導(dǎo)數(shù)的幾何意義 全省一等獎(jiǎng)-精講版課件

1、陶中高二數(shù)學(xué)備課組1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義先來(lái)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念1.定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處及其附近有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處有改變量x時(shí)函數(shù)有相應(yīng)的改變量y=f(x0+ x)- f(x0).如果當(dāng)x0 時(shí),y/x的極限存在,這個(gè)極限就叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率)記作 即: 2. 瞬時(shí)速度就是位移函數(shù)s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù). 是函數(shù)f(x)在以x0與x0+x 為端點(diǎn)的區(qū)間x0,x0+x(或x0-x,x0)上的平均變化率,而導(dǎo)數(shù)則是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度 3.由導(dǎo)數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的基本方

2、法是:注意:這里的增量不是一般意義上的增量,它可正也可負(fù). 自變量的增量x的形式是多樣的,但不論x選擇 哪種形式, y也必須選擇與之相對(duì)應(yīng)的形式.下面來(lái)看導(dǎo)數(shù)的幾何意義: y=f(x)PQMxyOxyPy=f(x)QMxyOxy 如圖,曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的任意一點(diǎn),Q(x0+x,y0+y)為P鄰近一點(diǎn),PQ為C的割線,PM/x軸,QM/y軸,為PQ的傾斜角.斜率!PQoxyy=f(x)割線切線T請(qǐng)看當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線逐漸向點(diǎn)P接近時(shí),割線PQ繞著點(diǎn)P逐漸轉(zhuǎn)動(dòng)的情況. 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線PQ有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱(chēng)

3、為曲線在點(diǎn)P處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí),割線PQ的斜率,稱(chēng)為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即: 這個(gè)概念:提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法;切線斜率的本質(zhì)函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù).導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)在x0處的導(dǎo)數(shù)f/(x)的幾何意義, 是曲線y=f(x)在(x0,f(x0) )點(diǎn)處的斜率。即:例1:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟:先利用切線斜率的定義求出切線的斜率,然后利用點(diǎn)斜式求切線方程.練習(xí):如圖已知曲線 ,求:(1)點(diǎn)

4、P處的切線的斜率; (2)點(diǎn)P處的切線方程. yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4. (2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.例2.已知P（-1，1），Q（2，4）是曲線 y=x2上的兩點(diǎn)，求與直線PQ平行的曲線y=x2的切線方程。練習(xí) 在曲線y=x2上過(guò)哪一點(diǎn)的切線 1.平行于直線y=4x-5 2.垂直于直線2x-6y+5=0發(fā)展性訓(xùn)練11.求拋物線y=x2過(guò)點(diǎn) 的切線方程.設(shè)切點(diǎn)為(x0, x02),則x0=2, x0=3,切線方程為:y=4x-4, y=6x-9k0=4, k0=6（1）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率 ，得到曲線

5、 在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。（2）根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，即小結(jié):1.求切線方程的步驟： 無(wú)限逼近的極限思想是建立導(dǎo)數(shù)概念、用導(dǎo)數(shù)定義求 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無(wú)法理解導(dǎo) 數(shù)概念。謝謝！ 再見(jiàn)！在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)什么是導(dǎo)函數(shù)?由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)時(shí),f(x0) 是一個(gè)確定的數(shù).那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).即:如何求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)?看一個(gè)例子:下面把前面知識(shí)小結(jié):a.導(dǎo)數(shù)是從眾多實(shí)際問(wèn)題中抽象出來(lái)的具有相同的數(shù) 學(xué)表達(dá)式的一個(gè)重要概念，要從它的幾何意義和物 理意義了解認(rèn)識(shí)這

6、一概念的實(shí)質(zhì)，學(xué)會(huì)用事物在全 過(guò)程中的發(fā)展變化規(guī)律來(lái)確定它在某一時(shí)刻的狀態(tài)。 b.要切實(shí)掌握求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：（1）求函數(shù)的增 量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)。（3）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè) 常數(shù)，不是變數(shù)。c.弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。（1）求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率 ，得到曲線 在點(diǎn)(x0,f(x0)的切線的斜率。