2023年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案2

1、中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2023年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題題 號(hào)一二三總 分156101112 1314得 分評(píng)卷人復(fù)查人答題時(shí)注意：1用圓珠筆或鋼筆作答；2解答書寫時(shí)不要超過裝訂線；3草稿紙不上交一、選擇題共5小題，每題7分，共35分每道小題均給出了代號(hào)為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分1設(shè)非零實(shí)數(shù)，滿足那么的值為 ABCD2關(guān)于的不等式組恰有個(gè)整數(shù)解，那么的取值范圍是 ABCD3如圖，在RtABC中，O是斜邊AB的中點(diǎn)，CDAB，垂足為D，DEOC，垂足為E假設(shè)AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，那么線段

2、OD，OE，DE，AC的長(zhǎng)度中，不一定是有理數(shù)的為 AODBOECDEDAC4如圖，ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且，DCFE是平行四邊形，那么圖中陰影局部的面積為 A3B4C6D85對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，z，定義運(yùn)算“*為：，且，那么的值為 ABCD二、填空題共5小題，每題7分，共35分6設(shè)，是的小數(shù)局部，是的小數(shù)局部，那么的值為7一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)1，2，3，4，5，6擲這個(gè)正方體三次，那么其朝上的面的數(shù)和為3的倍數(shù)的概率是8正整數(shù)a，b，c滿足，那么的最大值為9實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程的兩根為a，b，一元二次方程的兩根為c

3、，d，那么所有滿足條件的數(shù)組為10的值為三、解答題共4題，每題20分，共80分11如圖，拋物線，頂點(diǎn)為E，該拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且OBOC3OA直線與軸交于點(diǎn)D求DBCCBE12設(shè)的外心、垂心分別為，假設(shè)共圓，對(duì)于所有的，求所有可能的度數(shù)13如圖，設(shè)點(diǎn)D在ABC外接圓上，且為的中點(diǎn)，點(diǎn)X在上，E是的中點(diǎn)，過ABC的內(nèi)心I作直線R平行于DE，分別與BC，AX交于點(diǎn)R，T，設(shè)直線DR與ET交于點(diǎn)S證明：點(diǎn)S在ABC的外接圓上14如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為4

4、15的魔術(shù)數(shù)求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù)中國教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)2023年全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題參考答案一、選擇題1A解：由得，故于是，所以2C解：根據(jù)題設(shè)知不等式組有解，解得，由于不等式組恰有個(gè)整數(shù)解，這個(gè)整數(shù)解只能為，因此，解得3D解：因AD，DB，CD的長(zhǎng)度都是有理數(shù)，所以，OAOBOC是有理數(shù)于是，ODOAAD是有理數(shù)由RtDOERtCOD，知，都是有理數(shù)，而AC不一定是有理數(shù)4C解：因?yàn)镈CFE是平行四邊形，所以DE/CF，且EF/DC連接CE，因?yàn)镈E/CF，即DE/BF，所以SDEB=SDEC，因此原來

5、陰影局部的面積等于ACE的面積連接AF，因?yàn)镋F/CD，即EF/AC，所以SACE=SACF因?yàn)?，所以SABC=4SACF故陰影局部的面積為65C解：設(shè)，那么，于是二、填空題62解：由于，故，所以7解：擲三次正方體，朝上的面的數(shù)和為3的倍數(shù)的是3，6，9，12，15，18，且3111，6114123222，9126135144225234333，1215624625533634544418666記擲三次正方體面朝上的數(shù)分別為，那么使為3的倍數(shù)的，中，3個(gè)數(shù)都不相等的有8組，恰有兩個(gè)相等的有6組，3個(gè)數(shù)都相等的有6組故所求概率為8解：由，消去c，并整理得由a為正整數(shù)及6

6、6，可得1a3假設(shè)，那么，無正整數(shù)解；假設(shè)，那么，無正整數(shù)解；假設(shè)，那么，于是可解得，= 1 * romani假設(shè)，那么，從而可得；= 2 * romanii假設(shè)，那么，從而可得綜上知的最大值為9，為任意實(shí)數(shù)解：由韋達(dá)定理得由上式，可知假設(shè)，那么，進(jìn)而假設(shè)，那么，有為任意實(shí)數(shù)經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組與為任意實(shí)數(shù)滿足條件10解：設(shè)，那么上式對(duì)，2，99求和，得原式三、解答題11解：將分別代入，知，D(0，1)，C(0，)，所以B(3，0)，A(，0)直線過點(diǎn)B將點(diǎn)C(0，)的坐標(biāo)代入，得5分拋物線的頂點(diǎn)為(1，)于是由勾股定理得BC，CE，BE因?yàn)锽C2CE2BE2，所以，BCE為直角三角形，10分因此ta

7、n=又tanDBO=，那么DBO所以，20分12解：分三種情況討論= 1 * romani假設(shè)為銳角三角形因?yàn)椋杂?，可得，于?分= 2 * romanii假設(shè)為鈍角三角形當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋杂?，可得，于是；?dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，因?yàn)?，所以由，可得，于?5分= 3 * romaniii假設(shè)為直角三角形當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，不可能共圓，所以不可能等于；當(dāng)時(shí)，不妨假設(shè)，此時(shí)點(diǎn)B與H重合，于是總有共圓，因此可以是滿足的所有角綜上可得，所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及20分13證明：如圖，設(shè)DR與ABC的外接圓交于點(diǎn)，AX與交于點(diǎn)，連接由D為的中點(diǎn)知，A，I，D三點(diǎn)共線，且，所以， 即5分由E為的中點(diǎn)知，所以， 即由，知又因?yàn)?，所以，那么?0分由為的內(nèi)心，連接CI，由知由式 = 1 * GB3 ， = 5 * GB3 ，得，即由式 = 2 * GB3 ，得由式 = 6 * GB3 ， = 7 * GB3 得，15分于是又，故點(diǎn)與重合，即點(diǎn)在直線上從而，點(diǎn)與重合，即點(diǎn)S在的外接圓上20分14解：假設(shè)n6，取1，2，7，根據(jù)抽屜原理知，必有中的一個(gè)正整數(shù)M是7的公共的魔術(shù)數(shù)，即7|()，7|()那么有7|()