高斯小學(xué)奧數(shù)六年級(jí)上冊(cè)含答案第18講最值問(wèn)題二

1、第十八講最值問(wèn)題二、最值問(wèn)題中的常用方法a）極端思考在分析某些最值問(wèn)題時(shí)，可以考慮把問(wèn)題推向“極端”，因?yàn)楫?dāng)某一問(wèn)題被推向“極端”后，往往能排除許多枝節(jié)問(wèn)題的干擾，使問(wèn) 題的“本來(lái)面目” 清楚地顯露出來(lái)，從而使問(wèn)題迅速獲解.b）枚舉比較根據(jù)題目的要求，把可能的答案一一枚舉出來(lái)，使題目的條件逐步縮小范圍，篩選比較出題目的答案.c）分析推理根據(jù)兩個(gè)事物在某些屬性上都相同，猜測(cè)它們?cè)谄渌麑傩陨弦灿锌赡芟嗤耐评矸椒?d）構(gòu)造調(diào)整在尋求解題途徑難以進(jìn)展時(shí)，構(gòu)造出新的式子或圖形，往往可以取得出奇制勝的效果.二、求最大值和最小值的結(jié)論1和一定的兩個(gè)數(shù)，差越小，積越大；.積一定的兩個(gè)數(shù)，差越小，和越小；.兩

2、點(diǎn)之間線段最短.例1.用一根長(zhǎng)80厘米的鐵絲焊接成一個(gè)棱長(zhǎng)都是整數(shù)厘米的長(zhǎng)方體框架，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積最大是多少；:方印米?體積最大是多少；:方印米?分析題目的限制條件是鐵絲長(zhǎng)為80 厘米，要求體積的最大值，通過(guò)什么可以把這二者聯(lián)系起來(lái)呢? 練習(xí) 1 、（1 ）用一根長(zhǎng)100 厘米的鐵絲焊接成一個(gè)棱長(zhǎng)都是整數(shù)厘米的長(zhǎng)方體框架，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積最大是多少立方厘米？（2）有一根鐵絲，它能焊接成的棱長(zhǎng)都是整數(shù)厘米的最大長(zhǎng)方體的體積是36 立方厘米，這根鐵絲的長(zhǎng)度是多少厘米？例 2 有 5袋糖，其中任意3 袋的總塊數(shù)都超過(guò)60這 5袋糖塊總共最少有多少塊？分析每3 袋的總塊數(shù)都超過(guò)60，要求 5 袋的總

3、塊數(shù)事實(shí)上我們以前做過(guò)類似的題：“已知三個(gè)數(shù)兩兩的和數(shù)，求這三個(gè)數(shù)的總和 ”這樣的題大家是怎么處理的呢？它 的處理方法能否應(yīng)用到本題中來(lái)呢？練習(xí)2、有5 個(gè)學(xué)生參加暑期競(jìng)賽班，每人都拿了不少積分（所有積分都是整數(shù)）如果其中每三人的積分之和都不少于500 分，那這五人的總積分最少是多少？例 3 用 1 、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 各一個(gè)組成3 個(gè)三位數(shù)，使得它們都是9 的倍數(shù)，并且要求乘積最大，請(qǐng)寫出這個(gè)乘法算式分析為了讓這樣的三個(gè)數(shù)的乘積最大，我們當(dāng)然要讓三個(gè)數(shù)的首位最大那么首位應(yīng)該是多少呢？注意到這三個(gè)數(shù)都是9 的倍數(shù)，9 的倍數(shù)有什么特征呢？它對(duì)這三個(gè)數(shù)提出了怎樣的要

4、求？練習(xí)3、用1 、 2、 3、 4、 5、 6 各一個(gè)組成兩個(gè)三位數(shù)，使得它們都是3 的倍數(shù)，并且 要求乘積最大，請(qǐng)寫出這個(gè)乘法算式例4例4.把1至99依次寫成一排，行成一個(gè)多位數(shù):12349899 ?從中劃去 99個(gè)數(shù)字，乘U下的數(shù)字組成一個(gè)首位不是 0的多位數(shù).請(qǐng)問(wèn)：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？分析要使得到的數(shù)最大，所得的數(shù)前面幾位應(yīng)該是什么？如果要最小呢？練習(xí)4、把1至20依次寫成一排，行成一個(gè)多位數(shù)：1234_ 1920 .從中劃去20個(gè)數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個(gè)首位不是 0的多位數(shù).請(qǐng)問(wèn)：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少?例5.郵遞員送信件的街道如圖所示，每一小段街

5、道長(zhǎng)1千米.如果郵遞員從郵局出發(fā)，必須走遍所有的街道,那么郵遞片最少需要走多例5.郵遞員送信件的街道如圖所示，每一小段街道長(zhǎng)1千米.如果郵遞員從郵局出發(fā)，必須走遍所有的街道,那么郵遞片最少需要走多分析如果郵遞員恰好沒(méi)有重復(fù)地走遍所有的街道則這樣走的總路程就是最短的.那么郵遞員能做到這一點(diǎn)嗎？實(shí)際上這是一個(gè)一筆畫問(wèn)題同學(xué)們回想一下，什么樣的圖形才能一筆畫出來(lái)呢？形才能一筆畫出來(lái)呢？例6.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體的柜子，一只螞蟻要從左下角的A點(diǎn)出發(fā)，沿柜子表面爬到右上角的B角的B點(diǎn)去取食物，螞蟻爬行路線的長(zhǎng)度最短是多少?一共有幾條最短路線？請(qǐng)?jiān)趫D 中表示出來(lái).分析眾所周知，兩點(diǎn)之間線段最短 .然而在本題

6、中，螞蟻是不能穿過(guò)柜子的，只能在柜子表面爬行？這樣一來(lái)，我們就要在柜子表面尋找一條從A到B的最短路線？可是螞蟻應(yīng)該怎么走才能距離最短呢？罐頭裝箱問(wèn)題怎么擺放才能最有效地利用我們經(jīng)常遇到把圓柱體罐頭放入長(zhǎng)方體包裝箱的問(wèn)題，怎么擺放才能最有效地利用包裝箱內(nèi)的空間呢?一種顯而易見(jiàn)的辦法是把各圓排列成矩形的形狀，像圖1這樣.它是一種較優(yōu)排法,但不是最優(yōu)的辦法.沒(méi)有最大限度地利用空間，浪費(fèi)不少，圓的面積只占總共的78.5% .圖1圖1圖2比上述辦法好得多的辦法，是將罐頭擺放成圖2所示的六邊形.不難算出，正六邊形內(nèi)圓所覆蓋的面積超過(guò)了 90%.實(shí)際上，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了如果空間是無(wú)限延展的，這種六邊形擺放法

7、是最緊密的包裝方式.但是正六邊形擺法的最緊密性質(zhì)是有條件的，尤其在盒子不太大的時(shí)候.例如要放圖59個(gè)罐頭，正六邊形擺法需要的正方形不是最小的？如圖3,它的放法就不比圖 4好.圖5當(dāng)罐頭數(shù)目增加時(shí)，放罐頭的最佳包裝法會(huì)不斷在變，越來(lái)越傾向于正六邊形排法.比如，13個(gè)罐頭的最優(yōu)包裝法，用邊長(zhǎng)大約為圓直徑3.7倍的正方形就夠了 ？如圖 5,雖然它看上去亂糟糟，但已被證明為最優(yōu) 解?我 們可以看到，12個(gè)罐頭緊緊地靠在一起，而第13個(gè)（黃色的那個(gè)）則自由自在地放在中間.最后，大家思考一個(gè)問(wèn)題：設(shè) 1角錢硬幣的直徑為 a厘米，那么我們?cè)谶呴L(zhǎng)為 10a厘米的正方形中，最多可以不重疊地放入多少枚硬幣呢？是1

8、00枚嗎？能否放進(jìn)去更多？作業(yè)用一根長(zhǎng)120厘米的鐵絲焊接成一個(gè)棱長(zhǎng)都是整數(shù)厘米的長(zhǎng)方體框架，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積最大是多少立方厘米？高、婭、莫、萱四人各有若干塊高思勛章，其中任意兩人的勛章合起來(lái)都少于10塊,那么這四人的勛章合起來(lái)最多有多少塊？用1、2、3、4、5、6、7、8各一個(gè)組成兩個(gè)四位數(shù)，使得它們都是3的倍數(shù)，弁且要求乘積最大，請(qǐng)寫出這個(gè)乘法算式.把21至40依次寫成一排，行成一個(gè)多位數(shù)：21222324. 3940 .從中劃去20個(gè)數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個(gè)首位不是0的多位數(shù).請(qǐng)問(wèn)：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？5.如果例題55.如果例題5中的街道由“土”字形變成如下所示的形狀

9、,那么郵遞員從郵局出發(fā)，要走郵局遍所有的街道，最少需要走多少千米?郵局111最值問(wèn)題二例 7. 答 案： 294 TOC o 1-5 h z 詳解： 長(zhǎng)方體滿足：長(zhǎng) 寬 高 80 4 20 厘米，要使體積最大，就應(yīng)該使三邊長(zhǎng)度盡量接近. 所以當(dāng)三邊長(zhǎng)度分別為7 厘米、 7 厘米和 6 厘米時(shí)，體積最大，為7 7 6 294 立方厘米.例 8. 答 案： 103詳解： 任意 3 袋糖果總塊數(shù)都不少于61 ，必能取出一袋不少于21 塊糖果；現(xiàn)在余下4 袋，同樣可以有糖果數(shù)超過(guò)21 塊的袋子，再取走這袋. 現(xiàn)在余下三袋了，這三袋糖果總和不少于61 ，所以總的糖果不少于61+21+21=103 塊 .

10、 由于 5 袋糖果分別有21 、 21 、21 、 20、 20 塊，是符合要求的，所以103 就是最小值.例 9. 答案： 954X873X621詳解： 每個(gè)數(shù)都是9 的倍數(shù)，說(shuō)明每個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都是9 的倍數(shù) . 由于 1 到 9 總的數(shù)字和是45，而且每個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都不超過(guò)7+8+9=24 ，因而三個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和分別為、 18 和 9. 各位數(shù)字之和為9 的數(shù)最大只能是621 . 其余兩個(gè)數(shù)乘積要盡量大且各自的各位數(shù)字之和是18，百位取9 和 8，十位取7 和5，個(gè)位取4和3，有最大乘積954X872 ，故所求的乘法算式是954X873 X521 .例 10 .答案：最大為

11、 999997585960 9899 ;最小是 10000012345061626364。9899詳解：（1 ）要使剩下的數(shù)盡量大，就要讓數(shù)的最前面剩下盡可能多的9. 首先，最開(kāi)頭的 12345678 這 8 個(gè)數(shù)字是要去掉的，留下了第一個(gè)9; 然后去掉1011121314151617181共 19 個(gè)數(shù)字，留下了第二個(gè)9; 再去掉 3 次的 19 個(gè)數(shù)，使得剩下第3、 4、 5 個(gè) 9. 現(xiàn) 在已經(jīng)去掉了一共 8+19X4=84 個(gè)數(shù)， 剩下 的 數(shù)前 5 個(gè) 數(shù)字都是9， 然 后是50515253545556575859 一直寫到9899 ，還能再去掉15 個(gè)數(shù) . 但我們到下一個(gè)9 要去

12、掉個(gè)數(shù)， 到下一個(gè)8 要去掉 17 個(gè)數(shù)， 到下一個(gè)7 要去掉 15 個(gè)數(shù)， 于是最后結(jié)果的第6 個(gè)數(shù)字最大是7，應(yīng)該去掉的15 個(gè)數(shù)字為505152535455565 . 所以剩下的數(shù)最大為999997585960 98992）要使剩下的數(shù)盡量小，就要讓數(shù)的首位是1 ，第二位起是盡量多的0首位上的12）要使剩下的數(shù)盡量小，就要讓數(shù)的首位是取第一個(gè)數(shù)字1就行了 取第一個(gè)數(shù)字1就行了 .然后去掉234567891共9個(gè)數(shù)，留下第一個(gè)0;再去掉1112131415161718192 共19個(gè)數(shù)，留下第2個(gè)0;再去掉3次的19個(gè)數(shù)，就能得到第3、4、5個(gè)0.現(xiàn)在一共去掉了 9 19 4 85個(gè)數(shù)，剩

13、下的數(shù)前六個(gè)數(shù)字是1、0、0、0、0、0,余下的部分是 515253545556575859 一直寫到9899,還能再去掉14個(gè)數(shù).下一 位取不到 0 了，只能去掉一個(gè) 5,留下1；再下一位連1都取不到，只能去掉 1個(gè)5,取2;再去掉一個(gè)5, 留下3 ;去掉一個(gè)5,留下4 ?現(xiàn)在還能再去掉10個(gè)數(shù)字，而剩 下的是55565758596061?，接下來(lái)11個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是 5,所以取一個(gè)5?然后剩下的數(shù)前11個(gè)數(shù)字為55657585960 ,因而我們?nèi)サ?0個(gè)數(shù)字5565758596，使下一位達(dá) 到最小數(shù)字0.所以最后剩下的數(shù)最小是 1000001234506162636 9899 .例11 .

14、答案：26詳解：如圖1,由于的A、B兩點(diǎn)連出的邊是3條，也就是奇數(shù)條，僅當(dāng) 詳解：如圖1,由于的A、點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，才能一筆畫.我們不能從郵局出發(fā)一筆把這個(gè)圖畫出即郵遞員不能只把每條街道走一遍就回到郵局他至少應(yīng)該多走點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，才能一筆畫.我們不能從郵局出發(fā)一筆把這個(gè)圖畫出即郵遞員不能只把每條街道走一遍就回到郵局他至少應(yīng)該多走1千米街道，最小是26千米.在圖2中,圖2我們給出了郵遞員走圖1圖2我們給出了郵遞員走圖126千米走遍所有街道的一種方法.例12 .答案：最短的長(zhǎng)度是 5; 4詳解：為了表示方便，我們把長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都標(biāo)上字母，如圖3.螞蟻要從A處爬至UB處，途中必須經(jīng)過(guò)兩個(gè)相鄰的面，兩個(gè)

15、相鄰面的交線必是 EH、HF、FG、GC、CD、 DE六條線段中的一條.一共六種情況，但由對(duì)稱性，可分為三類，每類兩種：交線是FG、DE的情形為一類，交線是 HE、GC的情形為一類，交線是 FH、DC的情形為一 類.圖4BF3AD匡5情況1 :如果螞蟻所經(jīng)過(guò)的兩相鄰面是ACGF和FGBH ,那么我們可以沿著它們的交線FG把這兩個(gè)面展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖4 ?這樣螞蟻的整個(gè)行走路線就在這一個(gè)平面上，而且以 A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)？此時(shí)從A到B的最短連線就是 A、B兩點(diǎn)的連線,它恰好直角三角形 ABC的斜邊.由于AC3 , BC 3 14,因止匕 AB 5 ?DB1圖4BF3AD匡5情況1 :如果螞

16、蟻所經(jīng)過(guò)的兩相鄰面是ACGF和FGBH ,那么我們可以沿著它們的交線FG把這兩個(gè)面展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖4 ?這樣螞蟻的整個(gè)行走路線就在這一個(gè)平面上，而且以 A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)？此時(shí)從A到B的最短連線就是 A、B兩點(diǎn)的連線,它恰好直角三角形 ABC的斜邊.由于AC3 , BC 3 14,因止匕 AB 5 ?DB1圖63 C3 G圖7情況2:如果兩相鄰面的交線是GC著?同樣我們也可以沿GC，把兩個(gè)相鄰面展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖5 .此時(shí)A、B兩點(diǎn)的連線是直角三角形ABD的斜邊？由于BD 3 ,AD 3 14,因止匕AB 5 .情況3:如果兩相鄰面的交線是一個(gè)平面上，如圖 6 .此時(shí)A、DC ?

17、同樣我們也可以沿 著B兩點(diǎn)的連線是直角三角形DC，把兩個(gè)相鄰面展開(kāi)到同AGB的斜邊，一定比直角邊AG長(zhǎng).而AG的長(zhǎng)度是3 36,所以AB 一定大于6?其余三種情況的最短路線與上面的情況1、2、3對(duì)應(yīng)相同.所以爬行路線長(zhǎng)度最少是5,展開(kāi)圖還原到原來(lái)的圖中，就是所求的最短路線(如圖所以一共會(huì)有4條最短路線.7) ?因此在長(zhǎng)方體表面, 從到B的最短路線的長(zhǎng)度是5, 所以一共會(huì)有4條最短路線.7) ?因此在長(zhǎng)方體表面, 從 TOC o 1-5 h z 練習(xí)1 、答案：576簡(jiǎn)答： 100 4 25 8 8 9 ，8 8 9 576 練習(xí)2、答案：834簡(jiǎn)答：總積分最少是167 167 500 834 ，此時(shí) 5 人分?jǐn)?shù)可以是166、 167、 167、 167、 167練習(xí)3、答案：642 X 531簡(jiǎn)答： 6 和 5 分別放在兩個(gè)數(shù)的百位上，結(jié)合各位數(shù)字之和是3 的倍數(shù)，可得到乘積最大的算式642531 練習(xí) 4、 答案： 95617181920 ；10111111110簡(jiǎn)答：同例4，由于題目中數(shù)位較少枚舉即可，注意計(jì)算的準(zhǔn)確性作業(yè)答案：1000簡(jiǎn)答： 120 4 30 10 10 10 ，10 10 10 10