高等代數(shù)-習(xí)題集

1、高等代數(shù)（上） 課程習(xí)題集 一、填空題 1 1.如x31整除f x ,就f1= ；A的秩2.假如方陣 A的行列式A0,就 A 的行向量組線性（）關(guān)；3.設(shè) A 為 3 級方陣,A 為 A的相伴矩陣,且 *A1 3,就A *A1（）；4.如 A 為方陣,就 A 可逆的充要條件是（）；5.已知A12,B11,且AB3 CAB,就矩陣C（）；11216.每一列元素之和為零的n 階行列式 D的值等于（）；6k17.設(shè)行列式7000,就 k（）94130408.行列式2152的元素a 43的代數(shù)余子式的值為（）47005322122k9.設(shè)矩陣A212,1,如 A與線性相關(guān),就（）304110. 設(shè) A

2、 為 3 階矩陣,A1,就2A1=（）511.已知：1,2,s是 n 元齊次線性方程組Ax0的基礎(chǔ)解系,就系數(shù)矩陣R A（）12. 多項(xiàng)式fx,gx互素的充要條件是（）13. 多項(xiàng)式fx沒有重因式的充要條件是（）第 1 頁 共 17 頁14. 如排列 j 1 j 2 nj 的逆序數(shù)為 k ,就排列 j n j n 1 j 1 的逆序數(shù)為（）x 1 x 2 x 3 015. 當(dāng) a（）時,線性方程組 x 1 2 x 2 ax 3 0 有零解；2x 1 4 x 2 a x 3 016.設(shè)A為 n n 矩陣,線性方程組 AX B 對任何 B 都有解的充要（）17. 設(shè) X A 0,已知 A 1, C

3、 1 存在,求 X 1 等于（）0 C18. 假如齊次線性方程組 AX 0 有非零解,就 A 的列向量組線性（）關(guān)19. p x 為不行約多項(xiàng)式,f x 為任意多項(xiàng)式,如 p x , f x 1,就（）20. 設(shè) A 為 4 級方陣,A 3,就 2 A（）21. 設(shè) 1 , 2 , , m 是一組 n 維向量,假如 m. n,就這組向量線性（）關(guān)1 2 2 k22. 設(shè)矩陣 A 2 1 2,1,如 A 與 線性相關(guān),就 k=（）；3 0 4 123. 每一列元素之和為零的 n 階行列式 D的值等于（）24. 設(shè) A 為 n 階方陣,如 A 2- A -7 I = 0 ,求 A 3 I 1=（）

4、2 4 225. 假如 x 1 | Ax Bx 1,就 A（）, B（）；1 2 526. 如行列式 1 3 2 0,就 x（）；2 5 x27. 向量 線性無關(guān)的充要條件是（）1 2 1 128. 已知 A,B,且 AB 3 C A B ,就矩陣 C（）；1 1 2 13 0 4 02 1 5 229. 行列式 的元素 a 43 的代數(shù)余子式的值為（）4 7 0 05 3 2 2第 2 頁 共 17 頁30. 當(dāng) a時,線性方程組x 1x 2x 300有非零解x 12 x 2ax 3x 14 x 22 a x 30二、運(yùn)算題31.已知fxx43x36x2axb,gx x21.,a,b為何值時

5、,gx能整除1fx；axa32.運(yùn)算以下 n 級行列式：axa3,已知2,3是它的三個解向量且xaa33. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為1213,2324354求該方程組的通解；34. 求矩陣 A 的逆矩陣：A12300,求向量組的秩和一個最大無關(guān)組,并用最3400004312001211,35. 設(shè)向量組11,31226240大無關(guān)組將其余量線性表示；36. 證明多項(xiàng)式fx x4kx33x27x10在有理數(shù)域上不行約；AA可逆,并求IA137. 設(shè) A 為 n 階方陣,如= 0 ,證明 I第 3 頁 共 17 頁1nnA1n,求矩陣 Xn2nn38. 運(yùn)算 n 階行列式 D=nn3

6、nnnnn130039. 設(shè)矩陣 A=2500,求00722X00103A30140. 設(shè)A110,且滿意AX014x 2x 3441. 當(dāng)為何值時方程組x 1x 1x 2x 32x 1x 22x 34無解,有唯獨(dú)解,有無窮多解；42. 設(shè)向量組 ：12,21, 31,40011210011101求向量組的秩和一個最大無關(guān)組,并用最大無關(guān)組將其余向量線性表示；43. 運(yùn)算行列式a2a1 2a2 2 a3 2b2b12b2 2 b3 2c2c12c2 2c3 2d2d1 2d2 2d3 244. 求以下齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系：2x 14x 25x 333x 44003 x16x24x 32

7、x404x 18x 217x11 x第 4 頁 共 17 頁0 3 345. 設(shè) A 1 1 0 且 AB A B ,求 B ；1 2 346. 求以下多項(xiàng)式的有理根：x 3 6 x 2 15 x 1447. 當(dāng) 為何值時,線性方程組x 1 x 2 2 x 3 1x 1 x 2 x 3 25 x 1 5 x 2 4 x 3 1無解,有唯獨(dú)解或有無窮多解；48.運(yùn)算n階行列式D nxy0L000 xyL00MMMLMM000 xyy00L0 x49. 求矩陣 A 的逆矩陣：14001求 ABA2300004300121350. 已知A2140,B012 1,13113421,2,3是它的三個解向

8、量且4012205b的通解51. 設(shè)A1342, b6, 求Ax110243,已知52. 設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為第 5 頁 共 17 頁12,231324354求該方程組的通解；n111k A （k 是正整數(shù)）；1n1153. 運(yùn)算 n 階行列式 D=11n1111n54. 已知P11, 10,且P1AP,求 A 及23020101155. 設(shè) X=AX+B,其中 A=111,B=20,求 X；1015356. 求以下齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系, 并寫出其通解 : x 12x 2x3x403x 16x 2x 33 x 405x 110 x2x 35x 40132257.設(shè)向量組1

9、0, 22,31,43,2015求矩陣的列向量組的秩和一個最大無關(guān)組,并用最大無關(guān)組將其余的列向量線性表示；三、證明題 1 （略） 答案 第 6 頁 共 17 頁一、填空題 1 1. 0 0 0 02.相3.8 94.A5.1 06. 0 7. 4 8. 42 1 9. 1 110.40u x f x v x g x 111.ns12. 存在多項(xiàng)式u x , v x 使得13.f x ,f 114.1n n1 k215.a1 216. 秩（ A）= 秩（ A,B）17.XA1010C18. 相19.p x |f x 4820.第 7 頁 共 17 頁21. 相22. -123. 024.A2I

10、B225.A1 ,26. 3 27.a028.100029.4230.1 2二、運(yùn)算題31. 法一 g x 除 f x 的余式為 r x a 3 x b 7 （5 分）；g x 整除 f x 的條件是 r x 0,即 a 3 , b 7（5 分）；（法二）g x 的根為 1,故 g x 整除 f x 的條件是 f 1 0, f 1 0,（6 分）即a b 4 0, a b 10 0解得 a 3, b 7；（ 4 分）x a L a 1 a L a 1 a L aa x L a 1 x L a 0 x a L 032. x n 1 x n 1 M M O M M M O M M M O Ma a

11、 L x 1 a L x 0 0 L x an 1 x n 1 x a （10 分）33. 此 方 程 組 的 導(dǎo) 出 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 含 有 4 3 1 個 解 向 量 （ 2 分 ）, 而第 8 頁 共 17 頁321234是導(dǎo)出組的一個非零解,故就是此方程組的一個基礎(chǔ)解系（656分）；所以,方程組的通解為 k 1（ k 為任意常數(shù)） （2 分）1 2 4 3 B O34. 解：設(shè) B,C,就 A-2 分 3 4 1 2 O C1 2 1 2 3A 1 B O1-2 分 又 B 13 1,C 1 5 5-4 分 O C 1 42 25 52 1 0 03 10 02 2故 A 10

12、 0 2 3-2 分 5 51 40 05 51 1 1 1 1 11 3 1 0 1 135. 解：1 , 2 , 3-（4 分）2 2 6 0 0 02 4 0 0 0 0故 R 1 , 2 , 3 2- （2 分）1 , 2 是一個極大無關(guān)組,且 3 2 1 2（4 分）4 3 236. g x f x 1 x 1 x 1 3 x 1 7 x 1 104 3 2x 3 x 6 x 6（3 分）取素數(shù) p 3,由 Eisenstein 判別法可知 g x 在有理數(shù)域上不行約,從而 f x 在有理數(shù)域上也不行約； （2 分）第 9 頁 共 17 頁37. 證明：Ik AIA IAA2LAk1

13、-（3 分）又A =0,故有 kIIAIAA2LAk1；所以 IA可逆,IA1IAA 2LAk1- （2分）38.1n00L 00n020L 00D ir irn10003nL 00- 5 分 L1, ,nLLLL000L10nnnLnnn10L 000 n 2 0 L 0 0ir 1n 1 0 0 n 3 L 0 0 i 1, L , n 1 1L L L L L-3 分0 0 0 L 1 0n n n L n n 1 n n .- 2 分 1 3 0 02 5 0 0 A 1 039. 設(shè) A= =- 2 分 0 0 7 2 0 A 20 0 10 31 3 1 5 3A 1,A 1- 3

14、 分 2 5 2 1A 2 7 2,A 2 1 3 2,- 3 分 10 3 10 7第 10 頁 共 17 頁53004A-1=A 1101=2100-2 分00320A 20010740.XA2E1A（ 3 分）211301221110（4 分）111014522432（3 分）22341. 對方程組的增廣矩陣B 作初等行變換,使之成為行階梯形1141 1B112 0 228.- 4 分當(dāng)11 240 0144-2 分2-1 時,RA2RB3,原方程組無解；當(dāng)1 且4 時,RARB3 , 原方程組有唯獨(dú)解；- 2 分 當(dāng)4 時,RARB23 , 原方程組有無窮多解- - 2 分42. 構(gòu)造

15、矩陣故A,1,2,3,4321101101-3 分 0112011210010012R123411010000-（3 分）第 11 頁 共 17 頁1 , 2 , 3 是一個極大無關(guān)組,-（2 分）且 4 1 2 3-（2 分）43. 解： 將第 2,3,4 列都綻開 , 并統(tǒng)統(tǒng)減去第 1 列, 得a 2 2 a 1 4 a 4 6 a 92b 2 b 1 4 b 4 6 b 9D 2c 2 c 1 4 c 4 6 c 92d 2 d 1 4 d 4 6 d 9-（5 分）再將第 3 列減去 2 倍的第 2 列, 第 4 列減去 3 倍的第 2 列, 得a 2 2 a 1 2 62b 2 b

16、1 2 6D 2 0c 2 c 1 2 62d 2 d 1 2 6（5 分）1 2 0 22 4 5 3 744. 3 6 4 2 0 0 1 5（4 分）,方程組的解為74 8 17 11 0 0 0 0 x 1 2 x 2 2 x 4 , x 3 5 x 4（2 分）7 7基礎(chǔ)解系為：1 , , , , 2 2, , 5, （4 分）7 745. .解：由 AB A B,得B A E A -3 分 2 3 3 0 3 3 1 0 0 0 3 3 A 2 E A 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 2 3-（5分）1 2 1 1 2 3 0 0 1 1 1 00 3 31故 B 1 2

17、3-2 分 1 1 046. f x 的有理根只能是 1 , 2 , 7 , 14；（5 分）用綜合除法驗(yàn)證只有 2 是根；（5 分）第 12 頁 共 17 頁47. 對方程組的增廣矩陣 B 作初等行變換,使之成為行階梯1 2 1 1 1 2- 4 分 B 1 1 2 0 1 2 3當(dāng)-4 時,5 5RA 42 1RB 0 03, 原方程組無解；5 4 9- 2 分54當(dāng) 1 且-時, RA RB 3 , 原方程組有唯獨(dú)解；- 2 分5當(dāng) 1 時,RA RB 2 3,原方程組有無窮多解 .-2 分x y 0 L 0 0 x y L 0 0 y 0 L 0 00 x y L 0 048. .解：

18、D n M M M M M x M M M M 1 n 1y x y L 0 00 0 L x y M M M M0 0 0 L x y0 0 L 0 x 0 0 L x yy 0 0 L 0 xn n 1 nx 1 y （10 分）1 4 4 3 B O49. .解：設(shè) B,C,就 A-2 分 2 3 1 2 O C1 3 4 2 3A 1 B O1-2 分 又 B 1 5 5,C 1 5 5-4 分 O C 2 1 1 45 5 5 53 4 0 05 52 10 0A 1 5 5-2 分 0 0 2 35 51 40 05 5第 13 頁 共 17 頁50. 解：（法一）AB214013

19、1012678（6 分）11341312056所以AB64022075（4 分）（法二）ABBA8610421620（10 分）1113130754312212128604051024351.Ab13426 01221-（3 分）1102400000原方程組同解于x 132x34 x4（x 3, x 4為自由未知量）- （2 分）x212x32 x4Ax0的基礎(chǔ)解系：2, 2422；- （2 分）110013Axb特解：1-（1 分）0052.Axb通解：k11k22k1k2R - （2 分）此 方 程 組 的 導(dǎo) 出 組 的 基 礎(chǔ) 解 系 含 有 431 個 解 向 量 （ 2分 ）, 而

20、321234是導(dǎo)出組的一個非零解,故就是此方程組的一個基礎(chǔ)解系（656分）；所以,方程組的通解為第 14 頁 共 17 頁k1（ k 為任意常數(shù)） （2 分）53. 解：D ic 1c i111L1- 3 分2, , 1 n 1 L 12 n 1 1 1 n L 1- 2 分L L L L L1 1 1 L n1 1 1 L 1r r 1 0 n 1 0 L 02 10 0 n 1 L 0- 3 分 i ,2 , n L L L L L0 0 0 L n 12 n 1 n 1 . n 1- 2 分1 154. 由 P AP,A P P- 1 分 又 P 1 1,得 P 1 3 1- 2 分2 3 2