高數(shù)一試題及答案

1、 高等數(shù)學(xué) 一 復(fù)習(xí)資料一、挑選題1. 如lim x 3x2xx3k5,就 k（）3A. 3 B.4 C.5 D.62. 如lim x 1x2k2,就 k（）x1A. 1 B.2 C.3 D.43. 曲線yex3sinx1在點（ 0,2）處的切線方程為 A.y2x2 B.y2x2 C.y2x3 D.y2x4. 曲線yex3sinx1在點（ 0,2）處的法線方程為 A.y1x2 B.y1x2 C.y1x3 D.y1x322225. lim x 1x21 5）sinx3 C.4 D.A. 0 B.xt1t2 dt ,就f6. 設(shè)函數(shù)f x 3=（0A 1 B 2 C 3 D 4）個；7. 求函數(shù)y

2、2x44x32的拐點有（A 1 B 2 C 4 D 0 8. 當(dāng) x 時,以下函數(shù)中有極限的是（）；A. sin x B. 1 x C. x2 1D. arctanxe x 19. 已知 f 3=2,lim h 0 f 3 h2 h f 3 ； A. 3 B. 3 C. 1 D. -1 2 24 210. 設(shè) f x = x 3 x 5 ,就 f 0 為 f x 在區(qū)間 2,2 上的（）；A. 微小值 B. 極大值 C. 最小值 D. 最大值11. 設(shè)函數(shù) f x 在 1,2 上可導(dǎo),且 f 0, f 1 0, f 2 0, 就 f x 在 1,2 內(nèi) A. 至少有兩個零點 B. 有且只有一個

3、零點C. 沒有零點 D. 零點個數(shù)不能確定12. f x xf x dx .A. f x C B. f C C. xf x C D. f 2 C13. 已知 y f 2ln x 2,就 y C 2 2 2 2 2 2 A. 2 f ln x 2 f ln x B. 4 f ln x C. 4 f ln x f ln x D. 2 f ln x2 f x x x x14. d f x = B A. f C B. f x C. f x D. f x C2ln x15. dx D x A. 2 ln x C B. ln x C C. 2ln x C D. ln x 2Cx216. lim x 1 x

4、ln x 1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5x17. 設(shè)函數(shù) f x 0 t 1 t 2 dt ,就 f 2 =（）A 1 B 0 C 2 D 2318. 曲線 y x 的拐點坐標(biāo)是 A.0,0 B. 1,1 C.2,2 D.3,3 19. 已知yflnx ,就 y A flnx D.fln A.fln B.flnx C.xx20. d df x A x D.f C A.df x B.f x C.df21. ln xdx A C C.ln xx D. ln x A.xlnxxC B.ln xx二、求積分（每題8 分,共 80 分）1求 cos x sin xdx2. 求 3 4 3ln

5、 x dxx3. 求 arctan xdx34. 求 e xdx5. 求 2 x 3dxx 5 x 66. 求定積分0 1 8 dx3x27. 運算 0 x cos xdx8. 求 2 1dxx 2 x 89. 求 3 dx1 x 22 x 211. 求 12 xe dx2 312. 求 3 x 3 x dx213. 求 1 e lnx xdx214.求 x 3 x dx三、解答題1. 如lim 3 xx2 ax3 xx121 6, 求 a2.爭論函數(shù)f x 12 x3 x3的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間33. 求函數(shù)f x x2xx2的間斷點并確定其類型24. 設(shè)xy2sinxexy,求y.5. 求

6、yx3 1x2的導(dǎo)數(shù)x356. 求由方程x yacos t確定的導(dǎo)數(shù)y . bsint17. 函數(shù)f x e x,x00在x0處是否連續(xù)？1,x0tan , x x1e x , x 08. 函數(shù) f x 1, x 0 在 x 0 處是否可導(dǎo)？tan , x x 09. 求拋物線 y x 與直線y x 所圍成圖形 D 的面積 A . 10. 運算由拋物線 y 22 x 與直線 y x 4 圍成的圖形 D的面積A . y11. 設(shè) y 是由方程 y sin y xe 確定的函數(shù),求 y12. 求證：ln x x 1, x 1y13. 設(shè) y 是由方程 y 1 xe 確定的函數(shù),求 y3 214.

7、爭論函數(shù) f x 2 x 9 x 12 x 3 的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間x15. 求證：e 2 x 1,x 1 x 16. 求函數(shù) f x 3 的間斷點并確定其類型x x五、解方程1. 求方程y2dxyx2xydy0的通解 . 2. 求方程20yy的通解 .3. 求方程y2yy2 x 的一個特解 . 4. 求方程y5y9y5xe3x的通解 . 高數(shù)一復(fù)習(xí)資料參考答案一、挑選題1-5： DABAA 6-10： DBCDD 11-15： BCCBD 16-21：ABAAAA 二、求積分1求cosxsinxdxdCx解：cosxsinxdxsinxdsinx2sin3xC2sin3x2332. 求3

8、43ln x dx x43ln解：343lnx dx43lnx1dlnx43lnx1 313x31 4 43lnx4C 6t t dt33. 求arctan xdx解：設(shè)uarctanx,dvdx ,即 vx ,就a r c t a n x d xxa r c t a nx d a r cxarctanx1x2dxxxarctanx1ln1x2C 24. 求3 exdx解：3 exdxxt3t 2e 3 t dt3t2t edt2 t3 et 3 e 2 tdt2 t3 e2 3 et6 ett 6 edt2 t3 et 6 e6etC3 x 3e 32 x23x2C dx8時,t2,于是5.

9、 求x2x536dxx解：由上述可知x2x536x5x63,所以x22 xx536dxx5x63dx5x12dx6x13x25lnx26lnx3C x6. 求定積分8dxx0 13解：令3 xt ,即x3 t ,就dx2 3 t dt ,且當(dāng)x0時,t0；當(dāng)81dxx23 t dt 231t2tln1t23ln 30301t2020 xsinxdx7. 運算02 xcosxdx解：令u2 x ,dvcosxdx ,就du2 xdx,vsinx ,于是02 xcosxdx02 x dsinxx2sin 002 sinxdx再用分部積分公式,得0 x2cosxdx20 xdcosx2 cos 00

10、cosxdxC8. 求x21x2 cos 0sinx0218dxd x11ln3x21x8dxx19解：x222 163x11ln2xC9. 求1dx64xdx2 3 u du ,從而有23x3x2,就xu32,解：令u1dx23u2du3u211du1uln 1uC3x1u1u11udu3u23 u1211. 求2 12xex2dxex 22e4e解：22xex 2dx2ex 2dx2111233C12. 求3x233 x dx3 x d3x3解：3x233 x dx3x32313. 求eln2xdx1x解：eln2xdxeln2xdln 1lne1lne1x23C13x23Cx1x1333

11、114.求x32 x dx132 x d3x21 23x32 x dx22解：22 33三、解答題1. 如lim 3 xxax2x11 6, 求ax1,所以a9解：由于3 x2 axx192 x2 ax3 x2 axx1否就極限不存在；2.爭論函數(shù)f x 41x32x23x3的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間3解：f x2x3由f x24x30得x 11,x233, 上單調(diào)增；所以f x 在區(qū)間 x,1 上單調(diào)增,在區(qū)間1,3 上單調(diào)減,在區(qū)間2xx2的間斷點并確定其類型3. 求函數(shù)f x 2解：函數(shù)無定義的點為 x 2,是唯獨的間斷點；因 lim f x 3 知 x 2 是可去間斷點；x 24. 設(shè) x

12、y 2sin x e xy, 求 y .2 xy解：y 2 xy y cos x e y y , xyy e y cos x故 y xyx 2 y e 35. 求 y x 1 x5 2 的導(dǎo)數(shù) x 3解：對原式兩邊取對數(shù)得：于是yx31lny3lnx11 2lnx25lnx3,1 2x12x53,y故yx3 1x2x311x53.x3512x2確定的導(dǎo)數(shù)y . 6. 求由方程x yacos tbsint解: yxy t bcostb2.xx t asinta2y17. 函數(shù)f x e x,x00在x0處是否連續(xù)？1,x0tan , x x1解：lim x 0f x lim x 0ex00lim

13、 x 0f x lim tan x 0 x故在x0處不連續(xù)；18. 函數(shù)f x e x,x00在x0處是否可導(dǎo)？1,x0tan , x x1解：由于lim x 0f xf0lim x 0exx1A. 0,x1,見圖 6-9,所以該圖所以在x0處不行導(dǎo)；9.求拋物線y2 x 與直線 yx 所圍成圖形的面積解: 求解方程組yx得直線與拋物線的交點為xyx2y0y1形 在 直線x0與yx=1 之間 ,y1x2為 圖 形的 下邊 界 , yx為 圖形 的 上邊 界, 故1x21x31 6. A1xx2dx02030 x22x 與直線y4圍成的圖形 D的面積A . 10.運算由拋物線解：求解方程組y2x

14、2x得拋物線與直線的交點2,2 和 8, 4 ,見圖 6-10,下面分兩種y4方法求解 . 2y方法 1 圖形 D 夾在水平線 y 2 與 y 4 之間, 其左邊界 x,右邊界 x y 4,22 2 3 4故 A 42 y 4 y2 d y y2 4 y y6 2 1 8方法 2 圖形 D 夾在直線 x 0 與 x 8 之間,上邊界為 y 2 x ,而下邊界是由兩條曲線y 2 x 與 y x 4 分段構(gòu)成的,所以需要將圖形 D 分成兩個小區(qū)域 D ,D ,故2 8A 0 2 x 2 dx 2 2 x x 4 dx3 2 3 282 2 2 x 2 2 2 x 2 x 4 x 18 . 3 0

15、3 2 2y11. 設(shè) y 是由方程 y sin y xe 確定的函數(shù),求 y解：兩邊對 x 求導(dǎo)得yycosyeyy xe y10整理得y1eyxeycosy12. 求證：lnxx1,x證明：令f x x1lnx由于f 11xx1x所以f x 0,x1；13. 設(shè) y 是由方程y1y xe 確定的函數(shù),求y解：兩邊對 x 求導(dǎo)得yeyy xe y2x39x212x3的單調(diào)性并求其單調(diào)區(qū)間 上單調(diào)增；整理得y1y eyxe14. 爭論函數(shù)f x 1,x 22解：f 6x218x12由f 6x218x120得x 1所以f x 在區(qū)間 ,1 上單調(diào)增,在區(qū)間1,2 上單調(diào)減,在區(qū)間2,15. 求證

16、：ex2x1證：令f x ex2x1xln 2,又由于fln 222ln 2100得由于f x e2所以f x 0；x1x的間斷點并確定其類型16. 求函數(shù)f x x3 x解：由分母xx30得間斷點x0,x1；因lim x 0f x 1知x0是可去間斷點；因lim x 1f x lim x 11 1x1知x1也是可去間斷點x22因x lim1f x lim x11x1知x1也是可去間斷點1x22四、解方程1. 求方程y2dxx2xydy0的通解 . 解原方程可化為x2,dyy2dxxy上式右邊分子分母同除2 x 得 yxy2,dy dx1x此為齊次方程,因而令uy,就dyuxdu代入上式得xd

17、xdxuxduu21,分別變量得 兩邊積分得從而有dxudxu1du,lnC,x lnxu ulnuxcu e,u用uy回代即得原方程的通解yyCex. x2.yyy20解：原方程可化為：dyy04 分8 分dx積分得：yyc 即dy2c 1dx積分得y2c xc 3. 求方程y2yy2 x 的一個特解 . 解由于方程中q1y0且P x 2 2 x ,故可設(shè)特解為Ax2BxC , 就y2AxB y2A. 代入原方程有Ax2B 4AB x2A2BC2 x . 比較兩邊同次冪的系數(shù)得A10,4AB解得A1,2A2 BC04,C6, 所以,所求的特解為yx24x6. 2B,4. 求方程y5y9y5xe3x的通解 . 解分兩步求解 . （ 1）求對應(yīng)齊次方程的通解. 對應(yīng)齊