高數(shù)部分知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、1 高數(shù)部分 高數(shù)第一章函數(shù),極限,連續(xù) 求極限題最常用的解題方向： 1. 利用等價(jià)無(wú)窮??； 2. 利用洛必達(dá)法 就,對(duì)于 型和 00型的題目直接用洛必達(dá)法就, 對(duì)于 0 , 0,1 型 的題目就是先轉(zhuǎn)化為 0 型或 0型,再使用洛比達(dá)法就； 3. 利用重要極 限,包括 lim x 0 x 1, lim x 0 1 1e, lim x 1 1 x e ；4. 夾逼定理； x x sin x 1.2 高數(shù)其次章導(dǎo)數(shù)與微分 章定積分 ,第三章不定積分 ,第四 其次章導(dǎo)數(shù)與微分與前面的第一章函數(shù),極限,連續(xù) , 后面的第三章不定積分 ,第四章定積分都是基礎(chǔ)性學(xué)問(wèn),一 方面有單獨(dú)出題的情形,如歷年真題

2、的填空題第一題經(jīng)常是求極限； 更重要的是在其它題目中需要做大量的靈敏運(yùn)用, 故特殊有必要打牢 基礎(chǔ)； 對(duì)于第三章 不定積分,陳文燈復(fù)習(xí)指南分類爭(zhēng)辯的特殊全面, 范疇遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范疇；在此只提示一點(diǎn)：不定積分 f x dx F x C 中的積分常數(shù) C 簡(jiǎn)潔被忽視,而考試時(shí)假如在答 案中少寫這個(gè) C 會(huì)失一分；所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以 加 深印象：定積分 f xdx 的結(jié)果可以寫為 Fx+1 ,1 指的就是那一分, 第 1 頁(yè),共 27 頁(yè)把它折彎后就是 f xdx F x C 中的那個(gè) C,漏掉了 C 也就漏掉了 這 1 分； 第四章定積分及廣義積分 可以看作是對(duì)第三章中解不

3、定積分 方法的應(yīng)用, 解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外仍要留意定積分 與不定積分的差異出題人在定積分題目中第一可能在積分上下 a限 上做 文章 ：對(duì)于 a f xdx 型 定 積分 , 如 fx 是奇 函數(shù) 就有 a a aa f xdx =0；如 fx 為偶函數(shù)就有 a f x dx =2 0 f x dx ；對(duì)于 0 2f xdx 型積分,fx 一般含三角函數(shù), 此時(shí)用 t 2 x 的代換是常 用方法；所以解這一部分題的思路應(yīng)當(dāng)是先看是否能從積分上下限中 入手,對(duì)于對(duì)稱區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利用變量替換 x=-u 和利 a a a用性質(zhì) a 奇函數(shù) 0, a 偶函數(shù) 2 偶函數(shù) 0；在

4、處理完積分上下 限的問(wèn)題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解； 這種思路對(duì)于 證明定積分等式的題目也同樣有效； 第 2 頁(yè),共 27 頁(yè)1.3 高數(shù)第五章中值定理的證明技巧 由本章中值定理的證明技巧 爭(zhēng)辯一下證明題的應(yīng)對(duì)方法； 用 以下這組規(guī)律公式來(lái)作模型： 假如有規(guī)律推導(dǎo)公式 A E,A B C, C D E F, 由這樣一組規(guī)律關(guān)系可以構(gòu)造出如干難易程度不等的 證明題,其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出 A, B,D,求證 F 成立； 為了證明 F 成立可以從條件, 結(jié)論兩個(gè)方向入手, 我們把從條件 入手證明稱之為正方向, 把從結(jié)論入手證明稱之為反方向； 正方向入 手時(shí)可能遇到的問(wèn)題有以下幾

5、類： 1. 已知的規(guī)律推導(dǎo)公式太多, 難以 從中找出有用的一個(gè)；如對(duì)于證明 F 成立必備規(guī)律公式中的 A E 就 可能有 A H,A I K,A B M 等等公式同時(shí)存在,有的規(guī) 律 公式看起來(lái)最有可能用到, 如A B M,由于其中涉及了題目所給 的 3 個(gè)條件中的 2 個(gè),但這恰恰走不通； 2. 對(duì)于解題必需的關(guān)鍵邏 輯推導(dǎo)關(guān)系不清楚, 在該用到的時(shí)候想不起來(lái)或者弄錯(cuò)； 如對(duì)于模型 中的 A B C,假如不知道或弄錯(cuò)就確定無(wú)法得出結(jié)論； 從反方向 入手證明時(shí)也會(huì)遇到同樣的問(wèn)題； 通過(guò)對(duì)這個(gè)模型的分析可以看出,對(duì)可用學(xué)問(wèn)點(diǎn)把握的不牢固, 不嫻熟和無(wú)法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了

6、證 明題的兩大緣由； 針對(duì)以上分析, 解證明題時(shí)其一要靈敏, 在一條思路走不通時(shí)必 須快速轉(zhuǎn)換思路, 而不應(yīng)當(dāng)再?gòu)念^開頭反復(fù)地想自己的這條思路是不 是哪里出了問(wèn)題； 另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獵取 信息； 第 3 頁(yè),共 27 頁(yè)當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí),最常見的情形是拿到題莫名其妙, 感覺(jué)條件與欲證結(jié)論簡(jiǎn)直是風(fēng)馬牛不相及的東西,長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法入手； 好不簡(jiǎn)潔找到一個(gè)大致方向, 在做如干步以后卻再也無(wú)法與結(jié)論拉近 距離了； 從出題人的角度來(lái)看, 這是由于沒(méi)能夠有效地從條件中獵取 信息；“盡可能多地從條件中獵取信息”是最明顯的一條解題思路, 同時(shí)出題老師也正是這樣支配的,但從題目的“欲

7、證結(jié)論”中獵取信 息有時(shí)也特殊有效； 如在上面提到的模型中, 假如做題時(shí)一開頭就想 到了公式 C D E F 再倒估計(jì)到 A B C, A E 就可以證明 了； 假如把主要靠分析條件入手的證明題叫做 “條件啟示型” 的證明 題,那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟示型”證明題在中值定 理證明問(wèn)題中有很典型的表現(xiàn)； 其中的規(guī)律性很明顯, 甚至可以以表 格的形式表示出來(lái)；下表列出了中值定理證明問(wèn)題的幾種類型： 條件 欲證結(jié)論 可用定理 使 A 關(guān)于閉區(qū)間 存在一個(gè) 介值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) 上的連續(xù)函 滿 足 某 得 f k ） 使 數(shù),經(jīng)常是 個(gè)式子 零值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) 只有連

8、續(xù)性 得 f 0 ） 已知 B 條件包括函 存在一個(gè) 費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為： f x0 0 ） 數(shù)在閉區(qū)間 滿 足 洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè) 使 上連續(xù),在 f n 0得 f 0 ） 第 4 頁(yè),共 27 頁(yè)開區(qū)間上可 導(dǎo) C 條件包括函 數(shù)在閉區(qū)間 上連續(xù),在 開區(qū)間上可 導(dǎo) 存在一個(gè) 拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在 滿 足 一個(gè) 使得 f f b f a ） b a f n k 柯西中值定理（結(jié)論部分為： 存在一個(gè) f 使得 g f b f a ） g b g a 另外仍常利用構(gòu)造幫忙函數(shù)法,轉(zhuǎn)化為 可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來(lái)證明 從上表中可以發(fā)覺(jué), 有關(guān)中值定理證明的證明題

9、條件一般比較薄 弱,如表格中 B,C 的條件是一樣的,同 時(shí) A 也只多了一條“可導(dǎo)性” 而已；所以在面對(duì)這一部分的題目時(shí), 假如把與證結(jié)論與可能用到的 幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較, 會(huì)比從題目條件上挖掘信息更簡(jiǎn)潔找到 入手處；故對(duì)于本部分的定理如介值,最值,零值,洛爾和拉格朗日 中值定理的把握重點(diǎn)應(yīng)當(dāng)放在熟記定理的結(jié)論部分上； 假如能夠做到 想到介值定理時(shí)就能同時(shí)想起結(jié)論“存在一個(gè) 使得 f k ”,看 到題目欲證結(jié)論中顯現(xiàn)類似 “存在一個(gè) 使得 f k ”的形式時(shí)也 能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子 f 0 ；而見 f f b f a 到式子 g b g a 也如同見到拉格朗日

10、中值定理一樣, 那么在處 g 理本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多, 經(jīng)常仍會(huì)收到 “豁然開朗” 的成效； 所以說(shuō),“牢記定理的結(jié)論部分”對(duì)作證明題的好處在中值定理的證 第 5 頁(yè),共 27 頁(yè)明問(wèn)題上表達(dá)的最為明顯； 綜上所述,針對(duì)包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)當(dāng)是 “盡一切可能挖掘題目的信息, 不僅僅要從條件上充分考慮, 也要重 視題目欲證結(jié)論的提示作用, 正推和倒推相結(jié)合； 同時(shí)保持清醒理智, 降低出錯(cuò)的可能”；期望這些想法對(duì)你能有一點(diǎn)啟示；不過(guò)僅僅弄明 白這些離實(shí)戰(zhàn)要求仍差得很遠(yuǎn), 由于在實(shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中 用到的變形轉(zhuǎn)換技巧,性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；很多結(jié)論,性 質(zhì)和定理

11、自己感覺(jué)的確是弄懂了, 也差不多記住了, 但是在做題時(shí)那 種沒(méi)有提示, 或者提示很少的條件下仍是無(wú)法做到靈敏運(yùn)用； 這也就 是自身感覺(jué)與實(shí)戰(zhàn)要求之間的差別； 這就像在記英語(yǔ)單詞時(shí), 看到英語(yǔ)能想到漢語(yǔ)與看到漢語(yǔ)能想到 英語(yǔ)的把握程度是不同的一樣,對(duì)于考研數(shù)學(xué)大綱中“懂得”和“掌 握”這兩個(gè)詞的熟識(shí)其實(shí)是在做題的過(guò)程中才慢慢清楚的； 我們需要 做的就是靠足量, 高效的練習(xí)來(lái)透徹把握定理性質(zhì)及嫻熟運(yùn)用各種變 形轉(zhuǎn)換技巧,從而達(dá)到大綱的相應(yīng)要求, 提高實(shí)戰(zhàn)條件下解題的勝算； 依我看, 最大的技巧就是不依靠技巧, 做題的問(wèn)題必需要靠做題來(lái)解 決； 第 6 頁(yè),共 27 頁(yè)1.4 高數(shù)第六章常微分方程

12、本章常微分方程部分的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔, 陳文燈復(fù)習(xí)指南對(duì)一階微分方 程,可降階的高階方程, 高階方程都列出了方程類型與解法對(duì)應(yīng)的表 格；歷年真題中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題顯現(xiàn) 的,也經(jīng)常以大題的形式顯現(xiàn),一般是通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)處的切線,法 線,積分方程等問(wèn)題來(lái)引出；從歷年考察情形和大綱要求來(lái)看,高階 部分不太可能考大題,而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜； 對(duì)于本章的題目, 第一步應(yīng)當(dāng)是辨明類型, 實(shí)踐證明這是必需放 在第一位的；分清類型以后依據(jù)對(duì)應(yīng)的求解方法按部就班求解即可； 這是由于其實(shí)并非全部的微分方程都是可解的, 在高校高等數(shù)學(xué)中只 爭(zhēng)辯了有限的可解類型, 所以出題的靈敏度有限,

13、很難將不同的學(xué)問(wèn) 點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈敏轉(zhuǎn)換； 這樣的學(xué)問(wèn)點(diǎn)特點(diǎn)就準(zhǔn)備了我們可以實(shí)行 相對(duì)機(jī)械的“辨明類型套用對(duì)應(yīng)方法求解”的套路 ,而且各 種類型的求解方法正好也都是格式化的,便于以這樣的方式使用； 先爭(zhēng)辯一下一階方程部分； 這一部分結(jié)構(gòu)清楚, 對(duì)于各種方程的 通式必需牢記, 仍要能夠?qū)σ谆煜念}目做出精確判定； 各種類型都 有自己對(duì)應(yīng)的格式化解題方法, 這些方法死記硬背并不簡(jiǎn)潔, 但有規(guī) 律可循這些方法最終的目的都是統(tǒng)一的, 就是把以各種形式顯現(xiàn) 的方程都化為 fxdx=fydy 這樣的形式, 再積分得到答案； 對(duì)于可 分 離 變 量 型 方 程 f1 x g1 ydx f2 x g2 ydy

14、 0, 就 是 變 形 為 f 2 x f1 x dx=- g2 y g1 y dy ,再積分求解；對(duì)于齊次方程 y f x 就做變量 y 第 7 頁(yè),共 27 頁(yè)y 替換 u x ,就 y 化為 u x du dx ,原方程就可化為關(guān)于 u 和 x 的可分 離變量方程,變形積分即可解；對(duì)于一階線性方程 y p x y q x 第一步先求 y p x y 0 的通解,然后將變形得到的 dy y p xdx 積分,其次步將通解中的 C 變?yōu)?Cx 代入原方 y p x y q x 解 程 n出 Cx 后代入即可得解； 對(duì)于貝努利方程 y p x y q x y ,先做 變量代換 z y 1 n

15、代入可得到關(guān)于 z, x 的一階線性方程,求解以后將 z 仍原即可；全微分方程 Mx,ydx+Nx,ydy 比較特殊,由于其有條 M N件 y x , 而 且 解 題 時(shí) 直 接 套 用 通 解 公 式 x y M x, y0 dx N x, y dy C . x0 y0 所以,對(duì)于一階方程的解法有規(guī)律可循, 不用死記硬背步驟和最 后結(jié)果公式；對(duì)于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律；對(duì)于 1 y n f x 型方程,就是先把 y n 當(dāng)作未知函數(shù) Z,就 y n Z 原方程就化為 dz f xdx 的一階方程形式,積分即得；再對(duì) y n 2 , y n 3 依次做上述處理即可求解； y f x

16、, y 叫不顯含 y 的二階方程, 解法是通過(guò)變量替換 y p, y p p 為 x 的 函 數(shù) 將 原 方 程 化 為 一 階 方 程 ； y f y, y 叫不顯含 x 的二階方程,變量替換也是令 y p （但 此中的 p 為 y 的函數(shù)）,就 y dp dy dy dx p dy pp ,也可化為一 階形式； 所以就像在前面解一階方程部分記 “求解齊次方程就用變量替換 y u”,“求解貝努利方程就用變量替換 z 1 n y ”一樣,在這里也 x 第 8 頁(yè),共 27 頁(yè)要記住“求解不顯含 y 的二階方程就用變量替換 y p ,y p”, “求解不顯含 x 的二階方程就用變量替換 y p

17、, y pp ”； 大綱對(duì)于高階方程部分的要求不高,只需記住相應(yīng)的公式即可； 其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的 結(jié)構(gòu)定理特殊相像,可以對(duì)比記憶： 如 y1 x , y2 x 是 齊 次 方 程 如齊次方程組 Ax=0 的基礎(chǔ)解系有 y p x y q x y 0 的兩個(gè)線性無(wú) n-r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量, 就齊次方 關(guān) 的 特 解 , 就 該 齊 次 方 程 的 通 解 為 程 組 的 通 解 為 x c1 y1 x c2 y2 x x k1 y1 k2 y 2 kn yn r非 齊 次 方 程 非齊次方程組 Ax=b 的一個(gè)通解等于 y p x y q x y f

18、x 的通解為 Ax=b 的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程 y c1 y1 x c2 y2 x y1 x , 其 中 Ax=0 的通解之和 y1 x 是 非 齊 次 方 程 的 一 個(gè) 特 解 , c1 y1 x c2 y2 x 是 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 y p x y q x y 0 的通解 如非齊次方程有兩個(gè)特解 y1 x y2 x , 如 r1 , r2 是方程組 Ax=b 的兩個(gè)特就 對(duì) 應(yīng) 齊 次 方 程 的 一 個(gè) 解 為 解, 就 r1 - r2 是其對(duì)應(yīng)齊次方程組 Ax=0 y x y1 x y2 x 的解 由以上的爭(zhēng)辯可以看到, 本章并不應(yīng)當(dāng)成為高數(shù)部分中比較 難辦的章節(jié), 由于

19、這一章假如有難點(diǎn)的話也僅在于 “如何精確 無(wú)誤地記憶各種方程類型及對(duì)應(yīng)解法” ,也可以說(shuō)本章難就難 在記憶量大上； 第 9 頁(yè),共 27 頁(yè)1.5 高數(shù)第七章一元微積分的應(yīng)用 本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分, 其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中 顯現(xiàn)較少, 而且一般不是題目的考察重點(diǎn)； 而定積分的應(yīng)用在歷年真 題的大題中經(jīng)常顯現(xiàn), 常與常微分方程結(jié)合； 典型的構(gòu)題方式是利用 變區(qū)間上的面積, 體積或弧長(zhǎng)引出積分方程, 一般需要把積分方程中 的變上限積分 x f tdt 單獨(dú)分別到方程的一端形成“ x f tdt aa”的形式, 在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對(duì)應(yīng)解法求 解； 對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,有以下

20、一些學(xué)校問(wèn)點(diǎn)： 1. 利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性和爭(zhēng)辯極,最值；其中判定函數(shù)增減 性可用定義法或求導(dǎo)判定, 判定極,最值時(shí)就須留意以下兩點(diǎn)： A. 極值的定義是：對(duì)于 x0 的鄰域內(nèi)異于 x0 的任一點(diǎn)都有 f x f x0 或 f x f x0 , 留意是或 而不是或； B. 極 值 點(diǎn) 包 括 圖 1 , 圖 2 兩 種 可 能 , 所 以 只 有 在 f x 在 x0 處可導(dǎo)且在 x0 處取極值時(shí)才有 f x 0；以上兩點(diǎn)都 是實(shí)際做題中經(jīng)常忘掉的地方,故有必要加深一下印象； 2. 爭(zhēng)辯方程根的情形；這一部分常用定理有零值定理（結(jié)論部分 第 10 頁(yè),共 27 頁(yè)為 f 0）,洛爾定理（結(jié)

21、論部分為 f 0）；常用到構(gòu)造幫忙 函數(shù)法；在作題時(shí),畫幫忙圖會(huì)起到很好的作用,特殊是對(duì)于討 論方程根個(gè)數(shù)的題目,結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較簡(jiǎn)潔判定； 3. 懂得區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大微小值的不同判定條件： A. 如 函數(shù) f x 在 區(qū)間 I 上的 f x 0 ,就 f x 在 I 上是凸的； 如 f x 在 I 上的 f x 0 ,就 f x 在 I 上是凹的； B. 如 f x 在 點(diǎn) x0 處有 f x 0 且 f x0 0 ,就當(dāng) f x0 0 時(shí) f x0 為 極大值,當(dāng) f x0 0 時(shí) f x0 為微小值； 其中,A 是判定函數(shù)凸凹性的充要條件, 依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義, f x 是 f x

22、 的變化率, f x 是 f x 的變化率； f x 0 可以說(shuō)明 函數(shù)是增函數(shù), 典型圖像是 ； f x 0可以說(shuō)明函數(shù) f x 的變化率在區(qū)間 I 上是遞減的,包括以下兩種 可能： a. 此時(shí) f x 為正,且隨 x 變大而 變?。ù笮￡P(guān)系可參考圖 3）； 第 11 頁(yè),共 27 頁(yè)b. 此時(shí) f x 為負(fù),隨 x 變大而變 ?。ù笮￡P(guān)系可參考圖 3）； 同樣, f x 0 也只有兩種對(duì)應(yīng)圖像： c. 此時(shí) f x 為正,隨著 x 變大而變大； d. 此時(shí) f x 為負(fù),隨 x 變大而變大； 所以,當(dāng) f x 0 時(shí),對(duì)應(yīng) 或 的函數(shù)圖 像,是凸的；當(dāng) f x 0 時(shí),對(duì)應(yīng) 或 的函數(shù) 圖

23、像,是凹的； 相比之下, 判定函數(shù)極大微小值的充分條件比判定函數(shù)凸凹 性的充要條件多了“ f x 0 且 f x0 0”,這從圖像上也很簡(jiǎn)潔 懂得：中意 f x 0 的圖像必是凸的,即 或 ,當(dāng) 第 12 頁(yè),共 27 頁(yè)f x 0 且 f x0 0 時(shí)不就確定是 的情形嗎； 對(duì)于定積分的應(yīng)用部分, 第一需要對(duì)微元法嫻熟把握； 在歷年考 研真題中, 有大量的題是利用微元法來(lái)獲得方程式的, 微元法的嫻熟 應(yīng)用是倍受出題老師青睞的學(xué)問(wèn)點(diǎn)之一； 但是由于微元法這種方法本 身有思維上的跳動(dòng), 對(duì)于這種靈敏有效的方法必需通過(guò)足量的練習(xí)才 能真正體會(huì)其思想； 在此結(jié)合函數(shù)圖像與對(duì)應(yīng)的微元法核心式來(lái)歸納 微

24、元法的三種常見類型： 1. 薄桶型 . 本例求的是由平面圖型 ax b,0 yfx 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積；方法是在旋轉(zhuǎn)體 上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示） ,就依據(jù)微元法思想可 得 薄 桶 體 積 dv 2 xf xdx , 其 中 f x 是 薄 桶 的 高 , 2 xf x 是薄桶開放變成薄板后的底面積, 二者相乘即得體積； dx 就是薄板的厚度； 對(duì) dv 2 xf xdx 積分可得 V 2 xf xdx；在這個(gè)例 子中,表達(dá)微元法特色的地方在于： 1. 雖然薄桶的高是個(gè)變化量, 但 卻 用 f x 來(lái) 表 示 ； 2. 用 dx 表 示 薄 桶 的 厚 度 ； 3.

25、核 心 式 dv 2 xf xdx ； 第 13 頁(yè),共 27 頁(yè)2. 薄餅型 . 本例求的是由拋物線 y x 2及 H的旋轉(zhuǎn)體體積,方法是取如上 y 4x 2 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)形成的高 圖 陰 影 部 分 所 示 的 一 個(gè) 薄 餅 型 形 體 , 可 得 微 元 法 核 心 式 y y dv y 4 dy ；其中 y 4 是薄餅的底面積,薄餅與 y x 2 旋 轉(zhuǎn) 面 相 交 的 圓 圈 成 的 面 積 是 r 2, r x , r 2x 2 y ；同理薄餅與 y 4x 2旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的 y 面積是 4 , 二者相減即得薄餅底面積；核心式中的 dy 是薄 餅的高；這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并

26、不是上下一般粗的圓柱,而是 上大下小的圓臺(tái),但將其視為上下等粗來(lái)求解,這一點(diǎn)也表達(dá)了 微元法的特色； 3. 薄球型 . 本例求球體質(zhì)量,半徑為 R, 2密度 r , 其中 r 指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離； 方法是 取球體中的一個(gè)薄球形形體,其內(nèi)徑為 r 厚度為 dr ,對(duì)于這 個(gè)薄球的體積有 dv 4 rr 2 dr ,其中 4 r是薄球表面積, dr 是 厚度；該核心式可以想象成是將薄球開放,攤平得到一個(gè)薄面以 后再用底面積乘高得到的；由于 dr 很小,故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均 第 14 頁(yè),共 27 頁(yè)勻,為 r 2,就薄球質(zhì)量 dm 4 r 2 r dr 4 r dr ,積分 可得結(jié)果；本例

27、中“用內(nèi)表面的表面積 4 r 2乘以薄球厚度 dr 得 到核心式”,“將 dv內(nèi)的薄球密度視為均勻” 表達(dá)了微元法的特色； 通過(guò)以上三個(gè)例子談了一下了我對(duì)微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)熟識(shí)； 這種方法的靈敏運(yùn)用必需通過(guò)自己動(dòng)手做題體會(huì)才能實(shí)現(xiàn),由于 其中一些規(guī)律表面上并不符合常規(guī)思維,但或許這正是爭(zhēng)辯生入 學(xué)考試出題老師寵愛微元法的緣由； 關(guān)于定積分的應(yīng)用,以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式 表格： 求平面圖 形面積 s bf x dx a求旋轉(zhuǎn)體 體積（可 用微元法 也可用公 體 積 Vx b左圖中圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體的 式） b2 f xdx , 繞 y 軸 旋 轉(zhuǎn) 體 得 體 積 aVy 2xf xd

28、x a第 15 頁(yè),共 27 頁(yè)左圖中圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)體的體 積 Vx 2bb2 f 2 x 2 f1 x dx ,繞 y 軸旋轉(zhuǎn)體得體 a積 Vy x f 2 x f1 x dx a已知平行 截面面積 求立體體 積 V bs xdx a求平面曲 線的弧長(zhǎng) lb1 y 2 dx a第 16 頁(yè),共 27 頁(yè)1.6 高數(shù)第九章矢量代數(shù)與空間解析幾何 本章并不算很難, 但其中有大量的公式需要記憶, 故如何減 少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問(wèn)題； 抓住本章前后學(xué)問(wèn) 點(diǎn)的聯(lián)系來(lái)復(fù)習(xí)是一種有效的策略, 由于這樣做既可以防止重復(fù) 記憶,削減記憶量,又可以保證記憶的精確性；同時(shí),學(xué)問(wèn)點(diǎn)前 后聯(lián)系親熱也

29、正是本章的突出特點(diǎn)之一； 系的學(xué)問(wèn)點(diǎn)： 以以下出本章中前后聯(lián) a 矢量間關(guān)系在爭(zhēng)辯線線關(guān)系, 線面關(guān)系中的應(yīng)用； 這個(gè)聯(lián)系很 明顯,舉例來(lái)說(shuō), 平面與直線平行時(shí),平面的法矢量與直線的方向矢 量相互垂直,而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時(shí)二矢量的數(shù)積為 0,如直線方 x x0 y y0 z z0 程為 l m n,平面方程為 Ax By Cz D 0 ,就 有 Al Bm Cn 0 ；同理可對(duì)線面,線線,面面關(guān)系進(jìn)行判定； b 數(shù)積定義與求線線,線面,面面夾角公式的聯(lián)系；數(shù)積定義式 為 a b | a | b | cos ,故有 cos a b ,這個(gè)式子是全部線線,線 |a|b | 面 , 面 面 夾 角

30、 公 式 的 源 公 式 ； 舉 例 來(lái) 說(shuō) , 設(shè) 直 線 l : x x l1 2 l1 y y 1z z 1,直線 l : x x 2y y 2z z 2m1 n1 l 2 m2 n2 ,就二直線 夾角 l1l 2 m1m2 n1n2 a b ,其中 a , b 分別是兩條直線的方 2 m1 2 n1 2 2 2l2 m2 n2 | a|b| 向矢量；對(duì)于線面,面面夾角同樣適用,只需留意一點(diǎn)就是線面夾角 公 式 中 不 是 c o s 而 是 s i n , 因 為 如 右 圖 所 示 第 17 頁(yè),共 27 頁(yè)由于直線的方向矢量與直線的走向平行,而 平面的法矢量卻與平面垂直,所以線面夾

31、角 是兩矢量夾角 的余 角,即 90 ,故求夾角公式的左端是 sin ；對(duì)于線線夾角 和面面夾角就無(wú)此問(wèn)題； c 平面方程各形式間的相互聯(lián)系；平面方程的一般式,點(diǎn)法式, 三點(diǎn)式,截距式中,點(diǎn)法式和截距式都可以化為一般式；點(diǎn)法式 A x x0 B y y0 C z z0 0（點(diǎn) x0 , y0 , z0 為平面上已 知 點(diǎn) , A, B,C 為 法 矢 量 ） 可 變 形 為 Ax By Cz Ax0 By0 Cz0 0, 符 合 一 般 式 Ax By Cz D 0 的形式； 截距式 a x b y z c 1（ a,b, c 為平面 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距） 可變形為 bcx acy abz

32、abc 0 ,也符 合一般式的形式； 這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式, 更主要是 由于在考試中可能需要將這些式子相互轉(zhuǎn)化以便利答題 （這種情形在 歷年真題中曾經(jīng)顯現(xiàn)過(guò)） ； 同樣, 直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系, 直線方程的參數(shù)形式 和標(biāo)準(zhǔn)式之間可以相互轉(zhuǎn)化；直線方程的參數(shù)形式 x x0 lt y y0 mt z nt z0 （ x0 , y0 , z0 是平面上已知點(diǎn), l , m, n 為方向矢量）可變形為 第 18 頁(yè),共 27 頁(yè)x x0 t x x0 y y0 z z0 ； 標(biāo) 準(zhǔn) 式 ly y0t t , 即 為 標(biāo) 準(zhǔn) 式 m lmnz z0 ny y0 z z0 如變形為

33、 x x0 y y0 z z0 t 就也可以 x x0 lmnlmn轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式；這個(gè)轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用過(guò)不止一次； d 空間曲面投影方程, 柱面方程, 柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)分與聯(lián) 系；關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性學(xué)問(wèn)包括： F x, y, z 0 表示的是一個(gè) 空間曲面； 由于空間曲線可視為由兩個(gè)空間曲面相交而得到的, 故空 F1 x, y, z 0 2 2 2間曲面方程為 F x, y, z 0 ；柱面方程如圓柱面 x y R, 橢圓柱面 a x 2 2 b y 2 2 1 可視為是二元函數(shù) f x, y 0 在三維坐標(biāo)系 中的形式； f x, y 0可視為 在這些基礎(chǔ)上分析, 柱面方程的準(zhǔn)線

34、方程如 z 0是由空間曲面柱面與特殊的空間曲面坐標(biāo)平面 z 0 相交 形成的空間曲線, 即右圖 中的曲線 2；而空 間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實(shí)是一回事, 如上圖中曲線 1 的 投影是由過(guò)曲線 1 的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的, 所以也就是圖 第 19 頁(yè),共 27 頁(yè)中的柱面準(zhǔn)線；在由空間曲線方程 F1 x, y, z 0F x, y, z 0 求投影方程時(shí), 需要先從方程組中消去 z 得到一個(gè)母線平行于 z 軸的柱面方程；再 與 z 0 聯(lián)立刻可得投影方程 f x, y, z 0； z 0第 20 頁(yè),共 27 頁(yè)1.7 高數(shù)第十章多元函數(shù)微分學(xué) 復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)可以先將多元函數(shù)各學(xué)

35、問(wèn)點(diǎn)與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)部 分作對(duì)比, 這樣做即可以將相像學(xué)問(wèn)點(diǎn)區(qū)分開以防止混淆, 又可以通 過(guò)與一元函數(shù)的對(duì)比來(lái)促進(jìn)對(duì)二元函數(shù)某些地方的懂得； 本章主要內(nèi) 容可以整理成一個(gè)大表格： 二元函數(shù)的定義（略） 相 一元函數(shù)的定義（略） 似 二元函數(shù)的連續(xù)性及極限： 一元函數(shù)的連續(xù)性及極限： 二元函數(shù)的極限要求點(diǎn) x, y 以任何 不 一元函數(shù)的極限與路徑無(wú)關(guān),由 方向,任何路徑趨向 Px0 , y0 時(shí)均有 等價(jià)式 lim f x x x0 A A f x, y A （ x x0 , y y0 ）； 同 f x0 f x0 假如沿不同路徑的 x lim f x, y x0 不相等, 相 即可判定； y

36、y0 就可確定 x lim f x, y x0 不存在； 一元函數(shù) y f x 在點(diǎn) x0 處連 y y0 二元函數(shù) z f x, y 在點(diǎn) P x0 , y0 處 連續(xù)性判定條件為： x lim f x, y x0 存在且 續(xù)性判定條件為 x lim f x x0 且等 y y0 似 于 f x0 等于 f x0 , y0 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義 二 元 函 數(shù) z f x, y 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 定 義 一元函數(shù) y f x 的導(dǎo)數(shù)定義： 第 21 頁(yè),共 27 頁(yè)lim x 0 z lim x 0 f x 0 x, y f x , y 相 lim x 0 y lim x

37、0 f x0 x f x0 似 x x x x 分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要 分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用 用導(dǎo)數(shù)定義 偏導(dǎo)數(shù)的定義 二元函數(shù)的全微分： 一元函數(shù)的全微分： 簡(jiǎn)化定義為： 對(duì)于函數(shù) z f x, y ,如 簡(jiǎn)化定義為：如函數(shù) y f x在 其在點(diǎn) P x0 , y0 處的增量 z 可表示為 相 點(diǎn) x 處 的 增 量 y 可 表 示 為 z A x B y o ,其中 o 似 y A x d,其中 d是 x 的 為 的高階無(wú)窮小,就函數(shù) f x, y 在 高階無(wú)窮小,就函數(shù)在該點(diǎn)可微, P x0 , y0 處 可 微 , 全 微 分 為 即 dy A x , 一 般 有 A

38、x B y ,一般有 dz z x dx y z dy dy f xdx 二元函數(shù)可微,可導(dǎo),連續(xù)三角關(guān)系圖 二元函數(shù)可微,可導(dǎo),連續(xù)三角 連續(xù) 可導(dǎo) 不 關(guān)系圖 可導(dǎo) 同 連續(xù) 可微 可微 多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù) 一元函數(shù)沒(méi)有“全導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概 設(shè) z wdz dt f u, v, w ,u g t ,v ht , 不 念,但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù) kt 且都可導(dǎo),就 z 對(duì) t 的全導(dǎo)數(shù) 同 其實(shí)可以從“一元復(fù)合函數(shù)”的 f du f dv f dw 角度懂得；一元復(fù)合函數(shù)是指 u dt v dt w dt y f u , ugx 時(shí) 有 第 22 頁(yè),共 27 頁(yè)dy dx dy du du d

39、x ；與左邊的多元函數(shù) 全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng) 一起來(lái)； 多元復(fù)合函數(shù)微分法 一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè) z f u, v, w , 示,與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相 uj x, y , v h x, y , 似,只需分清式子中 dz 與 dx z 的不 x wk x , y , 就 有 同即可 z z uz v z wx z u z x u v z x z w z x w ；對(duì)于多 相 y uy v y wy 似 元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),在考研真題中有一個(gè) 百出不厭的點(diǎn)就是函數(shù) z 對(duì)中間變量 u, v, w 的偏導(dǎo)數(shù) z , z , z 仍是以 v wuu, v, w 為

40、中間變量的復(fù)合函數(shù),此時(shí)在 求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)仍要重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 法；這是需要通過(guò)足量做題來(lái)嫻熟把握 的學(xué)問(wèn)點(diǎn),在后面的評(píng)題中會(huì)就題論題 作更充分的論述； 多元隱函數(shù)微分法 一元復(fù)合函數(shù),參數(shù)方程微分法 求由方程 F x, y, z 0 確定的隱含數(shù) 對(duì)一元隱函數(shù)求導(dǎo)常接受兩種方 Z Z x, y 的偏導(dǎo)數(shù),可用公式： dy 法： 1. 公式 dx Fx x, y Fy x, y 第 23 頁(yè),共 27 頁(yè)z Fx x, y, z , z Fy x, y, z Fz x, y, z 對(duì)于 2. 將 y 視為 x 的函數(shù),在方 x Fz x, y, z y 程兩邊同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo) 由方程組 F x, y, z Gx, y, z 0 0確定的隱含數(shù) 一 元 參 數(shù)