數(shù)值分析5一、直接三角分解法

1、一、直接三角分解法 第五章 解線性方程組的直接法 3 矩陣的三角分解法 二、平方根法三、追趕法 回顧：定理:(矩陣的LU分解)設(shè) A 為 n 階矩陣，如果 A 的順序主子式( i = 1,2,n-1)， 則 A 可分解為一個單位下三角矩陣 L 和一個上三角矩陣 U 的乘積，且這種分解是唯一的。消元時的系數(shù)的負值U的對角線元素就是約化主元素akk(k) 0 。一、直接三角分解法回顧：進行矩陣三角分解的意義 若A 實現(xiàn)了LU分解，則 Ax = b(LU)x=bLy = bUx = yL(Ux) =b矩陣的三角分解法舉例 解方程組解：矩陣的這種分解稱為Doolittle分解單位下三角陣上三角陣由矩陣

2、相等的定義得1則求解原方程組可轉(zhuǎn)化為如下兩個三角形方程組：解得解得其中 比較式 A=LU 兩端的元素, 按下圖所示順序逐框進行，先求ukj，后求lik. 由第一框可得a11 a12 a1k a1n u11 u12 u1k u1n 第1框a21 a22 a2k a2n l21 u22 u2k u2n 第2框 第k框ak1 ak2 akk akn lk1 lk2 ukk ukn an1 an2 ank ann ln1 ln2 lnk unn 第n框假設(shè)前k -1框元素已求出，則由二、平方根法1. 初步介紹平方根法適用于系數(shù)矩陣為對稱正定陣的方程組的求解。其利用對稱正定矩陣的三角分解而得到求解對稱正

3、定方程組的一種有效方法，目前在計算機上廣泛應(yīng)用平方根法解此類方程組。 對稱正定矩陣 如果AT =A且對任意非零向量， xRn，(Ax, x)=xTAx0.2. 基本原理原理1 (對稱陣的三角分解定理)設(shè)A為n階對稱陣，且A的所有順序主子式均不為零，則A可唯一分解為 A=LDLT其中L為單位下三角陣，D為對角陣.證明：由于A所有的順序主子式不為零，則A有唯一的LU分解。將U再分解為其中D為對角陣，U0為單位上三角陣，于是又由分解的唯一性得即注：對角陣D中的元素就是約化主元素。原理2 (對稱正定陣的三角分解定理)設(shè)A為n階對稱陣，且A的所有順序主子式均大于零，則存在一個非奇異下三角陣 L 使 A=

4、LLT，當(dāng)限定L的對角元素為正時，這種分解是唯一的。矩陣的這種分解稱為楚列斯基(Cholesky)分解證明：由原理1可知A可分解為 如果A為對稱正定矩陣，則A的分解式A=LDLT中D的對角元素di均為正數(shù). 事實上, 由A的對稱正定性, 則A的順序主子式都大于零約化主元素3. 實際計算利用矩陣相等的定義，通過比較可計算出分解式中的系數(shù)。比較A與LLT的相應(yīng)元素，可得計算公式。實際計算量大約為LU分解計算量的一半。 對于 j=1,2, ,n求解Ax=b，即求解兩個三角形方程組 (1) Ly=b，求y；(2) LTx=y，求x. 例題 用平方根法求解對稱正定方程組 解 首先對A進行Cholesky分解求解Ly=b，得 y1=2, y2=3.5, y3=1. 求解LTx=y，得 x1=1, x2=1, x3=1. 改進的平方根法例：用改進的平方根法解線性方程組解：三、追趕法1. 初步介紹追趕法適用于系數(shù)矩陣為對角占優(yōu)的三對角陣的方程組的求解。其中, 當(dāng)|i-j|1時, aij=0, 且滿足如下的對角占優(yōu)條件:(a) |b1|c1|0;(b) |bi|ai|+|ci|, ai,ci0, (i=2,3,n-1).(c) |bn|an|0.2. 基本原理設(shè)系數(shù)矩陣分解為通過比較可得各參數(shù)，注意i的取值。a2a3an注：追趕法的基本思想與高斯消去法及三角 分解法