答:蘋果的個數(shù):(25-7)2=9 (個) 梨子的個數(shù): 9+7=16(個) 答:媽媽買了9個蘋果,16個梨子。實踐證明,圖形具有直觀性、形象性、簡潔性,如果學生從小掌握了用圖形輔助解題的方法,分析問題和解決問題的能力將會大大的提高,對今后的數(shù)學學習將有很大的幫助4。 小學教材的編寫符合學生的發(fā)展規(guī)律,處處蘊含著數(shù)形結合思想,教師在平時的教學中要善于利用數(shù)形結合思想將數(shù)與形的本質聯(lián)系起來,化抽象問題為形象具體的問題,幫助學生發(fā)掘問題的本質,從而分析探索出解決問題的方法。參考文獻:1夏志新.“數(shù)形結合”就是妙J.新課程改革與實踐。2010,(
22、7):572林振興.“數(shù)形結合”思想在解題過程中的妙用J.小學教學參考.2010,(5):433黃曉波.數(shù)形結合思想專題精講J.中學生數(shù)理化.中考版J.2010,(6):17 4毛秀華.小學數(shù)學教學中“問題解決的策略”課堂實踐研究J.新智慧.2020(4). Number and Shape in Primary School MathematicsAbstract: in the elementary school mathematics, there are many abstract concepts and quantitative relation is not easy to be
23、understand students,especially for primary school students,their thinking development is not mature,still on the stage of the specific image, to abstract the quantitative relationship between mathematical conceptprinciple and difficult to grasp,leading them to the fear of difficulties in the process oflearning mathematics, and the loss of intrinsic motivation to learn math.In order to solve this problem this paper will according to the elementary school mathematics teaching examplesfrom the number and algebra, and geometry,sta
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